人教版八年级数学上册三角形全等之截长补短讲义及答案.docx

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人教版八年级数学上册三角形全等之截长补短讲义及答案

三角形全等之截长补短（讲义）

Ø课前预习

1.尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

（1）已知线段a，b（

），作一条线段，使它等于a+b．

（2）已知线段a，b（

），作一条线段，使它等于a-b．

2.想一想，证一证

已知：

如图，射线BM平分∠ABC，点P为射线BM上一点，

PD⊥BC于点D，BD=AB+CD，过点P作PE⊥BA于点E．

求证：

△PAE≌△PCD．

Ø知识点睛

截长补短：

题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________

___________________________________________________．

Ø精讲精练

1.已知：

如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．

求证：

AC=AB+BD．

2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．

求证：

CD=AD+BC．

3.已知：

如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．

求证：

EF=BF+DE．

4.已知：

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．

求证：

AC=AE+CD．

5.已知：

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．

求证：

CE

BD．

【参考答案】

Ø课前预习

1.略

2.证明：

如图

∵BM平分∠ABC，PD⊥BC，PE⊥BA

∴PE=PD，∠PEB=∠PDB=∠PDC=90°

在Rt△PBE和Rt△PBD中，

∴Rt△PBE≌Rt△PBD（HL）

∴BE=BD

∵BE=AB+AE

BD=AB+CD

∴AE=CD

在△PAE和△PCD中

∴△PAE≌△PCD（SAS）

Ø知识点睛

线段间的和差倍分；

把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．

Ø精讲精练

1.补短法：

证明：

如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE．

∴∠E=∠3

∵∠ABC是△BDE的一个外角

∴∠ABC=∠E+∠3

∴∠ABC=2∠E

∵∠ABC=2∠C

∴∠E=∠C

在△ADE和△ADC中

∴△ADE≌△ADC（AAS）

∴AE=AC

∴AC=AB+BE

=AB+BD

截长法：

证明：

如图，在AC上截取AF=AB，连接DF．

在△ABD和△AFD中

∴△ABD≌△AFD（SAS）

∴∠B=∠AFD，BD=FD

∵∠B=2∠C

∴∠AFD=2∠C

∵∠AFD是△DFC的一个外角

∴∠AFD=∠C+∠FDC

∴∠FDC=∠C

∴DF=FC

∴BD=FC

∴AC=AF+FC

=AB+BD

2.

证明：

如图，在DC上截取DF=DA，连接EF．

∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD

∴∠1=∠2，∠3=∠4

在△ADE和△FDE中

∴△ADE≌△FDE（SAS）

∴∠A=∠DFE

∵∠A=∠B=90°

∴∠DFE=∠CFE=∠B=90°

在△CFE和△CBE中

∴△CEF≌△CBE（AAS）

∴CF=CB

∴CD=DF+FC

=AD+BC

3.

证明：

如图，延长FB到G，使BG=DE，连接AG．

∵∠ABC=∠D=90°

∴∠ABG=∠D=90°

在△ABG和△ADE中

∴△ABG≌△ADE（SAS）

∴∠3=∠2，AG=AE

∵∠BAD=∠1+∠2+∠EAF

=90°

∠EAF=45°

∴∠1+∠2=45°

∴∠1+∠3=45°

即：

∠GAF=∠EAF=45°

在△EAF和△GAF中

∴△EAF≌△GAF（SAS）

∴EF=GF

∴EF=BG+BF=BF+DE

4.证明：

如图，在AC上截取AF=AE，连接OF．

∵AD，CE分别是△ABC的角平分线

∴∠1=∠2，∠3=∠4

在△AEO和△AFO中

∴△AEO≌△AFO（SAS）

∴∠5=∠6

在△ABC中，∠B=60°

∴∠1+∠2+∠3+∠4=120︒

∴∠2+∠3=60︒

∵∠5是△AOC的一个外角

∴∠5=∠2+∠3=60︒

∴∠8=∠5=60︒

∠6=∠5=60°

∠7=180°-∠5-∠6=60°

∴∠7=∠8

在△CFO和△CDO中

∴△CFO≌△CDO（ASA）

∴CD=CF

∴AC=AF+CF

=AE+CD

5.

证明：

如图，延长CE交BA的延长线于F．

∵CE⊥BD

∴∠BEC=∠BEF=90°

∵BD平分∠ABC

∴∠1=∠2

∴∠F=∠BCE

∴BC=BF

∴EF=EC=

CF

∵∠BAC=90°，∠BEC=90°

∴∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90°

∵∠4=∠5

∴∠1=∠3

∵∠BAC=90°

∴∠BAD=∠CAF=90°

在△BAD和△CAF中

∴△BAD≌△CAF（ASA）

∴BD=CF

∵CE=

CF

∴CE=

BD