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毕业论文第二型曲面积分论文
毕业论文—第二型曲面积分论文
1引言...................................................................................................................................1
2文献综述............................................................................................................................13预备知识.............................................................................................................................1
3.1第二型曲面积分的定义.................................................................................................13.2第二型曲面积分的性质..................................................................................................24常用计算公式.....................................................................................................................25MATHEMATICA相关知识......................................................................................................46第二型曲面积分的计算......................................................................................................56.1用MATHEMATICA计算..........................................................................................................56.2分项投影法.....................................................................................................................66.3参数法............................................................................................................................86.4利用高斯公式.................................................................................................................86.5定义法...........................................................................................................................12
6.6解题技巧（轮换对称性）...........................................................................................147结论..................................................................................................................................15
7.1主要观点......................................................................................................................157.2启示..............................................................................................................................15
7.3局限性..........................................................................................................................157.4努力方向......................................................................................................................16参考文献.............................................................................................................................17
1引言
曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，因而显得更加复杂，繁琐。
在第二型曲面积分的学习过程中，学生必须在理解概念的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。
由于第二型曲面积分的的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定难度，本文就第二型曲面积分的的计算方法进行了归纳和总结，并用计算机辅助求解.
2文献综述
众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲面积分的计算.刘玉琏在文献《数学分析讲义》中介绍了第二型曲面积分的概念、性质，并且给出计算第二型面积分的定理.在文献《数学试题精选与大体技巧》中概括了第二型曲面积分被积函数的类型.薛嘉庆在文献《高等数学题库精编》总结了根据被积函数类型的不同，有不同的计算方法，并且列举了相应的例子.在文献《数学分析简明教程》中探究第二型曲面积分可以化为定积分来计算公式并给出相应的证明.在文献《华东师范大学教学系》介绍了在第二型曲面积分的计算中将路径的参数方程表示出来，在文献《高等数学解题方法与技巧》简述了做题常用的技巧.阳明盛.林建华在文献《Mathemactica基础及数学软件》中给出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式.
3预备知识
3.1第二型曲面积分的定义
设S为光滑的有向曲面，P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,y,z）在S上有界，把S任意分成n块有向曲面，?
S，i=1,2......，n，记?
S在xy平面上的有向投影为（?
S）iii
,，（,，，）为?
S上任取定的一点,T为每个?
S的直径中的最大者,作和数，xyiiiii
n
R,,（,，，）（?
S）.,xyiiiii
n
R,,如果（，，）（?
S）总存在，则称此极限值为R任有向曲面S,,xyiiiilimT,,0i
上沿xy平面的第二型曲面积分，记为.Rdxdy,,S
1
类似可定义
n
R,,=（，，）（?
S）,,Pdydz,yziiiilim,,T,,0iS
n
R,,=（，，）（?
S）,,Qdzdx,iiizxilim,,T,,0iS
分别为P在有向曲面S上沿yz平面的第二型曲面积分，Q在有向曲面S上沿zx平
面的第二型曲面积分，并且称++=为Pdydz，Qdzdx，RdxdyPdydzQdzdxRdxdy,,,,,,,,SSSSP,Q,R在有向曲面S上的第二型曲面积分.
3.2第二型曲面积分的性质
第二型曲面积分除曲面可加性外，还具有有向性，即
=—,Pdx，Qdypdx，Qdy,,,SS
+Rdz=—+Rdz,Pdx，Qdypdx，Qdy,,,SS
=—.Pdydz，Qdzdx，RdxdyPdydz，Qdzdx，Rdxdy,,,,,SS3.3第一、第二型曲面积分的关系
设空间有向曲面S上任一点的法线正向的方向角为，则,,,,,
=.Pdydz，Qdzdx，Rdxdy（Pcos,，Qcos,，Rcos,）ds,,,,SS
4常用计算公式
4.1投影法
设P,Q,R是定义在光滑曲面上S上的连续函数，且S的方程z=z（x,y）（x,y）Dxy
D为S在xy平面上的投影，则xy
/Pdydz,,P[x,y,z（x,y）].zdxdy，x,,,,SDxy
/dxdy，Qdzdx,,Q[x,y,z（x,y）].zy,,,,SDxy
2
dxdy.Rdydz,,R[x,y,z（x,y）],,,,SDxy
其中S取上侧
同理，当S的方程为x=x（y,z）时,
dydz,Pdydz,,P[x,y,z（x,y）],,,,SdDyz
dydz.QdzdxP[x（y,z）,y,z]x,,y,,,,SdDXY
4.2参数法
常用球面参数和柱面参数:
球面参数:
，可推广到椭球面.xRyRzR,,,sincos,sinsin,cos,,,,,
柱面参数;,xayazz,,,cos,sin,,,
其他参数由于计算复杂使用不多.
