中考数学复习专题精品导学案第11讲平面直角坐标系与函数.docx
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中考数学复习专题精品导学案第11讲平面直角坐标系与函数
2013年中考数学专题复习第十一讲：
平面直角坐标系与函数
【基础知识回顾】
一、平面直角坐标系：
1、定义：
具有的两条的数轴组成平面直角坐标系，两条数轴分别称轴轴或轴轴，这两系数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四个
2、有序数对：
在一个坐标平面内的任意一个点可以用一对来表示，如A（a.b），（a.b）即为点A的其中a是该点的坐标，b是该点的坐标平面内的点和有序数对具有的关系。
3、各象限内点
的特点：
平面内点的坐标特征
①P（a.b）：
第一象限第二象限第三象限第四象限
X轴上Y轴上
②对称点：
P对称点
③特殊位置点的特点：
P（a.b）若在一、三象限角的平分线上，则
若在二、四象限角的平分线上，则
④对坐标轴的距离：
P（a.b）到x轴的距离到y轴的距离到原点的距离
⑤坐标平面内点的平移：
将点P（a.b）向左右平移h个点位，对应点坐标为或
向上（下）平移K个点位，对应点坐标为或
【名师提醒：
坐标平面内点的坐标所具备的特征必须结合坐标平面去理解和记忆，不可生硬死记一些结论】
二、确信位置常用的方法：
一、一般由两种：
1、平面直角坐标系中的有序数时2、方位角与距离
三、函数的有关概念：
1、常量与变量：
在某一变化过程中，始终保持的量叫做常量，数值发生的量叫做变量
【名师提醒：
常量
与变量是相对的，在一个变化过程中，用一个量在不同情况下可以是常量，也可以是变量，要根据问题的条件来确定】
2、函数：
⑴、函数的概念：
一般的在某个过程中如果有两个变量x、y对于x德每一个确定的值，y都有的值与之对应，我们就成x是y是x的
⑵、自变量的取值范围：
主要有两种情况：
①、解析或有意义的条件，常见分式和二次根式两种情况
②、实际问题有意义的条件：
必须符合实际问题的背景
⑶、函数的表示方法：
通常有三种表示函数的方法：
①、法②、法③、法
⑷、函数
的同象：
对于一个函数，把自变象x和函数y的每对对应值作为点的与
在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫做这个函数的同象
【名师提醒：
1、在确定自变量取值范围时要注意分式和二次根式同时存在，应保证两者都有意义，即被开数应同时分母应
2、函数的三种表示方法应根据实际需要选择，有时需同时使用几种方法
3、函数同象是在自变量取值范围内无限个点组成的图形，同象上任意一点的坐标是解析式方程的一个解，反之满足解析式方程的每一个解都在函数同象上】
【重点考点例析】
考点一：
平面直角坐标系中点的特征
例1（2012•扬州）在平面直角坐标系中，点P（m，m-2）在第一象限内，则m的取值范围是．
思路分析：
根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围．
解：
由第一象限点的坐标的特点可得：
，
解得：
m＞2．
故答案为：
m＞2．
点评：
此题考查了点的坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正．
对应训练
1．（2012•怀化）在平面直角坐标系中，点（-3，3）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
1．B
考点二：
平面直角坐标系与其只是
例2（2012•济南）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（ ）
A．（2，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣1）
考点：
点的坐标。
810360
专题：
规律型。
分析：
利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
解答：
解：
矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：
2，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×
=4，物体乙行的路程为12×
=8，在BC边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×
=8，物体乙行的路程为12×2×
=16，在DE边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的
路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×
=12，物体乙行的路程为12×3×
=24，在A点相遇；
…
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵2012÷3=670…2，
故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：
第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×
=8，物体乙行的路程为12×2×
=16，在DE边相遇；
此时相遇点的坐标为：
（﹣1，﹣1），
故选：
D．
点评：
此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．
对应训练
2．（2012•莆田）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
考点：
点的坐标。
810360
专题：
规律型。
分析：
根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
解答：
解：
∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2012÷10=201…2，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，
即点B的位置，点的坐标为（﹣1，1）．
故选B．
点评：
本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2012个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
考点三：
函数的概念及函数自变量的取值范围
例3（2012•凉山州）在函数
中，自变量x的取值范围是．
思路分析：
本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，根据分式有意义的条件，x≠0．就可以求出自变量x的取值范围．
解：
根据题意得：
x+1≥0且x≠0
解得：
x≥-1且x≠0．
点评：
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
对应训练
3．（2012•衡阳）函数
中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞-2B．x≥2C．x≠-2D．x≥-2
3．A
考点四：
函数图象的运用
例4（2012•鸡西）一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，如图描述了他们散步过程中离家的距离S（米）与散步时间t（分）之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是（ ）
A．从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了B．从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回
思路分析：
根据图象可知，有
一段时间内时间在增加，而路程没有增加，意
味着有停留，与x轴平行后的函数图象表现为随时间的增多路程又在增加，由此即可作出判断．
解：
A、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了，图象为梯形，错误；
B、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了，描述不准确，错误；
