九年级圆与相似三角函数结合二.docx

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九年级圆与相似三角函数结合二

圆与相似.三角函数结合

（二）

1、已知：

P为00外一点，PA、分别切00于A.B两点，点C为0（?

±一点。

（1）如图1,若AC为直径，求证：

0P//BC；

12

（2）如图2,若sinZP=—,求tanZC的值。

知识点一圆与直角三角形斜边中线

【知识梳理】

如图：

R仏ABC中，Zz4BC=9O°,以AB为直径作0O交AC于D,基本结论有：

（1）DE切OOOE是BC的中点：

（2）若DE切00,贝IJ：

①DE=BE=CE；②D、0.B、E四点共圆=>ZCED=2ZA：

RBDBA

图形特殊化：

在

（1）的条件下

如图2：

DE//AB<^>AABC.△CDE是等腰直角三角形：

如图3：

若DE的延长线交AB的延长线于点F,若AB=BF,贝I」：

①DE：

EF=1:

3：

②BE：

R=l：

迈

【例题精讲】

例1、如图，AB是00的直径，点C为圆上一点，且ZBAC=30°,M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且ZECF=ZE。

（1）求证：

CF是00的切线；

（2）设0O的半径为1,且AC=CE,求EC和MO的长。

【课堂练习】

如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，N是线段BC上一点（不与B.C重合），过N作AB的垂线交AB于M,交AC的延长线于E,过C点作半圆0的切线交EM于F。

（1）求证：

△ACO^ANCF：

（2）若NC:

CF=3：

2,求sinB的值。

0MB

例2.如图，A是以BC为直径的OO±一点，AD丄BC于点D.过点B作G>0的切线，与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF•与CB的延长线相交于点P。

（1）求证：

BF=EF；

（2）求证：

PA是OO的切线；

（3）若FG=BF,且OO的半径长为3血，求BD和FG的长度。

【课堂练习】

如图D为RtAABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分別交△ABC三边于E,F,G三点，连接FE,

FGo

（1）求证：

ZEFG=ZB；

（2）若AC=2BC=4的.D为AE的中点，求FG的长。

知识点二圆与等腰三角形结合

【知识梳理】

如图，AABC中，AB=AC,以AB为直径作00,交BC于点D,交AC于点F,基本结论有：

（1）DE丄ACODE切00；

（2）在DE丄AC或DE切下，有：

①ADFC是等腰三角形：

②EF=EC：

③D是弧BF的中点。

【例题精讲】

例1.如图，AABC中，AB=AC.以AB为直径的0O分别交AC、BC于点D、F,连接BD交OF于点

Eu

（1）求证：

OF丄BD：

（2）若AB=?

DF=—,求AD的长。

22

【课堂练习】

如图，AABC中，AB=AC,以AC为直径的00与AB相交于点E,点F是BE的中点。

<1）求证：

DF是00的切线；

（2）若AE=14,BC=12,求BF的长。

例2.如图，2\ABC内接于0O,AB=AC,D任劣弧AC上，ZABD=45%

（1）如图1,BD交AC于E,连CD,若AB=BD,求证：

CD=V2DE

（2）如图2,连接AD、CD,已知tanZCAD=l,求sinZBDC。

图1

图2

【课堂练习】

在QO中，AB为直径，PC为弦，且PA=PC“

（1）如图1,求证：

OP/7BC：

（2）如图2,DE切0O于点C,DE〃AB・求tanZA的值。

知识点三圆与直角梯形结合

【知识梳理】

以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于E,基本结论有:

图1

②ZCOD二ZAEB90。

：

（1）如图1：

①AD・BC=CD：

③0D平分ZADC（或0C平分ZBCD）；

（注：

在

①、②、③及④“CD是00的切线”四个论断中，知一推三）

®ad

=r:

：

4

（2）如图2,连AE.CO,则有：

C0/7AE,C0*AE=2R=（与基本图形2重合）

（3）如图3,若EF丄AB于F,交AC于G,贝ij：

EG二FG・

【例题精讲】

例1-直角梯形ABCD中，ZBCD=90%AB=AD+BC.AB为直径的圆交BC于E,连OC、BD交于F・

（1）求证：

CD为00的切线

（2）若

BE3

BF

~DF

的值

【课堂练习】

1.如图.RtAABC中，ZC=90°,BD平分ZABC＞以AB上一点0为圆心过B、D两点作00,00交AB于点一点E,EF丄AC于点F.

（1）求证：

O0与AC相切；

（2）若EF二3,BO1,求tanZA的值.

2、如图，AB是00的直径，BC丄AB,过点C作00的切线CE,点D是CE延长线上一点，连结AD,且AD+BC二CD.

（1）求证：

AD是©0的切线;

（2）设0E交AC于F,若0F二3,EF二2,求线段BC的长.

1、如图，等腰直角△ABC内接于0O,D为OO上一点，连接AD.BD、CD.

（1）如图1,点D在半圆BC±时，求证：

BD+CD=V2AD；

（2）如图2,点D在劣弧AB上时，直接写出BD.CD、AD间的数量关系

2、如图.AB是00的直径，C、P是弧AB上两点，AB=13・AC=5°

（1）如图

（1）,若点P是＜AB的中点，求PB的长；

DFS

（2）如图

（2）,过点P作PD丄BC于点E,交AB于点D,若——=-,求PC的长。

图⑴图⑵

K如图•在平行四边形ABCD中，AB丄AC,以点A为圆心，AB为半径的圆交BC于点E。

（1）求证：

DE为OA的切线；

（2）如果BE=4,CE=2,求DE的值。

2、如图，已知以RtAABC的斜边AB为直径作AABC的外接圆OO,ZABC的平分线BE交AC于D,交0O于E,过E作EF〃AC交BA的延长线于F。

（1）求证：

EF是€）0切线：

（1）若EF=8,tanZAEF丄求CD的长。

2

3、如图，在AABC中，ZABC=90°,以AB的中点O为圆心，0A为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点，连接DE,OE。

（1）判断DE与00的位置关系，并说明理由；