第十讲一元一次方程的应用.docx
《第十讲一元一次方程的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十讲一元一次方程的应用.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
第十讲一元一次方程的应用
授课课题
第十讲：
一元一次方程的应用
教学目标
1.熟练掌握解一元一次方程；
2.熟练掌握一元一次方程的应用题型；
教学重点
1.解一元一次方程；2.列一元一次方程；3.根据现实情况解答一元一次方程。
教学难点
1.列一元一次方程；2.找等量关系。
教学流程
新
课
导
入
【思考】
1.2（x-2）-3（4x-1）=5（1-x）；2.
；
3.某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制。
某班与其他7个队各赛1场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？
解：
设胜利x场，平（7-x）场，依题意得：
3x+（7-x）=17
解之得：
x=5答：
该班共胜了5场比赛．
合
作
探
究
一．新知探究：
类型一：
销售中的盈亏问题
例1、某商品的进价是2000元，标价为3000元，商店要求以利润率等于5%的售价打折出售，售货员应该打几折出售此商品?
思路点拨：
根据利润率=
，利润=售价－进价，若设售货员可以打x折出售此商品，则售价为
，利润为
元，所以可得
．
解：
设售货员最低可以打x折出售此商品，根据题意
，解得
。
答：
售货员可以打7折出售此商品．
课堂练习：
[变式1]购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么该书的原价是多少元？
解：
设原价为x元，根据题意，得0.9x－0.8x＝2，解得x＝20
答：
该书原价是20元。
[变式2]某商店有一批商品，按所期望获得50％利润定价，结果只售出70％。
为了尽早销售剩余的商品，商店决定按原定价打折出售，这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82％，问此商品打了多少折？
解：
设这批商品的剩余部分打了x折，这批商品的总数量为“1”，每个商品的进价是y元，依题意得：
50％y·70％＋[（1＋50％）·y·
－y]·（1－70％）＝50％y·82％
化简，得35y＋30y（0.15x－1）＝41y
∵总进价y＞0，∴35＋30（0.15x－1）＝41，∴x＝8
答：
此商品打了8折。
类型二：
积分问题
例2、阳光中学在兴办的足球比赛中规定：
胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。
某班足球队参加了12场比赛，一共得22分，已知这支球队只输了2场，那么这支球队胜几场？
平几场？
解：
设这支球队胜x场，那么平了场数为[（12-2）－x）]=10-x，根据题意，得
3x＋（10－x）×1＝22，解方程得x＝6，所以10－x＝10－6＝4
答：
这支球队胜6场，平4场。
总结升华：
题中的等量关系是：
球队得分＝胜场得分＋平场得分，把球赛与方程联系起来，培养运用方程知识解答和分析实际问题的能力。
类型三：
行程问题
例3、A、B两码头相距150km，甲、乙两船分别从两码头开始相向而行，2.5h相遇，已知甲的速度是乙的速度的1.5倍，问甲、乙两船的速度各为多少?
思路点拨：
这是行程问题中的相遇问题，设乙的速度为xkm／h，则甲的速度1.5xkm／h，相遇时，甲、乙各自的行程分别为2.5×1.5xkm、2.5xkm，它们的和等于总路程．
解：
设乙船速度为xkm／h，甲船速度为1.5xkm／h．
由题意得2.5×1.5x+2.5x=150，
解得x=24．
∴甲船速度为24×1.5=36km／h．
答：
甲、乙两船的速度分别为36km／h，24km／h．
总结升华：
相遇问题一般都有等量关系：
甲路程+乙路程=总路程。
相遇路程=速度和×相遇时间
课堂练习：
【变式】小华家距学校2.4km，某一天小华从家中去上学恰好走到一半路程时，发现离按时到校的时间只有12min了，如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少?
