专题练习函数的奇偶性与周期性含参考答案.docx

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专题练习函数的奇偶性与周期性含参考答案

数学

函数的奇偶性与周期性

［基础达标］

一、选择题

1.［2019宝安，潮阳，桂城等八校第一次联考］下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是（）

A.y=2xB.y=2冈

C.y=2x—2xD.y=2x+2x

解析：

因为y=2x为增函数，y=2-x为减函数，所以y=2x-2-x为增函数，又y=2x—2-x为奇函数，所以选C.

答案：

C

2.［2019石家庄模拟］设函数f（x）为偶函数，当x€（0,+s）时，f（x）=log2x,则f（—/）=（）

A11

A.—2B.2

C.2D.-2

解析：

因为函数f（x）是偶函数，所以f（一也户改加尸唠?

后：

；故选B.

答案：

B

3.x为实数，［x］表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x-［x］在R上为（）

A.奇函数B.偶函数

C.增函数D.周期函数

解析：

函数f（x）=x—［x］在R上的图象如下图：

答案：

D

4.［2019河南安阳模拟］定义在R上的偶函数f（x）,对任意xi,

5.s、，JX2—fXii

X26［0,+°°）（Xi*X2）,有二---<0，则（）

X2—Xi

A.f（3）vf（—2）

（1）

B.f

（1）vf（—2）

C.f（—2）

（1）

D.f（3）vf

（1）vf（—2）

解析：

由题意知f（x）为偶函数，所以f（-2）=f

（2）.又x6［0,十s）时，f（x）为减函数，且3>2>1,所以f（3）vf

（2）vf（i）,即f（3）vf（—2）vf

（1）.

答案：

A

5.已知f（x）=ax2+bx是定义在［a—1,2a］上的偶函数，那么a+b的值是（）

.1—

A.--B-

.3

jri

C.2D.-2

解析：

:

f（x）=ax2+bx是定义在［a—1,2a］上的偶函数，

.CC1

.・a—1+2a=0,.a=3.又f（—x）=f（x）,

.・b=0,..a+b=1.

3

答案：

B

6.［2019武汉市高中毕业生调研］已知f（x）是R上的奇函数，且y

=f（x+1）为偶函数，当一1WXW0时，f（x）=2x2,则f：

=（）

•1-1

a.2b.—2

C.1D.—1

解析：

通解因为函数f（x）为奇函数，所以f（—x）=—f（x）,又y=f（x+1）为偶函数,所以f（x+1）=f（—x+1）,则f（x）=f（—x+2）=—f（x—2）=—f（—x+4）=f（x—4）,所以函数f（x）的周期为4,所以f7=_1_11C1

f4-2=f-2=2X_22=2，故选A.

优解因为函数f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）,又y=f（x+

7553

1）为偶函数，所以f（x+1）=f（1—x）,f2=f1+2=f1-2=f-2=11121

_f]=—f1+2=—f1_2=_f2=f_2=2X-22=2,故选A.答案：

A

2x—3,x>0一一…一

7.[2019河南濮阳模拟]^f（x）=八是奇函数，则f（g（—

gx,x<0

2））的值为（）

55

A.2B.-2

C.1D.-1

2x—3,x>01

解析：

「f（x）=是奇函数，「j<0时，g（x）=—

gx,x<02

3,-g（-2）=--1；+3=-15f（g（-2））=f（-1）=g（-1）=--1^+31—u7—1

=1.故选C.

答案：

C

1.

8.已知可函数f（x）在R上是增函数.右a=—flog2K,b=

5

f（log24.1）,c=f（20.8）,则a,b,c的大小关系为（）

A.a

C.c

解析：

f（x）是奇函数，「.f（—x）=—f（x）,

.二a=一f（—log25）=f（log25）.

而log25>log24.1>2>2°.8,且y=f（x）在R上为增函数,

••f（log25）>f（log24.1）>f（20.8）,即a>b>c.

答案：

C

2x—1,x>0

9.［2019南昌模拟］已知函数式刈=2x1x<0设g（x）=kf（x）+x2+x（k为常数），若g（10）=2018,则g（—10）等于（）

A.1998B.2038

C.—1818D.-2218

解析：

由g（10）=k（210-1）+102+10=2018,得k（210-1）=1908,所以g（-10）=k［2-（-10）-1］+（-10）2-10=k（210—1）+90=1908+90=1998,故选A.

答案：

A

10.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x—4）=—f（x）,且在区间［0,2］上是增函数，则（）

A.f（-25）

B.f（80）

C.f（11）

D.f（—25）

解析：

因为f（x）满足f（x—4）=—f（x）,

所以f（x—8）=f（x）,所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（-25）=f（-1）,f（80）=f（0）,f（11）=f（3）.

由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x—4）=—f（x）,得f（11）=f（3）=-f（-1）=f

（1）.

因为f（x）在区间［0,2］上是增函数，f（x）在R上是奇函数，

所以f（x）在区间［—2,2］上是增函数，

所以f（—1）

（1）,即f（—25）

答案：

D

二、填空题

11.［2017全国卷H］已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x6（—8,0）时，f（x）=2x3+x2,则f

（2）=.

解析：

令x>0,则—x<0.

•.f（—x）=-2x3+x2.

:

函数f（x）是定义在R上的奇函数，

f（-x）=-f（x）.

/.f（x）=2x3-x2（x>0）.

/.f

（2）=2X23-22=12.

答案：

12

12.［2018全国卷田］已知函数f（x）=lnN1+x2—x）+1,f（a）=4,则f（—a）=.

