小学数学应用题解题的案例方法3.docx

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小学数学应用题解题的案例方法3

小学数学应用题解题的案例方法

高坝店镇石头梁小学吴芳

分数应用题,是六年级数学最重要也是最难的知识点,同时也是变化最多的知识点.在此之前整个小学阶段学过的应用题,不管是数学的,还是奥数的,把题中的数字换成分数,就成了分数应用题.所以,学习这章，要特别注意从思维和方法上去把握，以思维与方法上的“不变”应对题弄上的“万变”。

先要弄清两个概念：

带单位的分数和不带单位的分数。

带单位的分数，如3/4吨，叫数量，与我们以前学过的“3吨”、“0.3吨”表示的意义一样，都是表示一个物体的具体的数量。

只不过在这里用分数的形式表示出来而已。

不带单位的分数，如3/4，叫分率，它表示一个数的几分之几。

由于这两种分数表示意义不同，出现在应用题中，它们的分析思路、解题过程也不同。

请仔细看下面的对比例子：

例1．

（1）一根铁丝长5米，用去了2/5米，还剩下多少米？

（2）一根铁丝长5米，用去了2/5，还剩下多少米？

解析：

（1）剩下的=总长-用去的=5–2/5=4又3/5米

（2）用去的：

5×2/5=2米；剩下5-2=3米

例2．

（1）一根铁丝，用去了2/5米，还剩下3米，这根铁丝多长？

（2）一根铁丝，用去了2/5，还剩下3米，这根铁丝多长？

解析：

（1）总长=用去的+剩下的=2/5+3=3又2/5米

（2）3÷（1–2/5）=3÷3/5=5米

由此可见，大家在做分数应用题时，一定要看清楚题中的分数是哪类分数。

一、题中没有不带单位的分数。

解题思路：

这类分数应用题与三、四、五年级学习的应用题，在解题思路和解题方法上是一样的，只不过题中的数量不是整数、也不是小数，而是分数。

当在做这类分数应用题出现障碍时，可把题中的分数换成整数来理解

例：

一辆汽车1/3小时行驶20千米，照这样的速度，3/4小时能行驶多少千米？

解析：

这是一道简单的行程问题，从“一辆汽车1/3小时行驶20千米”这句话，我们可以求出速度，速度=路程÷时间=20÷1/3=60（千米/小时）；题目求的是“3/4小时能行驶多少千米”，求路程=速度×时间=60×3/4=45千米

二、题中有不带单位的分数（即题中有分率）

解题思路：

四步法

第一步：

确定单位“1”

找单位“1”的方法：

找到题中不带单位的分数的那句话，“谁”的几分之几，那个“谁”就是单位“1”；如果这句话中含有“比”字，“比”后面的那个量就是单位“1”。

例如：

全长的1/3，“全长”就是单位“1”；第一天比第二天多生产2/7，含有“比”字，“比”后面的量是第二天，那么，“第二天”就是单位“1”

第二步：

确定乘除法

（1）题中直接或间接告诉单位“1”的或可直接算出单位“1”的，用乘法

（2）题中单位“1”是未知的，用除法

第三步：

列式

（1）如果是乘法：

单位“1”×分率分率指的是谁，求出来的就是谁

（2）如果是除法：

带单位的数量÷不带单位的分率=单位“1”。

带单位的数量一定要与不带单位的分率相对应，才能除，所谓相对应的意思，就是说，带单位的数量和不带单位的分率所指的是同一事物，在线段图上，是指同一段。

注意：

这一步是最难最容易出错的地方，很容易犯这样的错误：

拿到数字乱除或看到这么多数字，不知道哪个除以哪个，除完以后也不知道求出来的是谁，一定要从思维上把握准。

分数应用题最难、变化最多的地方也就是在这。

第四步：

检查

检查上一步列式算出来的结果是不是题目最后要求的，还有没有步骤。

下面是乘除法的对比例子，

例1．

（1）某车间加工一批零件，共240个，已经加工了5/8，还多少个零件没有加工？

（2）某车间加工一批零件，已经加工了5/8，正好是240个，这批零件共多少个？

解析：

（1）第一步：

确定单位“1”：

5/8是指总共的5/8，所以总共的零件个数是单位“1”

