二次曲面PPT资料.ppt

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二次曲面,二次曲面的定义：

@#@,一、基本内容,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:

@#@截痕法,其基本类型有:

@#@,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形统称为二次曲面.,（二次项系数不全为0）,二次曲面性状的截痕法：

@#@,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,

（一）椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：

@#@,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面的交线为椭圆,同理与平面和的交线也是椭圆.,椭球面的几种特殊情况：

@#@,旋转椭球面,由xoz坐标面上的椭圆绕轴旋转而成。

@#@,方程可写为,球面,方程可写为,（也可以看成哪个坐标面上哪条曲线绕哪个坐标轴旋转？

@#@）,

（二）抛物面,（与同号）,椭圆抛物面,用截痕法讨论：

@#@,

（1）用坐标面与曲面相截,截得一点，即坐标原点,设,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,1.椭圆抛物面,与平面的交线为椭圆.,当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.,与平面不相交.,

（2）用坐标面与曲面相截,截得抛物线,（与同号）,与平面的交线为抛物线.,它的轴平行于轴,顶点,（3）用坐标面，与曲面相截,均可得抛物线.,同理当时可类似讨论.,（与同号）,椭圆抛物面的图形如下：

@#@,特殊地：

@#@当时，方程变为,旋转抛物面,（由面上的抛物线绕z轴旋转而成）,（或也可以看成哪个坐标面上哪条曲线绕哪个坐标轴旋转？

@#@）,（与同号）,双曲抛物面（马鞍面）,用截痕法讨论：

@#@,设,图形如下：

@#@,2.双曲抛物面（马鞍面）,（三）双曲面,单叶双曲面,

（1）用坐标面与曲面相截,截得中心在原点的椭圆.,1.单叶双曲面,x,y,o,z,与平面的交线为椭圆.,当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.,

（2）用坐标面与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与轴相合，虚轴与轴相合.,x,y,o,z,双曲线的中心都在轴上.,与平面的交线为双曲线.,实轴与轴平行,虚轴与轴平行.,实轴与轴平行,虚轴与轴平行.,截痕为一对相交于点的直线.,x,y,o,z,截痕为一对相交于点的直线.,（3）用坐标面，与曲面相截,均可得双曲线.,单叶双曲面图形,x,y,o,z,平面的截痕是两对相交直线.,双叶双曲面,x,y,o,z,2.双叶双曲面,（四）锥面,椭圆锥面,a=b时，即,圆锥面,椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.,（熟知这几个常见曲面的特性）,二、小结,思考题,方程,表示怎样的曲线？

@#@,思考题解答,表示平面x=-3上的一条双曲线.,