判定平行四边形的五种方法.docx
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判定平行四边形的五种方法
判定平行四边形的五种方法（总14页）
判别平行四边形的基本方法
如何判别一个四边形是平行四边形呢下面举例予以说明.
一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别
例1如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.
分析:
由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.
解：
连接BD交AC于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AO=CO,BO=DO.又AE=CF,
所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.
所以四边形DEBF是平行四边形.
二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别
例2如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.
分析:
设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.
解：
设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,
所以四边形ABCF是平行四边形.
同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.
因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.
三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别
例3如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.
分析:
题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.
解：
因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.
因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,
所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，
所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.
四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别
例4如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗为什么
分析：
由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.
解：
四边形AECF是平行四边形.
理由：
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，∠DAB=∠BCD，
所以AF∥EC.又因为∠1=
∠DAB，∠2=
∠BCD，
所以∠1=∠2.因为AD∥BC，所以∠2=∠3，
所以∠1=∠3，所以AE∥CF.
所以四边形AECF是平行四边形.
判定平行四边形的五种方法
平行四边形的判定方法有：
（1）证两组对边分别平行；
（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、
两组对边分别平行
如图1，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF
（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。
解：
（1）选证△BDE≌△FEC
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACD=60°
∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC
（2）四边形ABDF是平行四边形
理由：
由
（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形
∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°
∴AB∥DF，BD∥AF
∵四边形ABDF是平行四边形。
点评：
当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、一组对边平行且相等
例2已知：
如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F
（1）求证：
△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形并说明理由。
分析：
（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。
解：
（1）∵ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE
（2）∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG，AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
点评：
当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形
三、两组对边分别相等
例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。
求证：
四边形DAEF是平行四边形；
分析：
利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。
解：
∵△ABD和△FBC都是等边三角形
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°
∴∠DBF=∠ABC
又∵BD=BA，BF=BC∴△ABC≌△DBF
∴AC=DF=AE同理△ABC≌△EFC
∴AB=EF=AD
∴四边形ADFE是平行四边形
点评：
题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。
四、对角线互相平分
例4已知：
如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求证：
四边形EFGH是平行四边形。
图4
分析：
因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。
证明：
∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO，
∵∠AOE=∠COG，OA=OC
∴△AOE≌△COG，∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
点评：
当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。
五、两组对角相等
例5将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起
四边形ABCD是平行四边形吗理由。
（1）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗说出你的结论和理由：
。
分析：
因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解：
（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°
又∠A=60°，∠C=60°，
∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C
（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1
∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1
∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，∠BC1D1=
∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB
所以四边形ABC1D1是平行四边形
点评：
（2）也可这样证明：
由
（1）知ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，将
Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，始终有AB∥C1D1，故ABC1D1是平行四边形。
判断平行四边形的策略
在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：
一、考虑“对边”关系
思路1：
证明两组对边分别相等
例1如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE.求证：
四边形ACEF是平行四边形.
证明：
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DF⊥BC，DB=DC.
∴∠FDB=∠ACB=90°.
∴DF∥AC.∴CE=AE=
AB.
∴∠1=∠2.
又∵EF∥AC，AF=CE=AE，
∴∠2=∠1=∠3=∠F.
∴△ACE≌△EFA.
∴AC=EF.
∴四边形ACEF是平行四边形.
思路2：
证明两组对边分别平行
例2已知：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED=DF=EB.连结FC.
求证：
四边形AEFC是平行四边形.
证明：
∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB.
∵ED=EB，∴∠B=∠EDB.
∴∠ACB=∠EDB.∴EF∥AC.
∵E是AB的中点，∴BD=CD.
∵∠EDB=∠FDC，ED=DF，
∴△EDB≌△FDC.∴∠DEB=∠F.
∴AB∥CF.
∴四边形AEFC是平行四边形.
思路3：
证明一组对边平行且相等
例3如图3，已知平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点.
求证：
四边形ENFM是平行四边形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C.
又∵AE=CF，∴△ADE≌△CBF.
∴∠1=∠2，DE=BF.
