MATLAB在导热问题中的应用.docx

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MATLAB在导热问题中的应用

MATLAB在导热问题中的应用

分类号密级

UDC编号

本科毕业论文（设计）

题目MATLAB在导热问题中的运用

所在院系数学与数量经济学院

专业名称信息与计算科学

年级05级

学生姓名朱赤

学号0515180004

指导教师周瑾

二00九年四月

吻合的图形，还便于理解和深人研究及利用。

王平等明对芯层为秸杆的复合材料传热特性进行了研究。

复合材料从外到内分别为聚丙烯纤维等组成的抗压外层，石灰/发泡剂等组成的保温层，秸杆层。

经分析复合材料芯部传热方式只能为导热。

实验测量得到数据后，由MATLAB对其处理和仿真，得到秸杆密度和湿度与整体导热系数的曲线，研究结果可以作为该产品生产的参考意见。

艾元方等研究了蜂窝蓄热体内温度分布。

作者建立了蜂窝蓄热体传热数学模型，利用拉普拉斯变换法求解得到的传热偏微分方程组，由于求得的精确解较复杂，因此对其进行有限差分，编写MATLAB程序，利用其符号运算功能，运行后获得方程的半精确解。

和有关文献的结果吻合，但借用MATLAB软件后，使得获取蜂窝蓄热体传热半精确

解的过程高效而经济。

ChaoChen等对一种用于墙体储能的新相变材料（PCM）进行了实验和模拟仿真。

作者建立了有新新相变材料的墙体的一维非线性导热模型，利用MATLAB求解，该问题很快得到结果，并可以绘制节能效果图，研究发现，相变点设置在23度墙厚30毫米时，能节能17%或更高。

王金良研究了复合墙内外保温的传热过程。

内外保温墙体材料从内到外分别依次为水泥、砖墙、空气层、聚苯乙烯泡沫板和石膏板和水泥砂浆、聚苯乙烯泡沫板、砖墙和抹灰。

两种情况的传热分析在相同的总热阻和室内冷负荷环境下进行，得到温度场的表达式后，采用MATLAB仿真计算得到了各个交界面温度随时间的变化曲线，对比发现:

外保温可以延长主墙使用寿命，不易出现表面结露和内部结露，不易产生冷热桥，内保温方式则相反，因此，外保温方式是值得推广和利用的复合墙节能保温方式。

借助MATLAB工具，两种保温方式结果对比明显、直观。

李灿等利用MATLAB解决了三个难以用解析方法求解的算例。

研究包括:

一长方体钢锭的无内热源三维非稳态导热问题;一圆柱形核电站用燃烧棒的有内热源的非稳态导热问题;一正方形内嵌一菱形的有内热源的复杂边界热传导问题，利用MATLAB及其PED工具箱分别得到了三个算例的5h时刻温度分布图和温度梯度分布图、10h时刻温度分布云图、OAS时刻的等稳图和热流密度图。

罗静丽研究了土壤源热泵垂直埋管的温度场。

作者建立了土壤源热泵（垂直埋管）U型埋管的传热模型，得到导热微分方程，借助一个算例，利用MATLAB对其数值模拟，利用其强大的PED工具箱获得U型管周围的非稳态温度场，并对管的设计和铺就提供了参考意见。

正是MATLAB的强大功能使复杂几何形状和复杂边界条件的非稳态导热问题得到迅速解决，而利用其图形可视化功能则使得计算结果形象、直观而且便于理解。

JoydeepBarman等研究了管壳式换热器内的最佳肋片高度。

利用了MATLAB仿真工具箱来测定限制条件数值变化规律，研究不同形状（三角形和圆形）肋片换热变化方式和规律。

发现肋片的最佳高度能使换热热流密度最大，且最佳肋片高度变化和换热器外径增大成线性关系。

阂剑青利用MATLAB对直肋导热进行了数值模拟。

对一个等截面直肋算例，建立了其导热的一维和二维的数学模型，利用PDEtool工具箱，采用有限元法求解导热偏微分方程，求出两模型的数值解并模拟了肋片温度分布云图和温度梯度分布图，分析发现两种模型是等价的，但二维模型更符合实际，而且PDEtool工具箱解决二维PDE问题非常方便;文章最后根据绘制的温度图象对算例中肋片的参数设计提供了改进意见，使肋片的导热系数提高了近34%。