分析：
由题意知，小华在行走剩下的1.2km时，最多要用12min，根据路程=速度×时间，可设未知数列方程．
解：
设他行走剩下的一半路程时的平均速度至少为xkm／h．
由题意得：
，
解得
．
答：
他行走剩下的一半路程时的平均速度至少为6km／h．
总结升华：
本题关键是要分析出在12min之内必须行走完1.2km的路程，因此本题也可用算术解法
。
解题过程中要注意单位的统一，
类型四：
形积变化中的方程
例4、用直径是20mm的圆钢1米，能拉成直径是2mm的圆钢多少米？
思路点拨：
本题是等积变形问题。
等量关系是拉伸前的体积＝拉伸后的体积。
涉及公式是圆柱体的体积V＝πr2h。
解：
设能拉成xmm，依题意得π·
×1000＝π·
·x，
解得x＝100000,100000mm＝100m。
答：
能拉成直径是2mm的圆钢100m。
总结升华：
解应用题时单位应统一，比如本题如果没有统一单位。
设能拉成圆钢x米，列方程π·
·1＝π·
·x，解得x＝100。
尽管结果是对的，但是所列方程是错误的，与实际生活不符。
课堂练习：
[变式]用直径为4cm的圆钢铸造3个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？
分析：
这一道有关等积变形的问题，解本题的关键是：
铸造前圆钢的体积=铸造后3个圆柱的体积和．设所需圆钢长为xcm，则圆钢铸造前体积为
，铸造后3个圆柱的体积和为
。
解：
设需截取xcm长的圆钢，由题解得：
解得：
． 答：
需要截取12cm长的圆钢．
类型五：
工程问题
例5、一项工程，甲单独做要8天完成，乙单独做要12天完成，丙单独做要24天完成，现在甲、乙合作3天后，甲因事离去，由乙、丙合作，问乙、丙还要做几天才完成这项工程?
思路点拨：
这是一道多人合作的工程问题，本题明显的等量关系是甲、乙合作的工量+乙、丙合作的工作量=总工作量，设还需x天完成，那么甲、乙合作的工作量为
。
乙、丙合作的工作量为
，由上面等量关系可列方程。
解：
设还需x天完成，由题意列方程得
，解得x=3．
答：
乙、丙还要做3天才能完成这项工程．
总结升华：
弄清关系式：
总工作量=各单位工作量之和；并且没有告诉总工作量的工程，总工作量都看作“1”。
类型六：
银行存贷款问题
例6、小张在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问它存入的本金是多少元？
思路点拨：
这是一个实际生活中常见的问题，这里利息税是指把利息的20%上缴国家，本息则指本金与利息的和。
解：
设小张存入的本金为x元，则5个月后的利息为2%×x×5即0.1x元，
这些利息需交利息税0.1x×20%即0.02x元
由题意得：
x+0.1x-0.02x=1080
∴x=1000
答：
他存入银行的本金为1000元。
课堂练习：
【变式】爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为2.7％，五年后取出本息和为17025元，爸爸开始存入多少元。
思路点拨：
本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期数。
解：
设爸爸开始存入x元。
根据题意，得x＋x×2.7％×5＝17025。
解之，得x＝15000
答：
爸爸开始存入15000元。
类型七：
数字问题
例7、一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大2，又个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数。
思路点拨：
本题要求一个三位数，即要求出个、十、百位上的数字，根据第一个条件，设百位上的数为x更好一些，此时，十位上的数为2x，个位数字可由第三个条件得到14-2x-x，再由第二个条件列出方程。
解：
设百位上的数为x，则十位上的数为2x，个位上的数为14-2x-x
由题意得：
x+14-2x-x=2x+2
∴x=3
∴这个三位数为365
类型八：
调配问题
例8、现有甲、乙两项工程，甲的工作量是乙的2倍，第一组有19人，第二组有14人（假设人均工作效率相同），怎样调配两组的人数，才能使两项工程同时开工，又同时完成呢?
思路点拨：
因为甲工程的工作量是乙工程的工作量的2倍，且人均工作效率相同，所以甲工程需要的人数是乙工程需要的人数的2倍．
解法一：
设从第二组抽调x人去第一组，则抽调后第一组人数为（19+x）人，第二组为（14-x）人，
由题意得：
19+x=2（14-x），
解得x=3．
答：
从第二组抽调3人去第一组，由第一组去做甲工程，第二组去做乙工程．
解法二：
设第一组调出y人去第二组，由第二组做甲工程，得方程
，解得
。
答：
从第一组抽调8人去第二组，由第一组去做乙工程，第二组去做甲工程．
总结升华：
解题关键从工作量的关系推出所需人数的关系。
类型九：
方案选择
例9、为了准备小颖6年后上大学的学费5000元，她的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式：
（1）先存一个3年期的，3年后将本息和自动转存下一个3年期；
（2）直接存一个6年期．
参照下图，你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少?