第二步：

确定乘除法：

题目告诉了零件的总个数是240个，知道单位“1”的，用乘法

第三步：

列式：

单位“1”×分率240×5/8=150（个），

第四步：

检查：

由于分率5/8是已经加工的，所以150个是指已经加工了的零件个数，而题目求的是还有多少个零件没加工，还应有一步骤，没加工的=总共的-已加工的=240-150=90个

240×5/8=150

240-150=9

（2）第一步：

确定单位“1”：

分率5/8是指总数的5/8，所以，总共的零件个数是单位“1”

第二步：

确定乘除法：

题目求的就是总零件个数，单位“1”是未知的，用除法

第三步：

列式：

带单位的数量÷分率。

题中带单位的数量只有一个：

240个，它是已经加工了的个数，而分率5/8也是指已加工的，两者同指一个事物，可以相除。

240÷5/8=384

第四步：

检查：

由于带单位的数量÷分率=单位“1”，384就是总零件的个数，这正是题目最后要求的，所以做完了。

240÷5/8=384

例2．

（1）某校去年有88个班，今年的班级数比去年增加3/8，今年多少个班级？

（2）某校去年有88个班，比今年的班级数增加了3/8，今年多少个班级？

解析：

（1）在有分率3/8这句话中有“比”字，“比”后面的量是去年的班级数，它就是单位“1”，而题目告诉了去年的班级数，知道单位“1”用乘法，单位“1”×分率。

去年是单位“1”今年比去年多3/8，所以今年的分率是1+3/8=11/8，所以求出来的就是今年的班级数。

88×（1+3/8）=88×11/8=121（个）

（2）单位“1”是今年的班级数，用除法，88÷分率，由于88是指去年的班级数，除以的分率也应是表示去年班级数的分率。

3/8是指去年比今年多的分率，今年的班级数是单位“1”，那么去年的班级数应是1+3/8；这时可以除了88÷（1+3/8）=单位“1”，即今年的班级数

88÷（1+3/8）=88÷11/8=88×8/11=64（个）

例3．一部长篇小说分上、下两册，上册页数的4/5等于下册页数的2/3，上册有295页，下册有多少页？

解析：

题中有两个不带单位的分率：

4/5和2/3，分别找出它们的单位“1”，上册页数的4/5，说明上册页数是单位“1”，是295页，用乘法，295×4/5=236（页），求出来的是上册4/5的页数；下册页数的2/3，说明它的单位“1”是下册的页数，而下册的页数是题目求的，是未知的，所以用除法。