解析：

.f（x）+f（—x）=ln（^J1+x2-x）+1+InCxJl+x2+x）+1=ln（1+x2—x2）+2=2,

•-f（a）+f（—a）=2,•-f（—a）=—2.

答案：

—2

13.［2019山西省八校第一次联考］已知f（x）是定义在R上的函数，-一1一一，-11

且满足f（x+2）=—1，当2WxW3时，f（x）=x,则f—5=

fx4

_....1

角牛析：

.f（x+2）=—-,..f（x+4）=f（x）,fx

.111.5「-.

.f—5=f2,又2WxW3时，f（x）=x,

55115

•-f2=5,/.f—万=2.5

答案：

2

14.［2019石家庄高中毕业班模拟考试］已知f（x）是定义在［―2b,1+b］上的偶函数，且在［―2b,0］上为增函数，则f（x—1）wf（2x）的解集为.

解析：

:

函数f（x）是定义在［―2b,1+b］上的偶函数，

•••—2b+1+b=0,b=1,函数f（x）的定义域为［—2,2］,又函数f（x）在［―2,0］上单调递增，函数f（x）在［0,2］上单调递减，.「f（x—1）wf（2x）,

•.f（|x—1|）wf（|2x|）,

「•-2

一1wxW3

-1wxw1i

-1

|xT|刁2x|‘1x""1'

乙一1

答案：

—1,3

［能力挑战］

15.（2018莆田模拟）对于函数f（x）=asinx+bx3+cx+1（a,b,c6R）,选取a,b,c的一组值计算f

（1）,f（—1）,所得出的正确结果可能是（）

A.2和1B.2和0

C.2和一1D.2和一2

解析：

选B.设g（x）=asinx+bx3+cx,显然g（x）为定义域上的奇函数，所以g

（1）+g（—1）=0,所以f

（1）+f（-1）=g

（1）+g（-1）+2=2,只有B选项中两个值的和为2.

16.（2018佛山模拟）已知y=f（x）是偶函数,且当0WxW1时，f（x）=sinx,而y=f（x+1）是奇函数,则a=f（—3.5）,b=f（7）,c=f（12）的大小关系是（）

A.ccbcaB.c

C.a

解析：

选B.因为y=f（x）是偶函数,所以f（x）=f（—x）,

因为y=f（x+1）是奇函数，所以f（x）=-f（2-x）,

所以f（-x）=-f（2-x）,即f（x）=f（x+4）.

又因为当0WXW1时，f（x）=sinx,所以函数在［0,1］上单调递增，

因为a=f（-3.5）=f（-3.5+4）=f（0.5）;

b=f（7）=f（7-8）=f（-1）=f

（1）,

c=f（12）=f（12—12）=f（0）,

又因为f（x）在［0,1］上为增函数，

所以f（0）

（1）,即c

17.（2018西安模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）=x2+2x,若f（2—a2）>f（a）,则实数a的取值范围是（）

A.（一巴T）U（2,+*B.（—1,2）

C.（—2,1）D.（―巴―2）U（1,十*

解析：

选C；f（x）是奇函数，.•・当x<0时，一x>0,.f（-x）=（-x）2—2x,「•一f（x）=x2—2x,「.f（x）=—x2+2x作出函数f（x）的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f（x）是R上的增函数，由f（2-a2）>f（a）,得2—a2>a,解得一2

18.（2018河北衡水中学一模）对任意的实数x都有f（x+2）—f（x）=2f

（1）,若y=f（x—1）的图象关于x=1对称，且f（0）=2,则f（2019）+f（2020）=（）

A．0B．2

C．3D．4

解析：

选B.-y=f（x—1）的图象关于x=1对称，则函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数f（x）是偶函数.

令x=—1,则f（—1+2）—f（—1）=2f

（1）,

即f

（1）—f

（1）=2f

（1）=0,即f

（1）=0.

则f（x+2）-f（x）=2f

（1）=0,即f（x+2）=f（x）,

即函数的周期是2,又f（0）=2,则f（2019）+f（2020）=f

（1）+f（0）=0+2=2,故选B.

19.（2018内蒙古包头模拟）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=—f（x）,且在［0,2］上为增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间［—8,8］上有四个不同的根X1,X2,X3,X4,则X1+X2+X3+X4的值为

．

解析：

因为f（x-4）=-f（x）,所以f（x—8）=f（x）,所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，由f（x—4）=—f（x）可得f（x+2）=—f（x+6）=-f（x-2）,因为f（x）是奇函数，所以f（x+2）=-f（x-2）=f（2-x）,所以f（x）的图象关于直线x=2对称，结合f（x）在［0,2］上为增函数，可得函数f（x）的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交

点的横坐标之和为2X（—6）,另两个交点的横坐标之和为2X2,所

以xi+X2+X3+X4=-8.

答案：

—8

20.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x—3）=—f（x）,在区间

21._.

0,2上是增函数，且函数y=f（x—3）为奇函数，则（）

A.f（-31）

B.f（84）

C.f（13）

D.f（-31）

解析：

选A.根据题意，函数f（x）满足f（x—3）=—f（x）,则有f（x

-6）=-f（x-3）=f（x）,则函数f（x）为周期为6的周期函数.若函数y=f（x—3）为奇函数，则f（x）的图象关于点（一3,0）成中心对称，则有f（x）=-f（-6-x）,又由函数的周期为6,则有f（x）=-f（-x）,函数

3

f（x）为奇函数.又由函数在区间0,2上是增函数，则函数f（x）在

33

—2，2上为增函数，f（84）=f（14X6+0）=f（0）,f（—31）=f（—1—5X6）

=f（—1）,f（13）=f（1+2X6）=f

（1）,则有f（—1）

（1）,即f（—31）