思路点拨：
利用本息计算公式、利息计算公式：
本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数，可分别算出两种储蓄方式的本金．
解：
设开始存入x元．
如果按照第一种储蓄方式有x（1+3.24%×3）（1+3.24%×3）=5000，解这个方程，得x≈4153；
如果按照第二种储蓄方式有
，解这个方程得x≈4112．
所以，第一种储蓄方式开始存入的本金约需4153元，第二种储蓄方式开始存入的本金约需4112元．
因为4153>4112，因此，按第二种储蓄方式开始存人的本金少．
课堂练习：
[变式]移动通讯公司开设了两种通讯业务。
“全球通”：
使用者先交50元月租费，然后每通话1分钟，再付通话费0.4元；“快捷通”：
不交月租费，每通话1分钟，付通话费0.6元，以上两种通讯业务中，通话时间不足1分钟的均按1分钟计算。
（1）若一个月内通话时间为x（x为实际收费时间）分钟，试用含x的式子表示出两种方式通话的费用；
（2）通话时间为多少分钟时，两种方式的费用一样多？
（3）小明每个月的通话时间大约是200分钟，那么他选择哪种业务较合算？
解：
（1）“全球通”一个月内通话费用为（50＋0.4x）元，“快捷通”一个月内通话费用为0.6x元.
（2）由题意得50＋0.4x＝0.6x，解得x＝250，
所以，当通话时间为250分钟时，两种通讯业务的费用一样多。
（3）当x＝200时，“全球通”的费用为50＋0.4×200＝130（元），
“快捷通”的费用为0.6×200＝120（元）。
所以小明选择“快捷通”较合算。
（三）归纳小结
中
考
连
接
1．（2012•肇庆）顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1人，到两地旅游的人数各是多少人？
2．（2012•梧州）今年5月，在中国武汉举办了汤姆斯杯羽毛球团体赛．在27日的决赛中，中国队占胜韩国队夺得了冠军．某羽毛球协会组织一些会员到现场观看了该场比赛．已知该协会购买了每张300元和每张400元的两种门票共8张，总费用为2700元．请问该协会购买了这两种门票各多少张？
能
力
提
升
练
习
一、选择题：
1．（2008•眉山）若方程3（2x﹣2）=2﹣3x的解与关于x的方程6﹣2k=2（x+3）的解相同，则k的值为（ ）
A．
B．
﹣
C．
D．
﹣
2．下列各组方程中，解相同的方程是（ ）
A．
x=3与4x+12=0
B．
x+1=2与（x+1）x=2x
C．
7x﹣6=25与
=6
D．
x=9与x+9=0
3．如果方程
x=1与2x+a=ax的解相同，则a的值是（ ）
A．
2
B．
﹣2
C．
3
D．
﹣3
4．在方程：
①3x﹣
=1；②
；③6x﹣5=2x﹣3；④x+
=2x中，与方程2x=1的解相同的方程有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
5．下面的四个判断中，不正确的是（ ）
A．
34x3y6与34a3b6不是同类项
B．
3x和﹣3x+1不能互为相反数
C．
4（x﹣7）=6（5﹣27x）和6（5﹣27y）=4（y﹣7）不是同解方程
D．
3和
不能互为倒数
6．（2010•台湾）小芬买15份礼物，共花了900元，已知每份礼物内都有1包饼干及每支售价20元的棒棒糖2支，若每包饼干的售价为x元，则依题意可列出下列哪一个一元一次方程式（ ）
A．
15（2x+20）=900
B．
15x+20×2=900
C．
15（x+20×2）=900
D．
15×x×2+20=900
7．（2010•曲靖）练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元．如果设水性笔的单价为x元，那么下列所列方程正确的是（ ）
A．
5（x﹣2）+3x=14
B．
5（x+2）+3x=14
C．
5x+3（x+2）=14
D．
5x+3（x﹣2）=14
8．（2010•綦江县）2010年“地球停电一小时”活动的某地区烛光晚餐中，设座位有x排，每排坐30人，则有8人无座位；每排坐31人，则空26个座位．则下列方程正确的是（ ）
A．
30x﹣8=31x+26
B．
30x+8=31x+26
C．
30x﹣8=31x﹣26
D．
30x+8=31x﹣26
9．（2010•河北）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．
x+5（12﹣x）=48
B．
x+5（x﹣12）=48
C．
x+12（x﹣5）=48
D．
5x+（12﹣x）=48
10．（2009•淄博）家电下乡是我国应对当前国际金融危机，惠农强农，带动工业生产，促进消费，拉动内需的一项重要举措．国家规定，农民购买家电下乡产品将得到销售价格13%的补贴资金．今年5月1日，甲商场向农民销售某种家电下乡手机20部．已知从甲商场售出的这20部手机国家共发放了2340元的补贴，若设该手机的销售价格为x元，以下方程正确的是（ ）
A．
20x•13%=2340
B．
20x=2340×13%
C．
20x（1﹣13%）=2340
D．
13%•x=2340
11．（2011•茂南区）右图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为（ ）
A．
22元
B．
23元
C．
24元
D．
26元
12．（2010•乌鲁木齐）阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为（ ）
