因式分解法解一元二次方程典型例题.docx
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因式分解法解一元二次方程典型例题
典型例题一
例用因式分解法解下列方程：
（1）y2+7y+6=0;
（2）t（2t—1）=3（2t—1）；⑶（2x—1）（x—1）=1.
解：
（1）方程可变形为（y+1）（y+6）=0
y+1=0或y+6=0
二y1=—1,y2=—6
⑵方程可变形为t（2t—1）—3（2t—1）=0
（2t—1）（t—3）=0,2t—1=0或t—3=01
二t1=—,t2=3.
2
2
（3）方程可变形为2x—3x=0
x（2x—3）=0,x=0或2x—3=0
X1=0,X2=—
2
说明：
（1）在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令
每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了.
⑵应用因式分解法解形如（x—a）（x—b）=c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如（x—e）（x—f）=0的形式，这时才有X1=e，X2=f，否则会产生错误，如（3）可能产生如下的错解：
原方程变形为：
2x—1=1或x—1=1..••X1=1，X2=2.
（3）在方程⑵中，为什么方程两边不能同除以（2t—1），请同学们思考
典型例题二
例用因式分解法解下列方程
6x23..3x=2、2x..6
解：
把方程左边因式分解为：
（2x、3）（3x-2）=0
.2x.3=0或3x-..2=0
恵
--X1,X2:
23
说明：
对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式,均可用因式分解法求出方程的解。
典型例题三
例用因式分解法解下列方程。
2
2y門15
解：
移项得：
2y2—y_15=0
把方程左边因式分解
得：
（2y5）（y—3）=0
/.2y5=0或y_3=0
二*=-~2^2=3
说明：
在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令
每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
典型例题四
例用因式分解法解下列方程
（1）6x2-13x2=0;
（2）3（2x1）2-9（...3x-2）2=0；
分析：
一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零•二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如
（2）符合平方差公式的结构特征.
解：
（1）原方程可变形为
（6x_1）（x_2）=0,
6x-1=0或x-2=0，
••,X?
—2.
6
（2）原方程可化为
（23x•3）2_（3.3x_6）2二0，
即（23x、33、3x-6）（2、3x.3-3、3x6）=0，
•®3x、3-6）（、36-、3x）=0，
•53x3-6=0或.36-，3x^0，
说明：
因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用•这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一
元方程，也是此法•
典型例题五
例用因式分解法解方程：
（1）x2-5x-36=0；
（2）2（2x-3）2—3（2x-3）=0；
（3）x2-（2_2.、2）x-32.2=0；
（4）y2-（2、33一2）x6、6=0.
分析：
用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为A=0的形式，然
后通过A=0或B=0，求出xi,x2.
解：
（1）（x-9）（x4）=0，
x-9=0或x4=0.
..X1=9,x2=-4.
（2）（2x_3）（4x_6_3）=0,
即（2x-3）（4x-9）=0.
•••2x-3=0或4x-9=0，
39
…X1,x?
24
（3）（x讥-（3-2一2）=0,
即x1=0或x-（3-2：
2）=0.
••X1=-1,X2=3-'22.
（4）（y-2・3）（y-3.2）=0，
即y-2.3=0或y-3.2=0，
•y1=2.3,y2=32
儿一次方程，只要熟悉无理数的分解方法,
说明：
有些系数或常数是无理数的也可将之和因式分解法求解.
典型例题六
解：
（1）移项，得
2x2
方程两边都除以2,得
解这个方程，得
（2）展开，整理，得
1
—2-10，
方程可变形为
4x2x=0.
x（4x1）=0
x=0或4x1=0，
c1
x^0,x2:
4
（3）展开，整理，得
方程可变形为
4x2-16x15=0，
（2x-3）（2x-5）=0
2x-3=0或2x-5=0
35
%=㊁，x2=㊁•
（4）va=1,b-4..3,c=10,
b2-4ac=（「4..3）2-4110=80,
二乂勺=2..32,
X2=2、3-、2
（5）移项，得
3x2-7x
=4，
方程各项都除以3,得
27
4
xx
=——
3
3'
配方，得
2
7“7、2
4
“7、2
x
x（）=
（），
36
3
6
“7、2
1
（x）2
6
-36
解这个方程，得
7
1
x一
—1
6
6
21
即
说明：
当
X2二1.
