届湖南师大附中高三高考模拟卷二 数学文解析版.docx

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届湖南师大附中高三高考模拟卷二数学文解析版

湖南师大附中2019届高考模拟卷

（二）

数　学（文科）

命题：

洪利民　王朝霞　钱华　审题：

高三文科数学备课组

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共10页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设A、B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A且xB}，若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝（D）

A．{0，1}B．{1，2}

C．{0，1，2}D．{0，1，2，5}

2．已知a、b是实数，则“a2b>ab2”是“<”的（C）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】由a2b>ab2，得ab（a－b）>0，若a－b>0，即a>b，则ab>0，则<成立，若a－b<0，即a0，则<成立，若<，则<0，即ab（a－b）>0，即a2b>ab2成立．即“a2b>ab2”是“<”的充要条件，故选C.

3．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a2·a6·a10＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan的值是（D）

A．1B.

C．－D．－

【解析】{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a2·a6·a10＝3，b1＋b6＋b11＝7π，∴a＝（）3，3b6＝7π，∴a6＝，b6＝，∴tan＝tan＝tan＝tan＝tan＝－tan＝－.故选D.

4．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[1，200]的人做试卷B，编号落在[201，560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为（B）

A．10B．12C．18D．28

5．执行如图的程序框图，则输出的S值为（D）

A．1B.C．－D．0

【解析】由图知本程序的功能是执行S＝cos0＋cos＋cos＋…＋cos，此处注意程序结束时n＝2019，由余弦函数和诱导公式易得：

cos0＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝0，周期为6，2020＝336×6＋4，S＝cos0＋cos＋cos＋…＋cos＝336×0＋1＋－－1＝0，故选D.

6．多面体MN－ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长为（C）

A.B.

C.D．2

7．下图是函数y＝Asin（ωx＋φ），，在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点（D）

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

8．若3x＝2，y＝ln2，z＝5－，则（C）

A．x

C．z

【解析】∵x＝log32>log3＝，y＝ln2>ln＝，x＝log32＝

9．已知平面α∩平面β＝直线l，点A、C∈α，点B、D∈β，且A、B、C、Dl，点M、N分别是线段AB、CD的中点，则下列说法正确的是（B）

A．当|CD|＝2|AB|时，M、N不可能重合

B．M、N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交

C．当直线AB、CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交

D．当直线AB、CD异面时，MN可能与l平行

【解析】对于A，当|CD|＝2|AB|时，若A、B、C、D四点共面且AC∥BD时，则M、N两点能重合．故A不对；对于B，若M、N两点可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，故B对；对于C，当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l平行，故C不对；对于D，当AB、CD是异面直线时，MN不可能与l平行，从而D不对，故选B.

10．若存在实数x，y使不等式组与不等式x－2y＋m≤0都成立，则实数m的取值范围是（B）

A．m≥0B．m≤3C．m≥1D．m≥3

【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（4，2），B（1，1），C（3，3）．设z＝F（x，y）＝x－2y，将直线l：

z＝x－2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得z最大值＝F（4，2）＝0；当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得z最小值＝F（3，3）＝－3，因此，z＝x－2y的取值范围为[－3，0]，∵存在实数m，使不等式x－2y＋m≤0成立，即存在实数m，使x－2y≤－m成立，∴－m大于或等于z＝x－2y的最小值，即－3≤－m，解之得m≤3，故选B.

11．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线为l，圆C：

x2＋（y－b）2＝4与l交于第一象限A、B两点，若∠ACB＝，且＝3其中O为坐标原点，则双曲线的离心率为（D）

A.B.

C.D.

【解析】双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线为：

y＝x，圆C：

x2＋（y－b）2＝4的圆心坐标为（0，b），半径为2，由∠ACB＝所以三角形ABC是边长为2的等边三角形，故AB＝2，OA＝1，圆心到直线y＝x的距离为，在△OBC，△OAC中，由余弦定理得cos∠BOC＝＝，解得b2＝7圆心到直线y＝x的距离为，有＝，∴＝＝，故选D.