4.3单一坐标平面投影法
设以Oxy平面为投影面
,,，,（''）zPzQRdxdy,PdydzQdzdxRdxdy，，xy,,,,DS
以Oyz,Ozx平面为投影面情况类似.
4.4分项投影法
分项投影法是利用第二型曲面积分的线性性:
,PdydzQdzdxRdxdy，，PdydzQdzdxRdxdy，，,,,,,,,,SSSS
分别将右式三项投影到Oyz,Ozx,Oxy平面上，由于
，，.PdydzPdydz,PdydzPdydz,PdydzPdydz,,,,,,,,,,,,,SD1SD1SD1
分别投影直接计算二重积分，避免投影到一面上求偏导的计算，此法非常实用，看
似复杂，实则简单，非常实用.计算中要注意原曲面与投影曲面一一对应，若不一一对
应要分片投影，如一个完整的球投影到xoy平面上，上下半球曲面要分别投影计算.计
算中注意利用方向性等性质以简化计算.
4.5奥高公式
设空间有界去区域V的边界为S，函数P,Q,R在V及S上具有一阶连续偏导数.则
3
,,pQR（，，）dxdydz=,其中S取正向.Pdydz，Qdzdx，Rdxdy,,,,,,,,xxxVS
5Mathematica相关知识
5.1曲面表示法
（1）直角坐标显式:
z=z（x,y）;
（2）直角坐标隐式:
F（x,y,z）;
（3）参数形式:
x=x（u.v）,y=（u,v）,z=（u.v）;
,,,,,x,xy,yz,z（4）数据形式:
即将曲面上的点表示为,,;.（i,1,2,3...m）（j,1,2,3...n）ijijij5.2曲面绘制法
显示曲面z=f（x,y）绘图函数的调用格式:
Plot3D[f（x,y）,{x,x1,x2},{y,y1,y2},可选项]
4422例1绘制函数z=x+y—18（x+y）在区域-4?
x?
4，—4?
y?
4上的图形
400420020
--440
--22-200
22-444
图1
5.3隐式曲面F（x,y,z）=0绘图函数的调用格式:
ContourPlot3D[F（x,y,z）,{x,x1,x2},{y,y1,y2},{z,,z1,z2},可选项]
4
5.4Integrate[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]:
计算累次积分
6第二型曲面积分的计算
6.1用mathematica计算
d2222x，y，z,b例2求曲面积分，其中S是球面，被平面z=h（0和顶部z,h
解首先取b=2,h=1画出曲面，确定投影区域:
a1=Plot3D[Sqrt[2^2-x^2-y^2],{x,-2,2},{y,-2,2},
DisplayFunction->Identity];
a2=Plot3D[1,{x,-2,2},{Y,-2,2},DisplayFunction->Identity];Show[a1,a2,AxesLabel->{"x","y","z"},AspectRatio->Automatic,
DisplayFunction->$DisplayFunction]
21.52z10.5100-2-2y-1-1-100xx11-222
图2
2222x，y,b,h易知，曲面S在xoy平面上的投影区域D是，根据被积函数和积分
区域的特点，采用极坐标计算曲面积分:
z[x_,y_]:
=Sqrt[b^2-x^2-y^2];
d=1/z[x,y]*Sqrt[1=D[z[x,y],x]^2+D[z[x,y],y]^2]/{x->r*Cos[t],y->
r*Sin[t]}
Integrate[d*r,{t,0,2pi},{r,Sqrt[b^2-h^2]}]
5
2b2222.,,（bLog[b],hLog[h]）2h
6.2分项投影法
2222，y，z,R例3计算积分，?
为球面x（x，y）dydz，（y,z）dzdx，（z，3x）dxdy,,,
取外侧.