由于下册的2/3就是236，所以只能用236去除，而不是295去除。

295×4/5=236（页）

236÷2/3=354（页）

用“四步法”这种解题思维，可以解决简单的分数应用题，但对于复杂的分数应用题，我们还需要借助一定的方法。

下面就介绍在复杂分数应用题中一些常见的解题方法

（一）画图法：

通过画线段图来找出哪个带单位的数量与哪个不带单位的分率是对应的。

例：

一桶油，第一次用去1/5，第二次比第一次多用去20千克，还剩下16千克，这桶油有多少千克？

解析：

按“四步法”，我们可以找出单位“1”是这桶油，是未知的，用除法。

题目中有两个带单位的量：

20千克和16千克，如果列式应该至少有四种可能：

20÷，16÷，（20+16）÷，（20-16）÷，倒底是哪种或是还有别的，最关键的要找到对应的分率。

1/5只是第一次的，第二次的分率呢？

剩下的分率呢？

由题可知，第二次比第一次多用去20千克，那么第二次肯定也用了1/5，还比1/5多20千克，所以，第二次用去了总数的1/5还多20千克。

由于我们从图上根本找不出20千克这段的分率，所以也找不出剩下16千克所对应的分率，不能用20或16去除哪个分率。

从图中我们很容易能找出（20+16）千克这段的分率是3/5，相对应，可以除了。

相除的结果就是单位“1”，即这桶油重量（很报歉，博文中显示不了WORD文档编辑出来的图，所以图自己画一画，对照这里的解析）

（20+16）÷（1-1/5–1/5）=36÷3/5=60（千克）

小结：

由这题我们可以知道，对于一些图复杂的分数应用题，特别是让你无从下手时，正确的思路会引导你从哪开始思考，接着往下怎么走，直到最后。

这也是我们一直强调学习数学要重视思维的原因。

在比较复杂的分数应用题中,“四步法”只是基础的分析思维，还需要借助一些方法来解题。

除了画图法外，还有以下几种解题方法

（一）对应法

小学四年级奥数中有专门的章节介绍对应法解应用题。

对应法的核心思维是：

不仅数字可以列竖式进行加减，算式也可以列竖式加减

例：

学校安排一批学生到图书馆借书，如果男生增加1/5，人数将达到52人，如果女生减少1/5，人数是42人。

这批学生原有多少人？

解析：

根据题意，我们可以找出下面两个数量关系式：

男生人数+1/5的男生人数+女生人数=52

男生人数+女生人数-1/5的女生人数=42

这两个式子对应相减（竖式相减），得：

1/5的男生人数+1/5的女生人数=10

即1/5×（男生人数+女生人数）=10

男生人数+女生人数=10÷1/5=50（人）

（二）转化法

当题中出现多个单位“1”时，我们可以把不同的单位“1”转化成统一的单位“1”

例：

小明、小英、小丽和小华四人爱好集邮，小明的邮票数是小英的1/2，小英的邮票数是小丽的1/3，小丽的邮票数是小华的1/4，已知四人共集邮132张，小明集邮多少张？

解析：

按照“四步法”，题中有三个不带单位的分率，它们的单位“1”分别是小英、小丽和小华；肯定用除法；题中只有一个带单位的数量：

132张，列式一定是用132去除；132是指四人集邮总数，应除以四人的分率总和，题目最关键就是要把四人的分率表示出来，由于存在不同的单位“1”，首先必须把不同的单位“1”统一成一个单位“1”。

有正确的思路，才知道该做什么。

把题中三个单位“1”，统一转化成以小华的集邮数做单位“1”。

小华是单位“1”，根据“小丽的邮票数是小华的1/4”，小丽就是1/4；根据“小英的邮票数是小丽的1/3”，小英就是：

1/3×1/4=1/12；根据“小明的邮票数是小英的1/2”，小明就是：

1/2×1/12=1/24，现在四人的分率都表示出来了，可以除了。

132÷（1+1/4+1/12+1/24）

=132÷11/8

=96（张）

算出来的是单位“1”：

小华的邮票张数，小明的张数是：

96×1/24=4（张）

思考：

为什么要挑小华的邮票张数做统一的单位“1”，可不可以把三个单位“1”都统一成小英的邮票总数或小丽的邮票总数？

去试试！

（三）假设法

例：

某修路队三天修完一条路，第一天修了全长的1/3多150米，第二天修了全长的2/5少100米，第三天修了1950米，这条路全长多少？

解析：

按“四步法”，单位“1”是全长，用除法，题中带单位的数量有三个：

150米、100米和1950米，到底用哪个去除，关键是要找到它们对应的分率。

除了画图法，我们还可以通过假设法来找相对应的分率。

假设第一天只修了全长的1/3，没有多修150米；假设第二天修了全长的2/5，没有少修100米，那么，三天要修完全长，第三天必须要修（1950+150-100）=2000米。