12．已知函数y＝f（x）的定义域为R，当x<0时f（x）>1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）＝f（x＋y）成立，若数列满足f（an＋1）f＝1，且a1＝f（0），则下列结论成立的是（A）

A．f>fB．f>f

C．f>fD．f>f

【解析】由题意可知，不妨设f（x）＝，则f（0）＝1，∵f（an＋1）f＝1＝f（0），∴则an＋1＋＝0，即an＋1＝－且a1＝1，当n＝1时，a2＝－；当n＝2时，a3＝－2；当n＝3时，a4＝1，所以数列是以3为周期的周期数列；a2016＝a3＝－2，a2017＝a1＝1，a2018＝a2＝－，a2019＝a3＝－2，a2020＝a1＝1，又因为f（x）＝是单调递减函数，所以f>f.故答案选A.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：

本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．

13．已知a＝（3，4），b＝（t，－6），且a，b共线，则向量a在b方向上的投影为__－5__．

14．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（acosC－ccosA）＝b，B＝60°，则A的大小为__75°__．

【解析】由（acosC－ccosA）＝b及正弦定理得（sinAcosC－sinCcosA）＝sinB，即sin（A－C）＝，sin（A－C）＝，∴A－C＝30°，又∵A＋C＝180°－B＝120°，∴2A＝150°，得A＝75°.

15．已知点A（－2，0）、B（0，2），若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－，则a的值为__1或－5__．

【解析】圆的标准方程为（x－a）2＋y2＝1，圆心M（a，0）到直线AB：

x－y＋2＝0的距离为d＝，圆上的点到直线AB的最短距离为d－1＝－1，（S△ABC）min＝×2×＝3－，解得a＝1或a＝－5.

16．已知函数g（x）＝a－x2与h（x）＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是__[1，e2－2]__．

【解析】因为函数g（x）＝a－x2与h（x）＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，等价于a－x2＝－2lnx－a＝2lnx－x2，在上有解，设f（x）＝2lnx－x2，求导得f（x）＝－2x＝，∵≤x≤e，∴f′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，f（x）在上单调递增，在[1，e]上单调递减，f（x）max＝f

（1）＝－1，∵f＝－2－，f（e）＝2－e2，f（e）

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）

已知数列前n项和为Sn，a1＝2，且满足Sn＝an＋1＋n，（n∈N*）．

（1）求数列的通项公式；

（2）设bn＝（4n－2）an＋1，求数列的前n项和Tn.

【解析】

（1）（n≥2）时，an＝an＋1－an＋1，

即an＋1＝3an－2（n≥2），即（an＋1－1）＝3（an－1），当a1＝2时，a2＝2，＝1≠3，

故{an－1}是以a2－1＝1为首项，3为公比的等比数列，∴an－1＝1·3n－2，即an＝3n－2＋1，n≥2.

∴an＝6分

（2）bn＝（4n－2）an＋1＝（4n－2）·（3n－1＋1）＝（4n－2）3n－1＋（4n－2）

记sn′＝2·30＋6·31＋10·32＋…＋（4n－2）3n－1，　①

3sn′＝2·31＋6·32＋…＋（4n－6）3n－1＋（4n－2）3n，　②

由①－②得，－2sn′＝2·30＋4·（31＋32＋…＋3n－1）－（4n－2）·3n，

∴sn′＝2＋（2n－2）3n，

∴Tn＝2＋（2n－2）·3n＋＝2＋（2n－2）·3n＋2n2.12分

18．（本题满分12分）

如图所示，四棱锥P－ABCD，底面ABCD为四边形，AC⊥BD，BC＝CD，PB＝PD，平面PAC⊥平面PBD，AC＝2，∠PCA＝30°，PC＝4.

（1）求证：

PA⊥平面ABCD；

（2）若四边形ABCD中，∠BAD＝120°，AB⊥BC，M为PC上一点，且＝2，求三棱锥M－PBD体积．

【解析】

（1）设AC∩BD＝O，连接PO，

∵BC＝CD，AC⊥BD，∴O为BD中点．

又∵PB＝PD，∴PO⊥BD，∵平面PAC⊥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，

∴BD⊥平面PAC，PA平面PAC，∴PA⊥BD，

在△PCA中，由余弦定理得PA2＝PC2＋AC2－2PC·ACcos30°，

PA2＝16＋12－2×4×2×＝4，而PA2＋AC2＝PC2，

PA⊥平面ABCD.6分

（2）因为＝2，可知点M到平面PBD的距离是点C到平面PBD的距离的，

∴VM－PBD＝VC－PBD＝VP－BCD，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，AB⊥BC，

则∠BAC＝60°，AB＝ACsin30°＝，BC＝3，则S△BCD＝×32＝，

∴VM－PBD＝VP－BCD＝×××2＝.12分

19．（本题满分12分）

某公司计划购买1台机器，且该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期间的维修次数，得如下统计表：