和,，，解:
对积分x，ydxdy，分别用记前半球面和后半球面的外侧.后前,,,
则有
222222,yz前，z,Rx,R,y,z:
D:
y,
222222,yz后，z,Rx,,R,y,z:
D:
y,，，x，ydxdy因此,=，,,,,,,,,,后前
222222，，，，,R,y,z，ydydz,,R,y,z，ydydz,,,,,DDyzyz
y,rz,rcos,sin,,R222222,2R,y,zdydz,,,,,,,,,,,8d,R,rrdr,,,,,00222y，z,R
3124，，22r,R32.4RrR，，,,,,,,,r,0,,233，，
,对积分（y,z）dzdx,分别用和记右半球面和左半球面的外侧,则有右左,,,
222222,:
;y,R,z,x,D:
x，z,R右zx
222222,:
y,,R,z,x,.D:
x，z,R左zx（y,z）dydz,因此,+=,,,,,,,,,右左
222222,，，R,z,x,zdzdx,,R,z,x,zdzdx，，,,,,DDzxzx
42223,2R,z,xdzdx,,R.,,3222x，z,R
,（z，3x）dxdy对积分,分别用和记上半球面和下半球面的外侧,则下上,,,
6
有
222222,:
z,R,x,y,;D:
x，y,R上xy
222222,:
x,,R,x,y,.D:
x，y,R下xy因此,=+=（z，3x）dxdy,,,,,,,,,下上
222222，，，，,R,x,y，3xdxdy,,R,x,y，3xdxdy,,,,,DDxyxy
422232.,R,x,ydxdy,,R,,3222x，y,R
433综上,（x，y）dydz，（y,z）dzdx，（z，3x）dxdy=.3，,R,4,R,,,3
222例4计算积分I=，其中S是三个坐标面与平面x+y+z=1xdydz，ydydz，zdxdy,,S
围成的四面体的外表面.
解:
分析:
S由四面光滑曲面S,S，S，S组成，其中S,S，S分别是3312412
xoy,zox,yoz平面上的三角形，S是平面x+y+z=1围成在第一卦线中的部分.于是4
222dydz，ydzdx，zdxdyI=（+++）x=I+I+I+I3124,,,,,,,,SS2S3S41
解法1:
由于S在yoz和zox两个坐标面上的投影为线段1
2I=zdxdy1,,S1
又由于S在xoy平面，于是I=011
，I=0同理可得I32
222I=xdydz，ydydz，zdxdy4,,S4
22=4zdxdy,（1,x,y）,,,,S0,x,1,x40,x,1
,,11x13,,,[（1xy）]dx=,,,003,,
1113（1x）dx=.,,,0312
7
1于是I=I+I+I+I=.32414
6.3参数法
222，y，z,1例5计算积分，其中S是球面x在x部分取外侧,0,y,0xyzdxdy,,S
22222，y，z,1解:
对S:
x在x部分取上下侧得z=?
1,x,y,0,y,0
22x，y,1,x,0,y,0D={（x,y）},于是xy
22xyzdxdy,2xy1,x,ydxdy,,,,SDxy
,xrcos,令,y,rsin,,
112222xyzdxdy,sin2,d2,1,rrdr,,,,004S
3,,1112222,,（1,r）,1,rd（1,r）,=,,,0415,,
图3
6.4利用高斯公式
,,PQR（）PdydzQdzdxRdxdydxdydz，，,，，Gauss公式:
,,,,,,,xyxSV
注意公式只对闭合曲面成立，Gauss公式将第二型曲面积分转化为三重积分，被积
8
函数（向量场散度）容易求得，有时十分方便求解.如果空间曲面较为复杂但只差一个
简单曲面或平面即可构成闭合曲面，则可利用补面法进行计算，此时也应特别注意方
向的判断.