C、从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了，图形为上升和下降的两条折线，错误；
D、从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回从家出发，符合图象的特点，正确．
故选D．
点评：
考查了函数的图象，读懂图象是解决本题的关键．首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据函数图象用排除法判断．
例5（2012•铁岭）如图，
ABCD的边长为8，面积为32，四个全等的小平行四边形对称中心分别在
ABCD的顶点上，它们的各边与
ABCD的各边分别平行，且与
ABCD相似．若小平行四边形的一边长为x，且0＜x≤8，阴影部分的面积的和为y，则y与x之间的函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
思路分析：
根据平行四边形的中心对称性可知四块阴影部分的面正好等于一个小平行四边形的面积，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方列式求出y与x之间的函数关系式，然后根据二次函数图象解答．
解：
∵四个全等的小平行四边形对称中心分别在
ABCD的顶点上，
∴阴影部分的面积等于一个小平行四边形的面积，
∵小平行四边形与
ABCD相似，
∴
，
整理得
，
又0＜x≤8，
纵观各选项，只有D选项图象符合y与x之间的函数关系的大致图象．
故选D．
点评：
本题考查了动点问题的函数图象，根据平行四边形的对称性与相似多边形的面积的比等于相似比的平方求出y与x的函数关系是解题的关键．
对应训练
4．（2012•绥化）甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（ ）
A．甲队率先到达终点B．甲队比乙队多走了200米路程
C．乙队比甲队少用0.2分钟
D．比赛中两队从出发到2.2秒时间段，乙队的速度比甲队的速度快
4．C
4．解：
A、由函数图象可知，甲走完全程需要4分钟，乙走完全程需要3.8分钟，乙队率先到达终点，本选项错误；
B、由函数图象可知，甲、乙两队都走了1000米，路程相同，本选项错误；
C、因为4-3.8=02分钟，所以，乙队比甲队少用0.2分钟，本选项正确；
D、根据0～2.2分钟的时间段图象可知，甲队的速度比乙队的速度快，本选项错误；
故选C．
5．（2012•绥化）如图，点A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OC-
-DO的路线做匀速运动，设运动的时间为t秒，∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y（度）与t（秒）之间函数关系最恰当的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
动点问题的函数图象．分析：
根据动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小，当P在
CD
上运动时，∠APB不变，当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大，即可得出答案．解答：
解：
当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；
当P在
上运动时，∠APB不变；
当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．
故选C．点评：
本题主要考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是圆周角、圆内的角及函数图象认识的问题．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
【聚焦山东中考】
1．（2012•威海）函数y=
的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≥3C．x≠3D．x＜﹣3
考点：
函数自变量的取值范围。
810360
分析：
一般地从两个角度考虑：
分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
解答：
解：
根据题意得到：
x﹣3＞0，
解得x＞3．
故选A．
点评：
本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：
学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
2．（2012•菏泽）点P（-2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．B
3．（2011•青岛）如图，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的
，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．（-4，3）B．（4，3）C．（-2，6）D．（-2，3）
3．A
4．（2012•日照）洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间函数关系的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．D
解：
每浆洗一遍，注水阶段，洗衣机内的水量从0开始逐渐增多，
清洗阶段，洗衣机内的水量不变且保持一段时间，
排水阶段，洗衣机内的水量开始减少，直至排空为0，
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选D．
5．（2012•济宁）周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的旗子，能反应其高度与时间关系的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．D
解：
∵旗子是匀速上升的，且开始时是拿在同学手中，
∴旗子的高度与时间关系是一次函数关系，并且随着时间的增大高度在不断增大，
纵观各选项，只有D选项图
象符合．
故选D．
7．（2012•临沂）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：
s），四边形PBDQ的面积为y（单位：
cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．B
解：
①0≤x≤4时，
∵正方形的边长为4cm，
∴y=S△ABD-S△APQ
=
×4×4-
•t•t
=-
t2+8，
②4≤x≤8时，
y=S△BCD-S△CPQ
=
×4×4-
•（8-t）•（8-t）
=-
（8-t）2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选B．
8．（2012•莱芜）下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序（ ）
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）
②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）
④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）
A．①②③④B．③④②①C．①④②③D．③②④①
考点：
函数的图象。
810360
专题：
图表型。
分析：
①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案．
解答：
解：
③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；
②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；
④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低；
