一次函数知识点总结及练习题.docx
《一次函数知识点总结及练习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一次函数知识点总结及练习题.docx（34页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
一次函数知识点总结及练习题
第十一章一次函数复习课
知识点1一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
例如：
y=2x+3，y=-x+2，y=
x等都是一次函数，y=
x，y=-x都是正比例函数.
说明:
（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.
（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.
（3）当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数.
（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.
知识点2函数的图象
把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：
列表、描点、连线．
知识点3一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．
由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：
直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-
，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.
知识点4一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质
（1）k的正负决定直线的倾斜方向；
①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；
②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．
（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；
（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；
①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；
②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．
（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；
①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，
直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
②如图11－18
（2）所示，当k＞0，b﹥O时，
直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；
③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，
直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，
直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．
（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：
直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．
知识点3正比例函数y=kx（k≠0）的性质
（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；
（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；
（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．
知识点4点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系
（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；
（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．
例如：
点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．
知识点5确定正比例函数及一次函数表达式的条件
（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．
（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．
知识点6待定系数法
先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：
函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．
知识点7用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
（1）设函数表达式为y=kx+b；
（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；
（3）求出k与b的值，得到函数表达式．
例如：
已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．
解：
设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0），
由题意可知，
解
∴此函数的关系式为y=
．
【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：
第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中）；第四步，写（写出函数关系式）.
（2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx（k≠0）的位置关系．
直线y=kx+b（k≠0）平行于直线y=kx（k≠0）
当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；
当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b．
（3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置关系．
①k1≠k2
y1与y2相交；
②
y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；
③
y1与y2平行；
④
y1与y2重合.
基本概念题
例1下列函数中，哪些是一次函数？
哪些是正比例函数？
（1）y=-
x；
（2）y=-
；（3）y=-3-5x；
（4）y=-5x2；（5）y=6x-
（6）y=x（x-4）-x2.
解：
（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l）（6）是正比例函数．
例2当m为何值时，函数y=-（m-2）x
+（m-4）是一次函数？
解：
∵函数y=（m-2）x
+（m-4）是一次函数，
∴
∴m=-2.
∴当m=-2时，函数y=（m-2）x
+（m-4）是一次函数．
（4）利用待定系数法求函数的表达式．
例5已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x=4时，求y的值；
（3）当y=4时，求x的值．
解：
（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx．
把x=2，y=7代入y-3=kx中，得
7-3＝2k，∴k＝2．
∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3．
（2）当x=4时，y=2×4+3=11．
（3）当y＝4时，4=2x+3，∴x=
.
学生做一做已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是.
老师评一评由y与x+1成正比例，可设y与x的函数关系式为y=k（x+1）.
再把x=5，y=12代入，求出k的值，即可得出y关于x的函数关系式．
设y关于x的函数关系式为y=k（x+1）.
∵当x=5时，y=12，
∴12=（5+1）k，∴k=2．
∴y关于x的函数关系式为y=2x+2．
例6若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1﹤x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（D）
A．m﹤OB．m＞0
C．m﹤
D．m＞M
例8求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．
解：
由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，
∴图象经过点（2，-1），∴-l=2×2+b．
∴b=-5，∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.
综合应用题
本节知识的综合应用包括：
（1）与方程知识的综合应用；
（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．
例8已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例．
（1）y是x的一次函数吗？
请说明理由；
（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？
［分析］判断某函数是一次函数，只要符合y=kx+b（k，b中为常数，且k≠0）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合y=kx（k为常数，且k≠0）即可．
解：
（1）y是x的一次函数．
∵y+a与x+b是正比例函数，
∴设y+a=k（x+b）（k为常数，且k≠0）
整理得y=kx+（kb-a）．
∵k≠0，k，a，b为常数，
∴y=kx+（kb-a）是一次函数．
（2）当kb-a=0，即a=kb时，
y是x的正比例函数．
例9某移动通讯公司开设了两种通讯业务：
“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．
（1）写出y1，y2与x之间的关系；
（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？
（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？
解：
（1）y1=50+0．4x（其中x≥0，且x是整数）
y2=0．6x（其中x≥0，且x是整数）
（2）∵两种通讯费用相同，∴y1=y2，
即50+0.4x=0.6x．∴x＝250．
∴一个月内通话250分时，两种通讯方式的费用相同．
（3）当y1=200时，有200=50+0.4x，∴x=375（分）．
∴“全球通”可通话375分．
当y2=200时，有200=0.6x，∴x=333
（分）．
∴“神州行”可通话333
分．
∵375＞333
，∴选择“全球通”较合算．
例10已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？
（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；
（5）设点P在y轴负半轴上，
（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．
解：
（1）∵y+2与x成正比例，
∴设y+2=kx（k是常数，且k≠0）
∵当x=-2时，y=0．∴0+2＝k·（-2），∴k＝-1．
∴函数关系式为x+2=-x，即y=-x-2．
（2）列表；
x
0
-2
y
-2
0
描点、连线，图象如图11－23所示．
（3）由函数图象可知，当x≤-2时，y≥0．∴当x≤-2时，y≥0．
（4）∵点（m，6）在该函数的图象上，
∴6=-m-2,∴m＝-8．
（5）函数y=-x-2分别交x轴、y轴于A，B两点，
∴A（-2，0），B（0，-2）．
∵S△ABP=
·|AP|·|OA|=4，∴|BP|=
.