结果表明运用MATLAB/PDE数值计算方法是方便而高效的，MATLAB是换热器工程结构设计和优化分析的有利工具。

牛天况等采用MATLAB软件对描述H型鳍片中传热过程的偏微分方程进行了求解，得出H型鳍片管在烟气中的传热过程是对流何导热的综合过程，导热在过程中有重要作用，可以采用鳍片效率何综合传热能力来评价H型鳍片管的传热特性;不同外形尺寸何厚度的鳍片对传热均有显著影响。

必须将鳍片的导热过程的计算分析和对流换热的试验研究相结合，才能揭示H型鳍片管的传热规律，借助MATLAB强大的数值计算和图像功能，可以方便地得到结果。

叶长桑研究了MATLAB在肋片传热特性分析和最轻设计上的应用。

主要内容是:

分析肋片传热特性，建立数学模型，获得温度分布、散热量、肋效率等重要参数;利用MATLAB的微分方程求解器快速、方便、准确地模拟了肋片导热过程，直观地获得了数值解，借助MATLAB绘制了肋片厚度、高度、形状对散热量影响的规律曲线;对肋片结构优化设计提供了思路，即对薄肋采用矩形肋片优于三角形肋片，而对于厚肋则采用三角形肋片的散热量高于矩形肋片。

2.3目前存在的问题

几乎所有的工程问题都能转化成数学模型来解，而且借助MATLAB，大多数的模型的数值解的精确度均能满足要求。

但是，存在的问题也不少。

首先，数值解法存在许多局限性，一个解只能适用于一个或几个模型，或者一个或几个方程。

而解析解的得到能使我们得出所有同类问题的通解，并且精确度高于数值解。

这是由于数学的发展程度还不足以满足自然科学的发展要求，数值解法只是一个权宜之计。

其次，MATLAB虽然能处理大量的数学问题，但其命令繁多，再加上各种工具箱，要完全学会和很好的使用MATLAB不是一件容易的事情，在编辑和阅读程序时通常要借助工具书查询相关命令，这样就增加了使用难度，使得MATLAB不能广泛的普及。

再者，要合理的使用MATLAB来解决数学问题，必需是建立在良好的数学基础之上的，这就势必要求MATLAB的使用者有扎实的数学功底，这又给MATLAB的普及带来了挑战。

最后，由于工程中的导热问题的数学模型并不一都能很顺利的建立，这就给使用MATLAB解决导热问题增加了难度。

3.小结

MATLAB在数值计算中的应用十分广泛，处理问题也是十分有效。

其作为数学软件有其强大的图形用户界面操作、数据和函数的可视化和数值计算功能，且自带很多现有的函数和工具包，这使纷繁复杂的工程问题能一一化解。

MATLAB在工程计算和数据处理中具备如下优点：

（1）较其它高级程序设计语言，MATLAB程序语言的规则更为接近数学表示。

.

（2）语句简洁明了，表意却出乎意料的丰富。

出现了“一句顶几百句其它语言”的生动场面，这一点是C、Fortran等程序设计语言所无法比拟的。

（3）在有大量数据的处理过程当中，避免变量、矩阵的事先定义，MATLAB会自动获取所需的存储空间。

（4）提供了良好的用户界面，许多函数本身会自动绘制出图形，而且会自动选取坐标刻度可以使用户大大节约设计时间，提高设计质量。

此外，本文由于讨论问题所限，还未涉及到其它易于扩展的功能。

这一功能可以方便地构造出专用函数，从而大大地扩展MATLAB的应用范围。

综上所述MATLAB工具软件在数据的处理和结果成图方面都是极具潜力的。

不光在导热问题中，通过MATLAB，几乎所有的工程问题都能迎刃而解。

参考文献：

[1]I.V.Singh.Anumericalsolutionofcompositeheattransferproblemsusingmeshlessmethod.InternationalJournalofHeatandMassTransfer,2004,47,47（10-11）:

2123-2138.

[2]JoydeepBarmana,andA.KGhoshal.Performanceanalysisoffinnedtubeandunbaffledshell-and-tubeheatexchangers[J].InternationalJouralofThermalSciences,2007,46,46（12）:

1311-1317.

[3]LamartineNogueiraFrutuosoGuimares,NiltondaSilvaOliveira,Jr.,andEduardoMadeiraBorges.DerivationofaninevariablemodelofaU-tubesteamgeneratorcoupledwithathree-elementcontroller[J].AppliedMathe-maticalModelling,2007,22,22

（2）:

191-202.

