平行四边形判定学案.docx

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平行四边形判定学案

《平行四边形的判定》学案1

一、课前预习新知

（一）预习目标：

通过回顾以前所学的平行四边形知识与初步自学课本，感知平行四边形的判定，能写出平行四边形性质的逆命题

（二）预习内容：

１．平行四边形的定义：

２．平行四边形的性质：

３．平行四边形性质的逆命题是：

【答案】：

１．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

２．

（1）从边看：

两组对边分别平行，两组对边分别相等．

（2）从角看：

两组对角分别相等，四组邻角互补．

（3）从对角线看：

对角线互相平分．

３．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

二、课内探究新知

（一）学习目标

1．通过设置问题，建立数学模型，体会平行四边形的判定来源实际生活．

2．掌握平行四边形的判定定理及推论；会用平行四边形的判定方法进行简单的推理．

3．理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理．能熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．

学习重点：

平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法；理解并应用三角形中位线定理．

学习难点：

平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用；理解三角形中位线定理的推导，感悟几何的思维方法．

（二）学习过程

核对预习学案中的答案，并收集自学中疑问及困惑，掌握学生的学习情况。

平行四边形判定的学习：

１．情景问题：

我给刚学完平行四边形性质的侄女提了一个问题，你们能解决吗？

问题：

给你四根木条做边围成一个四边（每两根是等长的），它的形状是固定的吗？

２．验证：

（1）两组对边相等的四边形是平行四边形吗？

已知：

如图，AB＝CD，AD＝BC．求证：

四边形ABCD是平行四边形．

（２）两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？

如图，已知：

　　　　　　　　　　　．求证：

　　　　　　　　　　．

（３）对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？

已知：

如图，OA=OC，OB=OD．

求证：

四边形ABCD为平行四边形．

判定方法：

文字语言：

（1）定义：

（2）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（3）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（4）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

符号语言：

【答案】：

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）判定定理一：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）判定定理二：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（4）判定定理三：

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

符号语言

1．∵AB∥CD，AD∥BC

∴四边形ABCD是平行四边形

2．∵AB＝CD，AD＝BC

∴四边形ABCD是平行四边形

3．∵

∴四边形ABCD是平行四边形

4．∵AO＝CO，BO＝DO

∴四边形ABCD是平行四边形

３．练习：

1．如图

（1），若AD=8cm,AB=4cm，那么BC=cm,CD=cm时，四边形ABCD是平行四边形；

2．如图

（2），AD=BC=16,AB=CD=15,CF=DE=9，图中有哪些互相平行的线段？

3．如图（3），若AC=10cm,BD=8cm，则AO=cm,DO=cm时，则四边形ABCD为平行四边形．

【答案】：

（1）8、4（２）AD∥BC、AB∥CD（３）５、４

４．例题

例1：

如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是的中点，并且AE＝CF．求证：

四边形BFDE是平行四边形．

变式

（1）：

由例题中的特殊点E、F推广到较一般的，若AE=CF，结论有改变吗？

为什么？

变式

（2）：

若E、F移至OA、OC的延长线上，且AE=CF，结论有改变吗？

为什么？

变式（3）：

若E、F、G、H分别为AO、CO、BO、DO的中点，四边形EGFH为平行四边形吗？

为什么？

变式（4）：

若变式（3）的条件成立，那么EF、GH有什么位置关系？

变式（5）：

在上题中，以图中的四点为顶点，尽可能多地画出平行四边形．

【答案】：

例1：

　∵四边形ABCD是平行四边形

∴∵E、F是的的中点

∴∴四边形BFDE是平行四边形

变式（１）：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴∵AE=CF∴∴四边形BFDE是平行四边形

变式

（2）：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴∵AE=CF∴∴四边形BFDE是平行四边形

变式（3）：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴∵E、F、G、H分别为AO、CO、BO、DO的中点∴∴四边形BFDE是平行四边形

变式（4）：

互相平分

5．巩固练习（答案见课件１）：

如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是、的角平分线，试说明四边形AFCE是平行四边形．

探究问题2：

取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？

（即“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗？

）

1．写出：

已知：

求证：

证明：

2．归纳：

3．几何语言表述：

巩固练习：

1．能判定一个四边形是平行四边形的条件是（）．

（A）一组对边平行，另一组对边相等（B）一组对边平行，一组对角互补

（C）一组对角相等，一组邻角互补（D）一组对角相等，另一组对角互补

2．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为（－1，2），则C点的坐标为（）．

A．（1，－2）B．（2，－1）C．（1，－3）D．（2，－3）

3．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：

四边形EGFH是平行四边形．

4．已知：

如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：

CF∥AE．

答案：

1．Ｃ　　2．Ａ　　

　3．思路１：

根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ＡＥＣＦ、ＢＥＤＦ是平行四边形，再根据定义判定四边形EGFH是平行四边形．