∴点P与点B的距离为4．
又∵B点坐标为（0，-2）,且P在y轴负半轴上，∴P点坐标为（0，-6）.
例11已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.
（1）k为何值时，它的图象经过原点？
（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？
（4）k为何值时，y随x的增大而减小？
解：
（1）图象经过原点，则它是正比例函数．
∴
∴k＝-2．
∴当k=-3时，它的图象经过原点．
（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.
∴-2=-2k2+18，且3-k≠0，∴k=±
∴当k=±
时，它的图象经过点（0，-2）
（3）函数图象平行于直线y=-x，
∴3-k=-1，∴k＝4．
∴当k＝4时，它的图象平行于直线x=-x．
（4）∵随x的增大而减小，
∴3-k﹤O．∴k＞3．
∴当k＞3时，y随x的增大而减小．
例12判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．
[分析]由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．
解：
设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b．
由题意可知，
∴
∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2．
∴当x=4时，y=4-2=2．∴点C（4，2）在直线y=x-2上．
∴三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上．
例14某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：
“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：
“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．
（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；
（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
解：
（1）甲旅行社的收费y甲（元）与学生人数x之间的函数关系式为
y甲=240+
×240x=240+120x.
乙旅行社的收费y乙（元）与学生人数x之间的函数关系式为
y乙=240×60％×（x+1）=144x+144．
（2）①当y甲=y乙时，有240+120x=144x+144，
∴24x＝96，∴x=4．
∴当x=4时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以．
②当y甲＞y乙时，240+120x＞144x+144，
∴24x＜96，∴x＜4．
∴当x﹤4时，去乙旅行社更优惠．
③当y甲﹤y乙时，有240+120x﹤140x+144，
∴24x＞96，∴x＞4．
某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：
每千克9元，由基地送货上门；乙方案：
每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．
1.分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；
2.当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？
并说明理由．
老师评一评先求出两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，再通过比较，探索出结论．
1.甲方案的付款y甲（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为y甲=9x（x≥3000）；
乙方案的付款y乙（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为
y乙=8x+500O（x≥3000）．
2.有两种解法：
解法1：
①当y甲=y乙时，有9x=8x+5000，
∴x=5000．
∴当x=5000时，两种方案付款一样，按哪种方案都可以．
②当y甲﹤y乙时，有9x﹤8x+5000，
∴x＜5000．
又∵x≥3000，
∴当3000≤x≤5000时，甲方案付款少，故采用甲方案．
③当y甲＞y乙时，有9x＞8x+5000，
∴x＞5000．
∴．当x＞500O时，乙方案付款少，故采用乙方案．
解法2：
图象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函数图象，如图11－24所示，由图象可得：
当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，y甲﹤y乙,即选择甲方案付款少；当购买量为5000千克时，y甲﹥y乙即两种方案付款一样；当购买量大于5000千克时，y甲＞y乙，即选择乙方案付款最少．
例15一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为.
[分析]本题分两种情况讨论：
①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：
当x=-3，y=-5；当x=6时，y=-2，把它们代入y=kx+b中可得
∴
∴函数解析式为y=-
x-4．
②当k﹤O时则随x的增大而减小，则有：
当x=-3时，y=-2；当x=6时，y=-5，把它们代入y=kx＋b中可得
∴
∴函数解析式为y=-
x-3.
∴函数解析式为y=
x-4，或y=-
x-3.
例1某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：
一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？
解：
（1）设y1=b，y2=kx（k≠0，x＞0），∴y=kx+b．
又∵当x=20时，y=1600；当x=30时,y=2000，
∴
∴
∴y与x之间的函数关系式为y=40x+800（x＞0）.