[4]FatemehEsfandiariNia,DolfvanPaassen,andMohamadHassanSaidi.ModelingandsimulationofdesiccantwheelforairconditioningJ].EnergyandBuildings,2006,38,38（10）:

1230-1239.

[5]ChaoChena,HaifengGuo,YuningLiu,HailinYue,andChendongWang.Anewkindofphasechangematerial（PCM）forenergy-storingwallboard[J].EnergyandBuild-ings.2007,.

[6]李萍,张薇.MATLAB在求解温度场中的应用.工业炉,2005,（03）.

[7]艾元方,孙英文,黄国栋,张灿.用拉普拉斯变换法求解蜂窝蓄热体气固温度分布.工业加热,2006,（02）.

[8]牛天况,王振滨.H型鳍片管传热过程的研究.锅炉技术,2007,（04）.

[9]王金良.复合外墙内外保温的传热分析与应用探讨.能源技术,2004,（06）.

[10]叶长燊.基于MATLAB的肋片传热特性分析与优化设计.化工设计,2005,（06）.

[11]热合买提江·依明江,买买提明·艾尼.基于EXCEL和MATLAB的矩形薄片热传导计算与仿真研究.佳木斯大学学报（自然科学版）,2007,（04）.

[12]罗静丽.土壤源热泵垂直埋管温度场的数值模拟.制冷与空调（四川）,2007,（02）.

[13]王平,张双喜,生晓燕,张剑平,余才锐.芯层为秸杆的复合材料热工性能研究.新型建筑材料,2007,（07）.

摘要:

MATLAB在工程中应用很广，尤其是在计算复杂的算式中，显得尤为重要。

例如，在研究传热学里关于热流量的计算时，对于复杂几何形状的物体和非线性边界条件下的导热问题，应用分析法是不可能的。

在这种情况下，建立有限差分法，有限元和边界法基础上的数值计算法是求解问题的十分有效而准确性很高的方法。

现在，许多复杂的导热问题都可以用MATLAB来处理，得到满意的数值解。

另一方面，MATLAB软件在传热学研究中已经得到了广泛的应用，同时促进了传热学自身的发展。

本人认为，MATLAB在传热学中的应用与深化对于传热学的发展有着深远的意义。

关键词:

MATLAB传热学导热

Abstract:

MATLABiswidelyusedinengineering,especiallyinthecalculationofcomplexformula,appearparticularlyimportant.Forexample,inthestudyofthetheoryaboutthechain,forcomplexgeometricobjectsandnonlinearboundaryconditions,theapplicationofthermalanalysisisimpossible.Insuchcircumstances,establishfinitedifferencemethod,thefiniteelementmethodbasedontheborderofnumericalcalculationmethodisveryeffectiveandsolvetheproblemofhighaccuracy.Now,manycomplexthermalproblemscanuseMATLAB®tohandle,numericalsolutionsatisfactory.

Ontheotherhand,intheheatofMATLABsoftwareresearchhasbeenwidelyapplied,andpromotethedevelopmentofheattransfer.Ithink,intheapplicationofheattransferonMATLABforthedevelopmentofdeepeningtheheatisofprofoundsignificance.

Keywords:

MATLABheattransfertheoryheatconducting

目　录

1．MATLAB简介

MATLAB（MATrixLABoratory）具有用法简易、可灵活运用、程式结构强又兼具延展性。

以下为其几个特色：

∙功能强的数值运算-在MATLAB环境中，有超过500种数学、统计、科学及工程方面的函数可使用，函数的标示自然，使得问题和解答像数学式子一般简单明了，让使用者可全力发挥在解题方面，而非浪费在电脑操作上。

∙先进的资料视觉化功能-MATLAB的物件导向图形架构让使用者可执行视觉数据分，并制作高品质的图形，完成科学性或工程性图文并茂的文章。

∙高阶但简单的程式环境-做为一种直译式的程式语言，MATLAB容许使用者在短时间内写完程式，所花的时间约为用FORTRAN或C的几分之一，而且不需要编译（compile）及联结（link）即能执行，同时包含了更多及更容易使用的内建功能。