∵M、N分别是DE、BF的中点，
∴EM=FN.
∵DC∥AB，∴∠3=∠2.
∴∠1=∠3.∴EM∥FN.
∴四边形ENFM是平行四边形.
E
4
二、考虑“对角”关系
思路：
证明两组对角分别相等
例4如图4，在正方形ABCD中，点E、
F分别是AD、BC的中点.
求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形.
证明：
（1）在正方形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=
90°，∵AE=
AD，CF=
BC，
∴AE=CF.∴△ABE≌△CDF.
（2）由
（1）△ABE≌△CDF知，∠1=∠2，∠3=∠4.
∴∠BED=∠DFB.
∵在正方形ABCD中，∠ABC=∠ADC，
∴∠EBF=∠EDF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
三、考虑“对角线”的关系
思路：
证明两条对角线相互平分
例5如图5，在平行四边形ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点.
求证：
四边形AP1CP2是平行四边形.
证明：
连结AC交BD于O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵BP1=DP2，∴OP1=OP2.
∴四边形AP1CP2是平行四边形.
平行四边形的识别浅析
平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。
识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下。
1利用定义或定理直接识别平行四边形
两组对边分别平行，如图1,AB∥CD,AD∥BC。
两组对边分别相等，如图1,AB=CD,AC=BC。
两组对角分别相等，
如图1,∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD。
一组对边平行且相等，如图1,AB∥CD,AB=CD。
两条对角线互相平分，如图1,OA=OC,OB=OD。
2利用定义和定理间接识别平行四边形
一组对边平行且一组对角相等，如图1,AB∥CD,∠ABC=∠ADC。
证明：
∵AB∥CD∴∠ABC+∠BCD=180°又∵∠ABC=∠ADC∴∠ADC＋∠BCD＝180°∴AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行）
一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图1,AB∥CD，OA=OC。
证明：
∵AB∥CD∴∠BAC=∠DCA在⊿AOB和⊿COD中，∠BAC=∠DCA，OA=OC，∠AOB=∠COD∴⊿AOB≌⊿COD（ASA）∴AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等）
两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角，
如图1,∠DAB+∠ABC=180°,∠ABC+∠BCD=180°。
证明：
∵∠DAB+∠ABC=180°∴AD∥BC又∵∠ABC+∠BCD=180°
∴AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边平行）
3不能识别为平行四边形
两组不同的邻角互补，
如图2,∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°,可以画出梯形。
识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。
两组邻边相等，如图3,AB=AD,CB=CD,不一定是平行四边形。
两对邻角相等，如图4,∠A=∠D,∠B=∠C,可以画出等腰梯形。
一组对边平行且另一组对边相等，
如图4,AD∥BC,AB=CD,也可以画出等腰梯形。
一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形。
反例作图方法,如图5：
①作∠ABC,在边BA上确定点A,在边BC上确定点C,②过点A、B、C作⊙O1,③以点C为圆心，以线段AB长为半径作⊙C,④以AC为弦作⊙O1的等圆⊙O2,交⊙C于D、E两点，则四边形ABCD为平行四边形，而四边形ABCE即为符合条件的非平行四边形，即AB=CE,∠ABC=∠AEC。
一组对边相等，对角线交点平分一条对角线，不一定是平行四边形。
反例作图方法,如图6：
①作线段AB,②过线段AB的中点O作直线CD,③过点B作BE⊥CD,垂足为E,④以点E为圆心，小于线段OE的长为半径作⊙E,交CD于F、G两点，⑤以点A为圆心，BF长为半径作⊙A,交直线CD于H、I两点，则四边形AGBH和四边形AFBI为平行四边形，而四边形AGBI和四边形AHBF即为符合条件的非平行四边形，如在四边形AGBI中，AI=BG,OA=OB。
说明一个四边形是平行四边形的思路
山东于秀坤
平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形．如何说明一个四边形是平行四边形呢要说明一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路进行说明．