元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式
ax2bx<=0心=0），若b=0，a、c异号时，可用直接开平方法求解，如（I）题•若a=0，b=0,c=0时，可用因式分解法求解，如
（2）题•若a、b、c均不为零，有的可用因式分解法求解，如（3）题；有的可用公式法求解，如（4）题•配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如（5）题.
而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程
（xF）2-4=0可用直接开平方法或因式分解法求解.又如方程（x-2）（4x1）（x-1）（x-2）也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移
项后提取公因式，得（x-2）［（4x，1）-（x-1）］=0,用因式分解法求解，得
2
为=2,X2二--，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以（x-2），这
3
会丢掉一个根x=2•也就是方程两边不能除以含有未知数的整式.
典型例题七
例解关于x的方程20m2x211mnx-3n2=0（m^O）
解法一：
原方程可变形为
（5mx-n）（4mx3n）=0
5mx-n=0或4mx3n=0
Im=0,
n3n
xi,x2
5m4m
解法二：
Ta=20m2,b=11mn,c=-3n2,
2222
b-4ac=（11mn）-420m（-3n）
22
=361mn_0,
又m=0,
-11mn36m2n2-11mn士19mn
…x22-
270m40m
n3n
x1,x2.
5m4m
说明解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零.
对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的
特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单.
典型例题八
例已知m-2=1，试解关于x的方程mx（x-2）+2=（x+1）（x-1）.
分析由m-2=1，容易得到m=3或m=1•整理关干x的方程，得
（m-1）x2-2mx•3=0.题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次
项系数要进行讨论，当m-1=0时，方程是一元一次方程；当m-1=0时，方程是一元二次方程。
解：
由m-2=1，得
m-2h1,
m^3,m2=1.
整理mx（x—2）2=（x1）（x—1），得
2
（m_1）x-2mx3=0.
当m=3时，原方程为2x2—6x=0,
解得
当m=1时，原方程为-2x•3=0,解得
Xi
3
当m=1时，x=-
2
填空题
1•方程（x-2）2=（x-2）的根是
2.方程（x3）（x1）=6x4的解是
2
3.方程（2y1）3（2y1）^0的解是
答案：
1.x^2,x2=32.=1、2,x2=1-.23.-1,-|.
解答题
1.用因式分解法解下列方程：
（1）（x2）2=2x4；
（2）4（x-3）2-x（x-3）=0;
（3）10x2-11x-6=0；（4）9（x-2）2=4（x•1）2。
22
（5）xx=0；（6）x-2x-35=0;
22
（7）x-7x10=0；（8）x9x18=0;
（9）10x2「11x「6=0；（10）6x211x「7=0.
2.用因式分解法解下列方程：
（1）（x_3）（x1）=5;
（2）14（x-4）9（x-4）一65=0；
（3）3（-—x）2—5（x—l）一2=0。
22
3.用因式分解法解下列关于x的一兀二次方程：
（1）x2x_k2x=0;
（2）x2_2mxm2-n2=0;
（3）x23mx-54m2=0;（4）15m2x2-17mx-18=0（m=0）;
222
（5）abx-（ab）xab=0（ab=0）
4.用适当的方法解下列方程：
（1）4x2-49=0；
（2）4x2-9x=0;
（3）x2-x=2；（4）x2-2x=624;
（5）x2_x「1二0;（6）x2_2..5x2=0.
5.已知三角形的两边分别是
1和2,第三边的数值是方程2x2-5x•3=0的根,
求这个三角形的周长
答案：
1.
（1）花=一2,X2=0;
（2）x1=3,X2=4;
（3）捲
x2__6
（5）为=0,X2--1（6）x1--5,
（7）x<|=2,x2=5（8）x<|--3,
（9）X1
I（10）
5
X2_3
2.
（1）捲--2,X2=4；
（2）M=|,X2=号;
15—5
x-i,x2:
22
5•提示：
三角形两边之和大于第三边，三角形周长为4.5.
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