22例6计算,其中是边长为b的正立方体表面并y（x,z）dydz，xdzdx，（y，xz）dxdyS,,S
取外侧（
解应用高斯公式，所求曲面积分等于
22y（x,z）dydz，xdzdx，（y，xz）dxdy,,S
，，,,,22,（（,）），（），（，）yxzxyxzdxdydz,,,,,,,,xyz，，V
z
b
5
2
3,4
y
o,6
1
b
x
图4
bbbb1,,24bbybdyb=dzdy（y，x）dx=，,,,,（y，x）dxdydz,,,,,,,2,,0000V
222,,z,a,x,y例7设空间区域由曲面与平面围成，其中a为正常数.记z,0
2222,S,V,表面的外侧为的体积为证明xyzdydz,xyzdzdx，z（1，xyz）dxdy,V.,,S
9
分析:
由于求证的是给定的曲面积分等于某个区域的体积值，而高斯公式给出了曲面积
分与该曲面包含的区域上的某个三重积分间的关系，考虑到体积值可用相应的三重积分
表示，故选用高斯公式进行证明.
2222P（x,y,z）,xyz,Q（x,y,z）,,xyz,证明:
设则R（x,y,z）,z（1，xyz）,
Q,R,P22,,2xyz,,2xyz,,1，2xyz.,y,x,z
由高斯公式知
2222xyzdydz,xyzdzdx，z（1，xyz）dxdy,,S
22,（2xyz,2xyz，1，2xyz）dv,dv，2xyzdv,,,,,,,,,,,,
V，2xyzdv.,,,,
222222a,x,y（）xya,x,y[]xyzdvxyzdzdxdydxdy,,,,,,,,,,02222222,x，y,ax，y,a
32222,arsincos（ar）,,,ddr,,,,,002
2,sin,cos,d,,0,xyzdv,0由于则.,,,,0,
例8计算曲面积分I=，其中?
为曲面xzdydz，2yzdzdx，3xydxdy,,,
2y2,（0,z,1）z=1-x的上侧4
2y2,:
z,0（x，,1）解:
添加平面，取下侧14
,，,则是一个封闭曲面，取外侧，设所围成的空间区域为1
P=xz,Q=2yz,R=3xy
p,Q,R，，,z，2z，0,3z,x,y,z
由奥高公式
10
I=（,）xzdydz，2yzdzdx，3xydxdy,,,,,,，,11
1=3zdV，3xydxdy,3zdzdxdy，0,,,,,,,,022,yy2211xz，,,x，,44
1=6z（1,z）dz，0,,,,0
图5
注:
（1）Gauss公式的条件是:
封闭、外侧、片倒是连续，三者缺一不可.
（2）正确确定P,Q,R三个函数，并注意分别对那个变量求偏导数曲面积分计算技巧.
若积分曲面?
关于想，x,y,z具有轮换对称性，则
f（x,y,z）ds,f（y,z,x）ds,f（z,x,y）ds,,,,,,,,,
1f（x,y,z），f（y,z,x），f（z,x,y）ds,,,3,
2222xyzdydz,xyzdzdx，z（1，xyz）dxdy,V.,,S
22222x，y，z,a例9计算曲面积分，其中s是球面.zds,,,
解:
分析:
若按照常规方法来解，计算量相当大，如果用对称函数的特性就非常简捷.
2222x，y，z,a？
球面关于x,y,z具有对称性
222？
xds,yds,zds,,,,,,,,,
114222222？
zds,（x，y，z）ds,,adsa=,,,,,,333,,,
11
图6
6.5定义法
当单位法向量容易求得，易于表达时可考虑用定义法.
22xy22，，,z1例10计算，其中S是椭球面，外侧.ydzdxzdxdy，,,44S
此题可利用参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法等多种方法计算，难度不
16,大，答案是.3
222222，y,z例11计算I=，其中?
是锥面x（xcos,，ycos,，zcos,）ds,,,
（0）,cos,,cos,,cos,为锥面的外法线的方向余弦.,z,h
解:
（解法1）
如图:
图7
12
22?
:
z=（0），下侧?
在xoy面上的投影D:
x，y,z,hxy
222221，z，zdxdy，y,hx,dS=.xy
xy,,z,zxy2222，，xyxy
zz,1yxcos,,,,cos,,cos,,2222221，z，z1，z，z1，z，zxyxyxy
33xy22[，,（x，y）]dxdyI=,,2222x，yx，yDxy
2,h,2234（）=x，ydxdy,,drdr,,h,,,,,002Dxy
解法2
利用第一、第二型曲面积分的关系
设空间有向曲面S上任一点的法线正向的方向角为
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