一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”．
例1如图1，在△ABC中，AD是角的平分线，DE//AC交AB于点E，EF//BC交AC于点F，试说明AE=CF．
图1
分析：
由AD是角的平分线，可知∠1=∠2，由DE//AC，可知∠2=∠3，所以∠1=∠3，即可得AE=ED，要说明AE=CF，可转化为说明ED=EC，因此，只需说明四边形EDCF是平行四边形就可以了．
解：
因为∠1=∠2，∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE=ED，
又因为DE//AC，EF//BC，所以四边形EDCF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
所以ED=CF，所以AE=CF．
二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”．
例2如图2，AE、CF分别是ABCD的内角∠DAB、∠BCD的平分线，试说明四边形AECF是平行四边形．
图2
解：
在ABCD中，因为∠DAB=∠BCD，又因为∠1=
∠DAB，∠2=
∠BCD，
所以，∠1=∠2，
因为AB//CD，所以∠3=∠1，∠4=∠2，
所以∠3=∠4，所以∠5=∠6，
所以四边形AECF是平行四边形．
三、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”
例3如图3，在□ABCD中，AC、BD相交于O，EF过O分别交AD、BC于E、F，GH过O分别AB、CD交于G、H．试说明四边形EGFH是平行四边形．
图3
解：
在□ABCD中，因为AB//CD，所以∠1=∠2，
因为OA=OC，∠3=∠4，所以△AOG≌△COH，所以OG=OH，
同理OE=OF，
所以四边形EGFH是平行四边形．
构造平行四边形解题
山东邹殿敏
平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．许多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决．
一、求线段的长
例１如图1，在正△ABC中，P为边AB上一点，Q为边AC上一点，且AP=CQ．今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cm，则P点到C点的距离等于cm．
分析：
作QD//AB，交BC于点D，连接PD，MD．由△ABC为正三角形，易知BP=BD，AP=DQ，所以四边形APDQ为平行四边形．所以AMD是平行四边形APDQ的对角线．所以AD=2AM=2×19=38（cm）．由△ABD≌△CBP可得PC=AD．所以PC=38cm．
二、证明线段相等问题
例2如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，延长CB到E，使EB=AD，连接AE．求证：
AE=AC．
分析：
连接BD．由AD与BE平行且相等，易知四边形AEBD是平行四边形，所以BD=AE．因为AC=BD，所以AE=AC．
三、证明线段和差问题
例3如图3，△ABC中，D，F是AB边上两点，且AD=BF，作DE//BC，FG//BC，分别交AC于点E，G．求证：
DE+FG=BC．
分析：
作GH//AB交BC于点H．则四边形BHGF是平行四边形．所以GH=BF=AD，FG=BH．因为DE//BC，GH//AB，所以∠1=∠C，∠A=∠2．所以△ADE≌△GHC．所以DE=HC．因为BH+CH=BC，所以DE+FG=BC．
四、证明线段倍分问题
例4如图4，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF．试说明：
AB=2OF．
分析：
连接BE．易知四边形ABEC为平行四边形．由“平行四边形的对角线互相平分”这一性质可得BF=CF，AO=OC，所以OF为△CAB的中位线，从而得出AB=2OF．
五、证明两直线平行问题
例5如图5，△ABC中，E，F分别是AB，BC边的中点，M，N是AC的三等分点，EM，FN的延长线交于点D．求证：
AB//CD．
分析：
连接BD交AC于点O，连接BM，BN．
由AE=BE，AM=MN可得ED//BN；由BF=CF，MN=NC可得BM//FD．所以四边形BMDN是平行四边形．所以OB=OD，OM=ON．所以OA=OC．由此可得出四边形ABCD是平行四边形．所以AB//CD．
六、证明两直线垂直问题
例6如图6，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：
MA⊥BC．
分析：
设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN，HN．则四边形AHNF为平行四边形．所以FN=AH=AC，∠AFN+∠FAH=180°．因为∠BAC+∠FAH=180°，所以∠AFN=∠BAC．因为AF=AB，所以△AFN≌△BAC．所以∠1=∠2．
因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°．从而得出MA⊥BC．
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