社会关注的热点问题.docx
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社会关注的热点问题
一、校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC
校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？
请说明理由（参考数据：
2
3
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠CDB=75°，
∴∠CBD=15°，∠EBD=15°，
在Rt△CBD和Rt△EBD中，
∵
∠CBD＝∠EBD
∠DCB＝∠DEB
BD＝BD
，
∴△CBD≌△EBD，
∴CD=DE，
在Rt△ADE中，∠A=60°，AD=40米，
则DE=ADsin60°=20
3
米，
故AC=AD+CD=AD+DE=（40+20
3
）米，
在Rt△ABC中，BC=ACtan∠A=（40
3
+60）米，
则速度=
40
3
+60
10
=4
3
+6≈12.92米/秒，
∵12.92米/秒=46.512千米/小时，
∴该车没有超速．
二、2013•重庆）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．
（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；
（2）求证：
∠CEG=12∠AGE．
（2013•重庆）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．
（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；
（2）求证：
∠CEG=
1
2
∠AGE．
（2）证明：
过G作GM⊥AE于M，
∵AE⊥BE，GM⊥AE，
∴GM∥BC∥AD，
∵在△DCF和△ECG中，
∠1＝∠2
∠C＝∠C
CD＝CE
，
∴△DCF≌△ECG（AAS），
∴CG=CF，
∵CE=CD，CE=2CF，
∴CD=2CG
即G为CD中点，
∵AD∥GM∥BC，
∴M为AE中点，
∴AM=EM，
∵GM⊥AE，
∴AG=EG，
∴∠AGM=∠EGM，
∴∠AGE=2∠MGE，
∵GM∥BC，
∴∠EGM=∠CEG，
∴∠CEG=
1
2
∠AGE．
三、
[操作发现]如图1,在矩形ABCD中,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点[操作发现] 如图1,在矩形ABCD中,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD内部,延长AF交CD于点G,猜想线段GF与GC有何数量
[操作发现] 如图1,在矩形ABCD中,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD内部,延长AF交CD于点G,猜想线段GF与GC有何数量关系?
请你证明你的结论. [类比探究] 如图2,将[操作发现]中的矩形ABCD改为平行四边形,其他条件不变,[操作发现]中的结论是否仍然成立?
请说明理由.
（1）猜想线段GF=GC,
证明：
连接EG,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,
∴BE=EF,
∴EF=EC,
∵EG=EG,∠C=∠EFG=90°,
∴△ECG≌△EFG（HL）,
∴FG=CG；
（2）
（1）中的结论仍然成立．
证明：
连接EG,FC,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,
∴BE=EF,∠B=∠AFE,
∴EF=EC,
∴∠EFC=∠ECF,
∵矩形ABCD改为平行四边形,
∴∠B=∠D,
∵∠ECD=180°-∠D,∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D,
∴∠ECD=∠EFG,
∴∠GFC=∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF=∠GCF,
∴∠GFC=∠GCF,
∴FG=CG；
即
（1）中的结论仍然成立
四、（2013?
黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：
∠DHO=∠DCO（2013?
黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：
∠DHO=∠DCO．
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90°，
∵DH⊥AB，
∴OH=
1
2
BD=OB，
∴∠OHB=∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH=∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，
∴∠DHO=∠DCO．
四、如图,一农场主有一大片田地,即平行四边形ABCD有位农场主有一大片田地,即平行四边形ABCD,其中有一口井位于O点括号o不在对角线上回扩,农场主临死前的遗嘱是给大儿子两块三角形的田地△AOD△COB,剩下给小儿子,井
有位农场主有一大片田地,即平行四边形ABCD,其中有一口井位于O点括号o不在对角线上回扩,农场主临死前的遗嘱是给大儿子两块三角形的田地△AOD△COB,剩下给小儿子,井为公用财产,如果AB＞BC这样分公平么,理由是啥
公平,
理由是：
过E作GH⊥AD交AD于H,交BC于G,
∵平行四边形ABCD,
AD∥BC,AD=BC,
∵GH⊥AD,
∴GH⊥BC,
∴阴影部分的面积是S△EAD+S△EBC=
12AD×EH+12BC×EG=12AD×GH=12S平行四边形ABCD,
∴△AED和△CEB的面积之和等于平行四边形ABCD的面积的一半,
故答案为：
公平,△AED和△CEB的面积之和等于平行四边形ABCD的面积的一半．
五、如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都为10cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF．
（1）求证：
四边形ADFC是平行四边形；
（2）若BD=3cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，
如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都为10cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上
，连接AD、CF．
（1）求证：
四边形ADFC是平行四边形；
（2）若BD=3cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒，
①当t为何值时，▱ADFC是菱形？
请说明你的理由；
②▱ADFC有可能是矩形吗？
若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．
（1）证明：
∵△ABC和△DEF是两个边长都为lcm的等边三角形，
∴AC=DF=1cm，∠ACB=∠FDE=60°，
∴AC∥DF，
∴四边形ADFC是平行四边形；
（2）①当t=0.3秒时，平行四边形ADFC是菱形，理由如下：
∵△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，
∴当t=
0.3
1
秒时，B与D重合，如图所示，
则AD=AE=BC=DE=DF=EF，
∴平行四边形ADFC是菱形，
②若平行四边形ADFC是矩形，则∠ADF=90°，
∴∠ADC=90-60=30°
同理∠DAB=30°=∠ADC，
∴BA=BD，
同理EC=EF，
∴E与B重合，
∴t=（1+0.3）÷1=1.3秒，
此时，如图，在Rt△ADF中，
∠ADF=90°，DF=1cm，AF=2cm，
∴AD=
22-12
=
3
cm，
∴矩形ADFC的面积=AD×DF=
3
cm2．
六、一只蚂蚁沿边长是3的正方体表面从顶点A爬到顶点B，求它走过的最短路程，并画出示意图．
如图所示：
将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，
AB=
32+62
=3
5
．七、如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点（且点P不与点B,C重合）,PE⊥AB于点E,PF⊥AC,M为EF中点,设AM长为X,则x的取值范围是
八、如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=______如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=______．
如图，已知正方形ABCD的边长为
2
，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=______．
过E作EF⊥DC于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO=EF，
∵正方形ABCD的边长为
2
，
∴AC=
2+2
=2，
∴CO=
1
2
AC=1，
∴CF=CO=1，
∴EF=DF=DC-CF=
2
-1，
∴DE=
DF2+EF2
=
（
2
?
1）2+（
2
?
1）2
=2-
2
九、（2014?
高青县模拟）如图，正方形ABCD的边长是4cm，点G在边AB上，以BG为边向外作正方形GBFE，连结AE、AC
（2014?
高青县模拟）如图，正方形ABCD的边长是4cm，点G在边AB上，以BG为边向外作正方形GBFE，连结AE、AC、CE，则△AEC的面积是______cm2
如图，图形补全成矩形HFCD，设正方形GBFE的边长为x，则
S矩形HFCD=4（x+4），S△EFC=
1
2
x（x+4）、S△ACD=
1
2
×4×4、S△AHE=
1
2
x（4-x），
∵△AEC的面积=S矩形HFCD-S△EFC-S△ACD-S△AHE
=4（x+4）-
1
2
x（x+4）-
1
2
×4×4-
1
2
x（4-x）
=4x+8-
1
2
x（x+4+4-x）
=8cm2．
故答案为：
8．
十、如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B,AC⊥OM于点A.∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点.小题1:
点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的
、如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B,AC⊥OM于点A.∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点.
小题1:
点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系,并说明理由.
小题2:
点A在移动的过程中,若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？
小题3:
若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想.
第58批1f数学2014-12-09
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小题1:
AE=AD
小题2:
菱形
小题3:
OC=AC+AD
（1）AE=AD
理由：
AC⊥OM
在Rt△AOE中,∠AEO+∠AOE=900
同理：
∠ODB+∠DOB=900
又∵∠MON的角平分线OP分别交AB于D点.
∴∠AEO=∠DOB
又∵∠DOB=∠ADE
∴∠AED=∠ADE
∴AE=AD
（2）菱形
证明：
连接AF交DE于点G,连接DF,EF.
点F与点A关于直线OP对称可知：
AF⊥DE,AE=FE,
∴AG=FG,
又∵AE=AD
∴DG=EG
∴四边形ADFE是平行四边形
∵AF⊥DE
∴平行四边形ADFE是菱形
（3）OC=AC+AD
证明：
连接EF.