很容易求出第三天的分率：

1-1/3–2/5=4/15

2000÷4/15=7500米，就是单位“1”全长

（四）把分数看成比的方法

分数可以转化成比，把比当份数，也是一种好的解题方法

例学校田径队有35人，其中女生人数是男生人数的3/4，女生人数是多少？

解析：

“女生人数是男生人数的3/4”转化成比，就是：

女生人数和男生人数之比是3：

4，女生人数是3份，男生人数是4份，总共7份，总共35人，每份就是35÷7=5人，那么，女生人数就是5×3=15人

（五）抓住不变量的方法

一些较复杂的分数应用题中，会出现许多数量前后发生变化的。

这时的解题思维是：

在这些变化中抓住不变的量，将不变的量作为标准，有目的地转化数量关系。

来找到解题的线索。

不变的量可能是某一部分量不变，也可以是和、差不变，视题目具体情况而定

例1某车间的女工人数是男工人数的1/2，若调走21个男工，那么男工人数是女工人数的1/2，这个车间的女工人数是多少？

解析：

按“四步法”，题中单位“1”有两个：

男工人数和女工人数，但男工人数前后发生了变化，“抓住不变量”，由题意可知，女工人数不变，把它作为单位“1”，把“女工人数是男工人数的1/2”转化成“男工人数是女工人数的2倍”，这时两个单位“1”统一了，可以除了。

21是指调走的男生，必须找出调走男工人数的分率。

原来男工人数的分率是2，现在是1/2，说明调走了（2-1/2）=3/2，21÷3/2=14（人），就是单位“1”女工的人数

例2．甲乙两个粮仓，原来甲存粮吨数是乙的5/7，如果从乙仓调6吨到甲仓，甲仓粮的吨数是乙仓的4/5，原来甲乙两仓各有粮多少吨？

解析：

按“四步法”，乙仓是单位“1”，肯定用除法。

但乙仓存粮前后发生了变化，“抓住不变量”，两个仓的存粮总和不变，把它当作单位“1”，题中的条件都转化成以总存粮为单位“1”。

“原来甲存粮吨数是乙的5/7”，说明原来乙是7份，甲是5份，总共是12份，甲占5/12，乙占7/12；“甲仓粮的吨数是乙仓的4/5”说明调走了后，甲是4份，乙是5份，总共9份，甲占4/9，乙占5/9。

题中带单位的数量是6吨，是指乙调走的吨数，乙调走的分率是（7/12–5/9）=1/36相对应，可以除了。

6÷1/36=216吨，就是单位“1”总的存粮

那么，原来甲仓：

216×5/12=90吨，乙仓存粮：

216×7/12=126吨

例3．有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。

把两根都燃烧掉同样长的部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下长度的3/5，每段燃烧掉了多少厘米？

解析：

依“四步法”，单位“1”是长的一根剩下的长度，用除法。

由题意可知。

这两根蜡烛长度的差没有发生变化。

燃烧前与燃烧后两根蜡烛都是相差8-6=2厘米。

现在最关键的是要找出2厘米所对应的分率，也就是两根蜡烛燃烧后相差的分率。

“短的一根剩下的长度是长的一根剩下长度的3/5”，长的一根剩下的长度为单位“1”，那么短的一根剩下的长度就是3/5，相差1-3/5=2/5，现在可以除了

2÷2/5=5厘米，就是单位“1”长的一根剩下的长度，说明燃烧掉了8-5=3厘米

（六）还原法

在三、四、五年级奥数中，都有专门的章节介绍还原法，它最核心的思维是倒推思维

例：

3只猴子吃篮子的桃子，第一只猴子吃了1/3，第二只猴子吃了剩下的1/3，第三只猴子吃了第二只猴子剩下的1/4，最后篮子里剩下6只桃子。

问原来有多少只桃子？

解析：

从最后剩下的6只桃子，进行倒推

6只桃子占第二只猴子吃剩下后桃子数的1-1/4=3/4，6÷3/4=8只，就是第二只猴子吃剩下的桃子数；8只桃子占第一只猴子吃剩下桃子数的1-1/3=2/3，8÷2/3=12只，就是第一只猴子吃剩下的桃子数；12只桃子占篮子桃子数的1-1/3=2/3，12÷2/3=18，就是原有桃子数了

（七）方程法

在解任何应用题时，方程都是一种不能忽视的备用方法

例某校有学生465人，其中女生的2/3比男生4/5少20人，男生有多少人？

解析；设男生为x人，女生就有（465-x）人

从“女生的2/3比男生4/5少20人”找题中的数量关系式：

女生×2/3+20=男生×4/5

列方程2/3×（465-x）+20=4/5×x解得x=225