①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系．
故顺序为③②④①．
故选D．
点评：
本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012•柳州）如图，P1、P2、P3这三个点中，在第二象限内的有（ ）
A．P1、P2、P3B．P1、P2C．P1、P3D．P1
考点：
点的坐标。
810360
分析：
根据点的坐标的定义，确定出这三个点的位置，即可选择答案．
解答：
解：
由图可知，P1在第二象限，
点P2在y轴的正半轴上，
点P3在x轴的负半轴上，
所以，在第二象限内的有P1．
故选D．
点评：
本题考查了点的坐标，主要是对象限内的点与坐标轴上点的认识，是基础题．
2．（2012•龙岩）在平面直角坐标系中，已知点P（2，﹣3），则点P在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：
点的坐标。
810360
分析：
根据各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：
第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）可以得到答案．
解答：
解：
∵横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P（2，﹣3）在第四象限，
故选D．
点评：
此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
3．（2012•资阳）如图所示的球形容器上连接着两根导管，容器中盛满了不溶于水的比空气重的某种气体，现在要用向容器中注水的方法来排净里面的气体．水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出，那么，容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．C
解：
∵水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出时，
容器内剩余气体的体积随着注水时间的增加而匀速减少，
∴容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是C．
故选C．
4．（2012•河池）下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：
函数的概念。
810360
分析：
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
解答：
解：
第一个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第二个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第三个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图
象；
第四个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象．
综上所述，表示y是x的函数的有第一个、第二个，共2个．
故选B．
点评：
本题主要考查了函数的定义．函数的定义：
在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
5．（2012•自贡）伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当
晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速原路返回学校．这一情景中，速度v和时间t的函数图象（不考虑图象端点情况）大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
函数的图象。
810360
分析：
往返路程相同，先慢，速度小，时间长，后快，速度大，时间短，由此判断函数图象．
解答：
解：
依题意，回家时，速度小，时间长，返校时，速度大，时间短，
故选A．
点评：
主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
6．（2012•重庆）2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为S．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
函数的图象。
810360
专题：
数形结合。
分析：
根据题意，把图象分为四段，第一段，小丽从出发到往回开，第二段到遇到妈妈，第三段与妈妈聊了一会，第四段，接着开往比赛现场分析图象，然后选择答案．
解答：
解：
根据题意可得，S与t的函数关系的大致图象分为四段，
第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小，
第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大，
第三段与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变，
第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为0，
纵观各选项，只有B选项的图象符合．
故选B．
点评：
本题考查了函数图象的知识，读懂题意，把整个过程分解成分段图象是解题的关键．
7．（2012•岳阳）如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
动点问题的函数图象。
810360
专题：
动点型。
分析：
过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，则可证明△ENK≌△ENL，从而得出重叠部分的面积不变，继而可得出函数关系图象．
解答：
解：
如右图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，
∵点E是正方形的对称中心，
∴EN=EM，
由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，
在Rt△ENK和Rt△EML中，
，
故可得△ENK≌△ENL，即阴影部分的面积始终等于正方形面积的
．
故选B．
点评：
此题考查了动点问题的函数图象，证明△ENK≌△ENL，得出阴影部分的面积始终等于正方形面积的
是解答本题的关键．
8．（2012•厦门）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示
x
﹣1
0
1
y
﹣1
1
3
则y与x之间的函数关系式可能是（ ）
A．y=xB．
y=2x+1C．y=x2+x+1D．
考点：
函数关系式。
810360
分析：
观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出符合要求的关系式．
解答：
解：
A．y=x，根据表格对应数据代入得出y≠x，故此选项错误；
B．y=2x+1，根据表格对应数据代入得出y=2x+1，故此选项正确；
C．y=x2+x+1，根据表格对应数据代入得出y≠x2+x+1，故此选项错误；
D．y=
，根据表格对应数据代入得出y≠
，故此选项错误．
故选：
B．
点评：
此题主要考查了求函数关系式，本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的对应变化规律是解题关键．
9．（2012•十堰）一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．甲、乙两地的路程是400千米B．慢车行驶速度为60千米/小时
C．相遇时快车行驶了150千米D．快车出发后4小时到达乙地
考点：
函数的图象。
810360
分析：
根据函数的图象中的相关信息逐一进行判断即可得到答案．
解答：
解：
观察图象知甲乙两地相距400千米，故A选项正确；
慢车的速度为150÷2.5=60千米/小时，故B选项正确；
相遇时快车行驶
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