∵点F与点A关于直线OP对称,
∴AO=OF
∵AC⊥OM,∠MON=45°
∴∠OAC=90°
∴∠ACO=∠MON=45°
∴OF="AO"=AC
由
（2）知四边形ADFE是菱形
∴EF∥AB AD=EF
∵AB⊥ON
∴∠ABC=90°
∴∠EFC=∠ABC=90°
∵∠ACO=45°
∴∠ACO=∠CEF
∴FC="EF"=AD
又∵OC=OF+FC
∴OC=AC+AD
十一、在平面直角坐标系XOY中，边长为10的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在X轴正半轴上运动，顶点B在Y轴正半轴上运动（点A、B都不和原点O重合）顶点C、D都在第一象限。
（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标。
（2）求证：
无论点A在X轴正半轴上，点B在Y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上。
（3）在点A运动过程中，设点P到X轴的距离为ｈ，试写出ｈ的取值范围，并求出当OA＝６时，点D的坐标。
在平面直角坐标系xoy中，边长为的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象
在平面直角坐标系xoy中，边长为
的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。
（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；
（2）求证：
无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）当B点坐标为（0，1）时，求CD的解析式。
（1）（
，
）；
（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，
则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，
∴∠MPA=∠NPB，又PA=PB，
∴△PAM≌△PBN，
∴PM=PN，于是，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）
。
十二、如图,大正方形在中有2个小正方形,如果它们的面积分别是S1,S2,那么S1,S2的大小关系是A如图,大正方形在中有2个小正方形,如果它们的面积分别是S1,S2,那么S1,S2的大小关系是 A S1>S2 &
如图,大正方形在中有2个小正方形,如果它们的面积分别是S1,S2,那么S1,S2的大小关系是 A S1>S2 B S2=S1 C S1设大正方形的边长为1,那么,S1的面积=（1/2）^2=1/4,大三角行的对角线长为√2,S2正方形的长是对角线长的1/3,所以S2的面积=（√2/3）^2=2/9,1/4＞2/9,所以S1>S2
十三、（2012•邯郸二模）如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B=60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长为______m．
（2012•邯郸二模）如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B=60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长为______m．
试试先2782014-11-30
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如图，∵菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B=60°，
∴△BMG是正三角形，
∴BG=MG；
又∵图中种花部分是由两个正六边形组成，
∴GM=GF=EF
∴AF=GF=BG=2，
∴正六边形的边长为2，
又正六边形有一个公共边OE，
所以可得两个六边形的周长为6×2+6×2-4=20
∴可得种花部分的图形周长为20m．
故答案为20．
我没有说谎丶漃2014-11-30
十四、如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则折痕EF的长是＿
hdME36VM18数学2014-10-02
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AB=4,BC=8,E在BC上,F在AD上,连接AE,作FG垂直BC于G.
由折叠可知,AE=CE,设AE=X,BE=8-X.
由勾股定理得,AE^2=AB^2+BE^2,X^2=16+（8-X）^2,X=5.
BE=3.同理可知AF=5,DF=CG=3,所以,EG=2.
EF^2=EG^2+FG^2=4+16=20,
EF=2根号5.
十五、如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路走到长边中点O，再从中点O走到正
2014-12-1810:
48挚爱小慧cmHO3|分类：
教育/科学|浏览9次
如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路走到长边中点O，再从中点O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2，又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再
从O3走到正方形O3KJP的中心O4，一共走了31
2
m，则长方形花坛ABCD的周长是（ ）
A．36m
B．48m
C．96m
D．60m
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2014-12-1811:
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解：
设正方形O3KJP的边长为a，根据正方形的性质知：
O3O4=
2
2
a
正方形O2IHJ的边长为2a，O2O3=
2
a，
正方形O1GFH的边长为4a，O1O2=2
2
a，
正方形OCDF的边长为8a，OO1=4
2
a，
∵AO=2OO1=8
2
am，
∴
2
2
a+
2
a+2
2
a+4
2
a+8
2
a=31
2
，
解得：
a=2m，
∴FD=8a=16m，
∴长方形花坛ABCD的周长是2×（2FD+CD）=6FD=96m．
故选C．
十六、如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最小内角等于______度．...
如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最小内角等于______度．
∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底BC，
∴平行四边形ABCD的高AE是矩形宽AB的一半．
在直角三角形ABE中，AE=
1
2
AB，
∴∠ADC=30°．
故答案为30．
yzbmqnpx2014-11-06
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