维修次数

8

9

10

11

12

频数

10

20

30

30

10

记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用（单位：

元），n表示购机的同时购买的维修服务次数．

（1）若n＝10，求y关于x的函数解析式．

（2）若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8，求n的最小值．

（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？

【解析】

（1）依题意得y＝（x∈N），

即y＝（x∈N）.4分

（2）因为“维修次数不大于10”的频率为＝0.6<0.8，

“维修次数不大于11”的频率为＝0.9>0.8，

所以若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8，则n的最小值为11.8分

（3）若每台都购买10次维修服务，则有下表：

维修次数x

8

9

10

11

12

频数

10

20

30

30

10

费用y

2400

2450

2500

3000

3500

此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为

y1＝＝2730（元）．

若每台都购买11次维修服务，则有下表：

维修次数x

8

9

10

11

12

频数

10

20

30

30

10

费用y

2600

2650

2700

2750

3250

此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为

y2＝＝2750（元）．

因为y1

20．（本题满分12分）

已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍．

（1）求椭圆Γ的标准方程；

（2）设P（2，0），过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A、B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式·≤λ（λ∈R）恒成立，求λ的最小值．

【解析】

（1）依题意，a＝b，c＝1，

解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆Γ的标准方程为＋y2＝1.4分

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

则·＝（x1－2，y1）·（x2－2，y2）＝（x1－2）（x2－2）＋y1y2，

当直线l垂直于x轴时，x1＝x2＝－1，y1＝－y2且y＝，

此时＝（－3，y1），＝（－3，y2）＝（－3，－y1），

所以·＝（－3）2－y＝，7分

当直线l不垂直于x轴时，设直线l：

y＝k（x＋1），

由整理得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－2＝0，

所以x1＋x2＝－，x1x2＝，

所以·＝x1x2－2（x1＋x2）＋4＋k2（x1＋1）（x2＋1）

＝（1＋k2）x1x2＋（k2－2）（x1＋x2）＋4＋k2＝（1＋k2）－（k2－2）·＋4＋k2

＝＝－<.

要使不等式·≤λ（λ∈R）恒成立，只需λ≥（·）max＝，

即λ的最小值为.12分

21．（本题满分12分）

已知函数f（x）＝lnx－ax（a为实常数）

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若a>0，求不等式f（x）－f>0的解集；

（3）若存在两个不相等的正数x1、x2满足f（x1）＝f（x2），求证：

x1＋x2>.

【解析】

（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝－a＝，

①当a≤0时，恒有f′（x）>0，故f（x）在（0，＋∞）上单调递增；

②当a>0时，由f′（x）>0得0

综上①②可知：

当a≤0时f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）；

当a>0时，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为.4分

（2）因为f（x）的定义域为（0，＋∞），所以x>0且－x>0，而a>0，故0

设F（x）＝f（x）－f＝lnx－ax－ln＋a＝lnx－ln－2ax＋2，

F′（x）＝＋－2a＝≥0，且当且仅当x＝时取等号，6分

所以F（x）在上单调递增，又因为x＝时，F（x）＝F＝0

所以当x∈时，F（x）<0，当x∈时，F（x）>0，

故f（x）－f>0的解集为.8分

（3）由

（1）知a≤0时f（x）在（0，＋∞）上单调递增，若f（x1）＝f（x2），则x1＝x2，不合题意，

故a>0，而f（x）在上单调递增，在上单调递减，

若存在两个不相等的正数x1、x2满足f（x1）＝f（x2），

则x1、x2必有一个在上，另一个在上，不妨设0

又由

（2）知x∈时，F（x）<0，即f（x）－f<0，所以f（x1）

因为f（x1）＝f（x2），所以f（x2）

又因为f（x）在上单调递减，所以x2>－x1，即x1＋x2>.12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

做答时请写清题号。

22．（本题满分10分）选修4－4：

极坐标与参数方程

已知直线l的参数方程（t为参数），曲线C：

（x－2）2＋（y＋1）2＝16，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系．

（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；

（2）直线l与曲线C交于A、B两点，求＋值．

【解析】

（1）由x＝＝y得y＝x.极坐标方程为θ＝.

由＋＝16，x2＋y2－4＋2y－3＝0.

由x2＋y2＝ρ知x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.则ρ2－4ρcosθ＋2ρsinθ－3＝0.5分

（2）将θ＝代入，ρ2－6ρ＋ρ－3＝0.即ρ2－5ρ－3＝0.

由极坐标几何意义，设A，B，.

即＋＝－＝＝＝.10分

23．（本题满分10分）选修4－5：

不等式选讲

已知f（x）＝.

（1）求函数g（x）＝f（x）－2的最大值为M；

（2）在第

（1）问的条件下，设m>0，n>0，且满足＋＝M，求证：

f（m＋2）＋f（2n）≥2.

【解析】

（1）g＝－2，即g＝

知g＝g＝2.5分

（2）由＋＝2，知f＋f＝＋≥

＝＝＝≥＝2.

当且仅当＝，即m2＝4n2时取等号，故得证.10分