4．∵AF∥BE∴∠FAC=∠ECA∵D是AC的中点∴AD=CD∴△AFD≌△CED∴AF＝CE∴四边形AFCE是平行四边形．

三角形中位线的学习：

问题一：

1．将任意一个三角形分成四个面积相等的的三角形，你是如何切割的？

关键：

（取三边的中点）

由学生代表发表自己的观点，并说明理由．

2．连接任意两边中点的线段与第三边间有怎样的位置和大小关系？

已知：

△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．求证：

DE∥BC，DE＝BC．

3．你能用文字表达这一结论吗？

讨论：

⑴一个三角形有几条中位线？

⑵三角形的中位线与中线一样吗？

问题2：

如图，a，b是两条平行线，从直线a上的任意一点A向直线b作垂线l，垂足为点B，我们得到线段AB．按同样的作法，我们作出线段CD．你能发现AB与CD的关系吗？

结论：

定义：

例1：

如图△ABC的边AB＝12，BC＝10，AC＝8，点D，E，F分别是△ABC的三边的中点．

⑴求连结各边中点所成的三角形的周长；

⑵以这些点为顶点，你能在图中画出多少个平行四边形．

例2：

如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，AF是BC边上的中线，

⑴若EF＝5cm，则AB＝cm；若BC＝9cm，则DE＝cm．

⑵中线AF与中位线DE有什么特殊关系？

证明你的结论．

当堂检测：

1．在△ABC中，D、E、F是三边的中点，AB＝7，BC＝6，AC＝10，则四边形DBEF的周长为．

2．已知△ABC中的周长为50cm，D、E、F分别为△ABC中AB、BC、AC边上的中点，且DE＝8cm，EF＝10cm，则DF的长为cm．

3．已知第一个三角形的周长为a，它的三条中位线组成第二个三角形，其周长为；第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，其周长为；以此类推，第2013个三角形的周长为．

4．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．求证：

EF∥BC．

５．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别AB、BC、CD、DA的中点．

求证：

四边形EFGH是平行四边形．

答案：

1．13　　2．7　　　3．，，

4．证明：

（1）∵CF平分∠ACB，

∴∠ACF=∠DCF．又∵DC=AC，

∴CF是△ACD的中线，

∴点F是AD的中点．∵点E是AB的中点，

∴EF∥BD，即EF∥BC．

５．证明：

连接AC，

∵E、F分别是边AB、BC的中点，

∴EF∥AC，EF=AC，

∵G、H分别是边CD、DA的中点，

∴GH∥AC，GH=AC，

∴GH∥EF，GH=EF，

∴四边形GHEF是平行四边形．

（三）课后练习

1．能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD=BCB．∠A=∠B，∠C=∠D

C．AB=CD，AD=BCD．AB=AD，CB=CD

2．如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（　　）

A．AC=DEB．AB=ACC．AD=ECD．OA=OE

3．如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有________个平行四边形．

4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，则________秒后四边形ABQP为平行四边形．

5．如图，在□ABCD中，AM=CN，求证：

四边形MBND是平行四边形．

6．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．

求证：

（1）△AFD≌△CEB；

（2）四边形ABCD是平行四边形．

7．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？

请验证你的结论．

参考答案：

1．C　2．B3．44．2

5．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∵AM=CN，

∴AB-AM=CD-CN，即BM=DN且BM∥DN．

∴四边形MBND是平行四边形．

6．证明：

（1）∵DF∥BE，

∴∠DFE=∠BEF．

又∵AF=CE，DF=BE，

∴△AFD≌△CEB（SAS）．

（2）由

（1）知△AFD≌△CEB，

∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，

∴AD∥BC．

∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

7．解：

AE=CF．

理由：

过E作EG∥CF交BC于G，

∴∠3=∠C，

∵∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°，

∴∠C=∠BAD，

∴∠3=∠BAD，

又∵∠1=∠2，BE=BE，

∴△ABE≌△GBE（AAS），

∴AE=GE，

∵EF∥BC，EG∥CF，

∴四边形EGCF是平行四边形，

∴GE=CF，

∴AE=CF．