八年级数学夹半角与手拉手模型.docx

八年级数学夹半角与手拉手模型.docx

《八年级数学夹半角与手拉手模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学夹半角与手拉手模型.docx（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

八年级数学夹半角与手拉手模型

夹半角与手拉手模型

知识点一（夹半角型）

【知识梳理】

1、90°夹45°

（1）内夹（90°角完全包含45°角）

（2）外夹（90°角不完全包含45°角）

2、120°夹60°

（1）内夹（120°角完全包含60°角）

（2）外夹（120°角不完全包含60°角）

【例题精讲】

1、已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在边BC上，且∠DAE＝60°。

求证：

BD＋CE＞DE。

2、D为等边△ABC外一点，且BD＝CD，∠BDC＝120°，点M，N分别在AB，AC上，若BM＋CN＝MN,

（1）∠MDN＝　度；

（2）作出△DMN的高DH，并证明DH＝BD；

（3）在第

（2）的基础上，求证：

MD平分∠BDH。

3、

（1）如图1、在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中的线段BE、EF、FD之间的数量关系；

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，且∠EAF=

∠BAD，探究图中的线段BE、EF、FD之间的数量关系。

【课堂练习】

1、如图，E是正方形ABCD中CD边上的任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得△ABE1，∠EAE1的平分线交BC边于点F，求证：

△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半。

2、已知：

△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF，

（1）若BE=CF，求证：

①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF；

（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？

请说明理由。

3、如图，正方形ABCD中，E和F分别是边BC和CD上的点，AG⊥EF于G，若∠EAF＝45°，求证：

AG＝AD。

知识点一（共旋转型----手拉手模型）

【知识梳理】

1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）△ABE≌△DBC

（2）AE=DC

（3）AE与DC的夹角为60。

（4）BH平分∠AHC

（5）GF∥AC

【例题精讲】

1、如图，分别以△ABC的AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、△ACE，连接CD、BE交于F，

求证：

（1）△DAC≌△BAE；

（2）求∠DFB的度数；（3）AF平分∠DFE。

2、已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F，

（1）如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFD＝__________；

（2）如图2，若∠ACD＝α，连接CF，则∠AFC＝__________；（用含α的式子表示）

（3）将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转如图3，连接AE、AB、BD，∠ABD＝80°，求∠EAB的度数。

【课堂练习】

1、在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=30°，CD、BE交于点O，连接OA，

（1）如图1，求证：

△ABE≌△ACD；

（2）如图1，求∠AOE的大小；

（3）当绕点A旋转至如图2所示位置时，若∠BAC=∠DAE=α，∠AOE=。

1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，且AC＝BC，点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（0，4），则点C的坐标为_________。

2、如图，等腰

ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点A、B分别在坐标轴上，且x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于点D，则

的值为______________。

3、如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD，M、N分别在BD、CD上，∠MAN＝45，则△DMN的周长为。

4、平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数有___________个。

5、已知在△ABC中，AB=6,AC=10,D是BC中点，则AD的取值范围是。

6、如图，四边形ABCD为正方形（各边相等，各内角为直角），E是BC边上一点，F是CD上的一点，

（1）若EF=DF+BE,求证：

①△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半；②∠EAF＝45°；

（2）在

（1）的条件下，若DF＝2，CF＝4，CE＝3，求△AEF的面积。

7、问题：

正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN=45°，当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？

小聪同学的思路是：

延长CB至E使BE=DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；

（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并加以证明。

8、在平面直角坐标系中，OA=OB，PA⊥PB，

（1）如图1，当P在第一象限时，求证：

OP平分∠BPA；

（2）如图2，当P在第四象限时，直接写出∠OPA的度数。

9、如图△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，

（1）如图，若OC=5，求BD的长度；

（2）设BD交x轴于点F，求证：

∠OFA=∠DFA；

（3）如图，若正△AOB的边长为4，点C为x轴上一动点，以AC为边在直线AC下方作正△ACD，连接ED，求ED的最小值。

10、如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB．点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD，点D的坐标为（m，n），且满足|m－2n|2＋|n－2|＝0，

（1）求点D的坐标；

（2）求∠AKO的度数；

（3）如图2，点P、Q分别在y轴正半轴和

轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON、MN、BM的数量关系并证明。