（2）当x=50时，y=40×50+800=2800（元）．
∴每名运动员需支付2800÷50=56（元〕
答：
每名运动员需支付56元．
例2已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y的值为9；当x=2时，y的值为-3．
（1）求这个函数的解析式。
（2）在直角坐标系内画出这个函数的图象．
解：
（1）由题意可知
∴
∴这个函数的解析式为x=-2x+1.
（2）列表如下：
x
0
y
1
0
描点、连线，如图11－26所示即为y=-2x+1的图象．
例6人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数，另么b=0.8（220-a）．
（1）正常情况下，在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是多少？
（2）一个50岁的人运动10秒时心跳的次数为20次，他有危险吗？
解：
（1）当a=16时，b=0.8（220-16）＝163．2（次）．
∴正常情况下，在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是163．2次．
（2）当a=50时，
b=0．8（220-50）=0．8×170=136（次），表示他最大能承受每分136次．
而20×
=120﹤136，所以他没有危险．
∴一个50岁的人运动10秒时心跳的次数为20次，他没有危险．
例7某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县．已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元／吨）如下表所示．
（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．
［分析］利用表格来分析C，D两县运到A，B两县的化肥情况如下表．
则总运费W（元）与x（吨）的函数关系式为
W=35x+40（90-x）+30（100-x）+45[60-（100-x）]=10x+4800．
自变量x的取值范围是40≤x≤90．
解：
（1）由C县运往A县的化肥为x吨，则C县运往B县的化肥为（100-x）吨．
D县运往A县的化肥为（90-x）吨，D县运往B县的化肥为（x-40）吨．
由题意可知
W＝35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）＝10x+4800．
自变量x的取值范围为40≤x≤90．
∴总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式为
w＝1Ox+480O（40≤x≤9O）．
（2）∵10＞0，∴W随x的增大而增大．∴当x=40时，
W最小值=10×40+4800=5200（元）．
运费最低时，x=40，90-x=50（吨），x-40=0（吨）．
∴当总运费最低时，运送方案是：
C县的100吨化肥40吨运往A县，60吨运往B县，D县的50吨化肥全部运往A县．
例82006年夏天，某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，图11－29是某水库的蓄水量V（万米2）与干旱持续时间t（天）之问的关系图，请根据此图回答下列问题．
（1）该水库原蓄水量为多少万米2？
持续干旱10天后．水库蓄水量为多少万米3？
（2）若水库存的蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，请问：
持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？
（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？
解：
设水库的蓄水量V（万米3）与干旱时间t（天）之间的函数关系式是V=kt+b（k，b是常数，且k=0）．
由图象可知，当t=10时，V=800；当t=30时，V=400．
把它们代入V=kt+b中，得
∴
∴V=-20t+1000（0≤t≤50）．
（1）当t=0时，V=-20×0+1000=1000（万米2）；
当t=10时，V=-20×10+1000=800（万米3）．
∴该水库原蓄水量为1000万米3，持续干旱10天后，水库蓄水量为800万米3．
（2）当V＜400时，有-20t+1000＜400，∴t＞30，
∴当持续干旱30天后，将发生严重干旱警报．
（3）当V=0时，有-20t+1000=0，∴t＝50，
∴按此规律，持续干旱50天时，水库将干涸．
例9图11－30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题．
（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？
（2）这次比赛全程是多少千米？
（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？
解：
（1）当15≤x＜33时，设yAB=k1x+b1，把（15，5）和（33，7）代入，解得k1=
b1=
∴yAB=
x+
.∴yAB=
x+
.
当y=6时，有6=
x+
，∴x=24。
∴比赛开始24分时，两人第一次相遇．
（2）设yOD=mx,把（4，6）代入，得m=
，
当X=48时，yOD=
×48=12（千米）∴这次比赛全程是12千米．
（3）当33≤x≤43时，设yBC=k2x+b2，把（33，7）和（43，12）代入，
解得k2=
，b2=-
.∴yBC=
x-
.
解方程组得
得
∴x=38.
∴当比赛开始38分时，两人第二次相遇．
一次函数测试题
一、选择题每小题3分，共30分）
1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）
A．y=
B．y=
C．y=
D．y=
·
2．下面哪个点在函数y=
x+1的图象上（）
A．（2，1）B．（-2，1）C．（2，0）D．（-2，0）
3．下列函数中，y是x的正比例函数的是（）
A．y=2x-1B．y=
C．y=2x2D．y=-2x+1
4．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）
A．一、二、三B．二、三、四
C．一、二、四D．一、三、四
6．若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）
A．k>3B．07．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为
A．y=-x-2B．y=-x-6C．y=-x+10D．y=-x-1
8．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（）
9．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中
升级会员 