A．
26元
B．
27元
C．
28元
D．
29元
二、填空题
13．方程
=x﹣4与方程
=﹣6的解相同，则m= _________ ．
14．（2012•湘潭）湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人．我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食．根据题意，列出方程为 _________ ．
15．（2011•湘潭）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为 _________ ．
16．（2008•白银）某商店销售一批服装，每件售价150元，打8折出售后，仍可获利20元，设这种服装的成本价为每件x元，则x满足的方程是 _________ ．
17．（2007•湘潭）某市在端午节准备举行划龙舟大赛，预计15个队共330人参加．已知每个队一条船，每条船上人数相等，且每条船上有1人击鼓，1人掌舵，其余的人同时划桨．设每条船上划桨的有x人，那么可列出一元一次方程为 _________ ．
18．一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时．现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做．完成整个工程一共需要多少小时？
若设一共需要x小时，则所列的方程为 _________ ．
19．（2012•鄂尔多斯）某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．
小敏在该超市两次购物分别付款60元和288元．如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则应付款 _________ 元．
20．（2011•牡丹江）某种商品每件的进价为180元，按标价的九折销售时，利润率为20%，这种商品每件标价是 _________ 元．
三、解答题
21．已知关于x的方程3[x﹣2（x﹣
）]=4x和
﹣
=1有相同的解．那么这个解是多少？
22．根据下列条件列方程，并求出方程的解：
（1）某数的
比它本身小6，求这个数；
（2）一个数的2倍与3的和等于这个数与7的差．
23．根据下列条件，列出方程；
（1）x的3倍减5，等于x的2倍加1；
（2）x的30%加2的和的一半，等于x的20%减5．
24．抗洪救灾小组在甲地段有28人，乙地段有15人，现在又调来29人，分配在甲乙两个地段，要求调配后甲地段人数是乙地段人数的2倍，求应调至甲地段和乙地段各多少人？
25．（2012•肇庆）顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1人，到两地旅游的人数各是多少人？
26．（2012•梧州）今年5月，在中国武汉举办了汤姆斯杯羽毛球团体赛．在27日的决赛中，中国队占胜韩国队夺得了冠军．某羽毛球协会组织一些会员到现场观看了该场比赛．已知该协会购买了每张300元和每张400元的两种门票共8张，总费用为2700元．请问该协会购买了这两种门票各多少张？
27．（2012•邵阳）2012年，某地开始实施农村义务教育学校营养计划﹣﹣“蛋奶工程”．该地农村小学每份营养餐的标准是质量为300克，蛋白质含量为8%，包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋．已知牛奶的蛋白质含量为5%，饼干的蛋白质含量为12.5%，鸡蛋的蛋白质含量为15%，一个鸡蛋的质量为60克．
（1）一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？
（2）每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？
28．（2009•海南）目前我省小学和初中在校生共136万人，其中小学在校生人数比初中在校生人数的2倍少2万人．问目前我省小学和初中在校生各有多少万人？
29．（2005•烟台）为庆祝第29届北京奥运圣火在泉州站传递，甲、乙两校联合准备文艺汇演．甲、乙两校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装（一人买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数
1套至45套
46套至90套
91套及以上
每套服装的价格
60元
50元
40元
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．
（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
（2）甲、乙两校各有多少学生准备参加演出？
（3）如果甲校有9名同学抽调去参加迎奥运书法比赛不能参加演出，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买服装才能最省钱？
30．（2005•柳州）我校“春之声”广播室小记者谭艳同学为了及时报道学校参加全市中学生篮球比赛情况，她从领队韦老师那里了解到校队共参加了16场比赛，积分28分．按规定赢一场得2分，输一场得1分．可是小谭忘记了输赢各多少场了，请你根据上面提供的信息分别求出输、赢各多少场？
升级会员 