∙开放及可延伸的架构-MATLAB容许使用者接触它大多数的数学原使码，检视运算法，更改现存函数，甚至加入自己的函数使MATLAB成为使用者所须要的环境。

∙丰富的程式工具箱-MATLAB的程式工具箱融合了套装前软体的优点，与一个灵活的开放但容易操作之环境，这些工具箱提供了使用者在特别应用领域所需之许多函数。

现有工具箱有：

符号运算（利用MapleV的计算核心执行）、影像处理、统计分析、讯号处理、神经网路、模拟分析、控制系统、即时控制、系统确认、强建控制、弧线分析、最佳化、模糊逻辑、mu分析及合成、化学计量分析。

MATLAB有几种在不同电脑作业系统的版本，例如在视窗3.1上的MATLABforWindows,SIMULINK，在麦金塔上的MATLABforMacintch，另外还有在Unix上的各种工作站版本。

基本上这些版本主要是提供方便的操作环境，采用图形介面。

以下针对前述的几种在PC上的MATLAB版本做简要说明：

∙MATLABforWindows，此版本须要在PC电脑的中英文视窗3.1下执行。

与旧的DOS版本不同的是对图形显示有大幅改善，使得软体更合适做信号处理及影像处理的分析。

此外一些重要的设定指令也改为由视窗中选择。

目前308是安装的是4.0版，不过较新的版本为4.2，而最新版的5.0也刚刚上市。

4.0和4.2的差异不是很大，而5.0未用过所以其功能如合并不清楚。

有兴趣了解者请到MathWorks网站一探究竟。

∙SIMULINK，此软体必须在中英文视窗3.1下执行，是给控制领域的使用者做分析线性/非线性、离散系统。

此外也提供很方便的示波器输出，做为讯号的监控。

∙StudentEditionofMATLAB，除了上述各类的MATLAB专业版本，在1995年Mathworks公司又推出学生专用的StudentEdtionofMATLAB，这个版本为4.2，而它的功能与专业版几乎相同，但是多了一些限制。

其限制简述如下：

（1）每个向量能能使用的元素个数上限为8192

（2）每个矩阵的元素总数上限也为8192，此外不论行或列向量的个数上限为32（3）程式不能和C或是Fortran的副程式作动态连结。

但是它附了二个工具箱：

符号运算和讯号处理。

2．MATLAB在简单的一维稳态导热问题中的应用

常微分方程有时很难求解，MATLAB提供了功能强大的工具，可以帮助求解微分方程。

函数dsovle计算常微分方程的符号解。

因为我们要求解微分方程，就需要用一种方法将微分包含在表达式中。

所以，dsovle句法与大多数其它函数有一些不同，用字母D来表示求微分，D2，D3等等表示重复求微分，并以此来设定方程。

任何D后所跟的字母为因变量。

由此，常微分方程

在MATLAB中应写为D2y+2Dy=y。

方程

=0用符号表达式D2y=0来表示。

独立变量可以指定或由symvar规则选定为缺省。

dsolve（‘diff_eqution’,’condition1’,’condition2’,’condition3’,….,’var’）

算例:

通过平壁的导热：

微分方程：

边界条件：

对微分方程积分两次可得：

由边界条件可得：

这样平壁的温度分布为：

热流量：

算例：

一锅炉炉墙采用密度为300kg/m3的水泥珍珠岩制作，壁厚δ=100mm，已知内壁温度t1=500℃,外壁温度t2=50℃,求炉墙单位面积、单位时间的热损失。

解：

材料的平均温度为

℃

查表得{λ}w/（m·K）=0.0651+0.000105{t}℃

于是

W/（m·K）

W/㎡

程序:

>>y=dsolve（'D2y=0','y（0）=500','y（0.1）=50'）

y=

-4500*t+500

绘图:

>>y=-4500*t+500;t=linspace（0,0.1,50）;plot（t,y）

内热源问题：

考虑一具有均匀内热源Φ的大平壁，厚度为2δ，平壁的两侧均为第三类边界条件，周围流体的温度为

，表面传热系数为h。

由于对称性，这里考虑平壁的一半。

问题的数学描述如下。

微分方程：

考虑边界条件时，x=0处可认为是对称条件，这样两个边界条件为：

对微分方程积分得：

将x=0的边界条件代入上式可得

。

再将

代入上式，并再次积分得:

最后将x=δ的边界条件代入上式可求出

得出具有均匀内热源的平壁内温度分布为：

由傅里叶定律得任一位置处的热流密度为：

由结果可知，具有均匀内热源的平壁温度分布为抛物线，而不是线性的。

同时，热流密度不再是常数，而是与x成正比。

上面我们分析的是第三类边界条件下的结果，当

时，

，这时第三类边界条件变为第一类边界条件。

令

时，

可得到第一类边界条件时的温度分布为：

算例：

厚度为10㎝的大平壁，通过电流时发热率为

W/m3,平壁的一个表面绝热，另一表面暴露于25℃的空气之中。

若空气与壁面传热数为50W/（㎡·K）,壁的导热系数为3W/（m·K）,试确定壁中的最高温度。

解：

由题意：

当

℃

程序：

>>dsolve（'D2y=-10^4','Dy（0）=0','y（0.1）=3*10^4*0.1/50+25'）

ans=

-5000*t^2+135

绘图：

>>t=linspace（0,0.1,50）;y=-5000.*t.^2+135;plot（t,y）

以上能看出，MATLAB中有特定的函数，便于我们解决简单的边值问题，以减少较多计算量，使繁琐的计算变得简洁、明了，并且其强大的绘图功能也便于我们直观的看到温度分布曲线。

3．MATLAB在稳态与动态导热过程分析中的应用

热传递过程主要分为稳态传热与动态传热两大类。

描述传热过程的数学模型多为微分方程，要对传热过程进行分析研究，必须求解这些微分方程。

但是只有在个别简单的情形下可以获得解析解；如一维稳态传热过程可以获得形式较为简单的解析解。

一维动态传热过程在某些简单边界、初始条件下能获得无穷级数解，而多数的传热过程则无法获得解析解。

因此对于传热过程的模拟研究则需要利用有限差分法、正交配置法、有限元法等数值方法求解描述传热过程的微分方程，这使得研究过程重复编程工作量大，效率低。

随着计算技术的发展，尤其MATLAB的发展为传热过程的研究分析提供了一个强有力的数值与求解工具。

利用MATLAB中的PDETOOL工具箱、BVP4C、PDEPE等命令能够很好地求解一维稳态导热、二维稳态、二维动态导热等传热问题。

3.1MATLAB在稳态导热分析中的应用

在传热过程的分析研究中，为了工程应用必须要达到两个基本目的，即确定所研究传热问题的温度分布和传递的热流量；所以对传热过程的分析研究中必然要求解传热微分方程。

对稳态导热过程，在直角坐标系中其导热微分方程为：

（1）

对一维稳态导热，当边界条件较为复杂或者微分方程只能用柱坐标、球坐标系表示时，难以获得解析解，如在直径为20mm的圆管外安装环形肋片，其表面温度t0为260℃，肋片导热系数λ为45W/m•K，置于环境温度t∞为16℃、对流传热系数h为150W/㎡·K的气流中;要求确定肋高H为0.01m，肋厚δ为0.0003m环肋的温度分布及单个环肋的散热量。

这一问题是导热系数为常数的一维稳定热传导，柱坐标表示的导热微分方程为：

（2）

边界条件为：

r=r1时，t0=260℃（肋根）r=r2=r1+H时，

（肋端绝热）。

可见这是两点边值的常微分方程求解问题，常规方法是利用肋效率曲线图进行计算，读图误差大其计算繁琐；若利用MATLAB求解，需将其转化为常微分方程组的形式：

（3）

其中，y1表示温度，x表示半径；在MALTAB中建立两个函数huanleifun.m和huanleibc.m分别确定以上常微分方程组和边界条件。

Functionƒ=huanleifun（x,y）

ƒ

（1）=y

（2）;

ƒ

（2）=2*150/45/0.0003*（y

（1）-16）-y

（2）./x;

ƒ=[ƒ

（1）；ƒ

（2）]；

functionƒ=huanleibc（a,b）

ƒ=[a

（1）-260;b

（2）];

其中，a

（1）代表常微分方程组中第一个因变量y1的左边界，b

（2）代表常微分方程组中第二个因变量y2的右边界；那么在MATLAB命令窗口中输入以下命令：

solinit=bvpinit（[0.01:

0.001:

0.02],[1,1]）;

sol=bvp4c（@huanleifun,@huanleibc,solinit）;

plot（sol.x-0.01,sol.y（1,:

））

q=-45*2*pi*0.01*0.0003*sol.y（2,1）;

bvpinit是对常微分方程边值问题先划分初始网格，其中第一个参数是对x坐标进行的分割，第二个参数为因变量的初值，而后利用边值问题的求解器bvp4c求解，结果赋值给变量sol,sol.x为自