自动控制理论课件73.ppt

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7.4离散系统的数学模型,为了便于对离散系统进行分析和校正，首先需要建立离散系统的数学模型。

描述离散系统的动态过程,差分方程,脉冲传递函数,结构图,7.4.1线性常系数差分方程及其求解,1.差分的定义,设连续函数为e（t）,采样后为e（kT）,通常为方便起见，记为,差分：

两个采样信息之间的差值；分为前向差分和后向差分两种。

定义：

2.线性常系数差分方程的一般形式,对于输入、输出均为采样信号的线性定常离散系统，动态方程除了含有输入输出变量外，还有它们的各阶差分，则此方程为差分方程。

差分方程分为前向差分方程和后向差分方程。

前向差分方程：

式中：

后向差分方程：

注意：

差分方程的阶次是输出量差分的最大阶次减去最小阶次。

3.建立差分方程的方法,实际的离散控制系统中，被控对象是连续的物理系统，而数字控制器输出的信号是离散的。

系统中的连续部分一般由微分方程或传递函数来描述，为了分析方便，需要通过离散化方法建立系统的差分方程。

由连续系统的微分方程求差分方程时，若采样周期足够小，就可以用差分近似表示微分来实现离散化。

用前向差分近似表示微分,用后向差分近似表示微分,例7-20已知系统的微分方程为,求离散后的前向差分方程。

解：

代入微分方程，有,整理后得,4.差分方程的求解方法,迭代法：

已知差分方程的输入采样序列、输出采样序列的初值，利用差分方程的递推关系，逐步求出输出采样序列。

差分方程的递推关系为,由初始条件,递推得到,Z变换法：

通过Z变换将时域中的差分方程转化为z域中的代数方程，求出代数方程的解，再经Z反变换获得方程的时域解。

对方程两边进行Z变换,代入初始条件并化简,将C（z）/z展开部分分式：

已知输入序列,初始条件c（0）=c

（1）=0,求输出响应c（k）。

例7-22,离散系统的差分方程为,解：

对前向差分方程两边进行Z变换，得到,，且初始条件为零，得到,求得,7.4.2脉冲传递函数,线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：

零初始条件下系统输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比。

也可记为,脉冲传递函数为,已知系统的脉冲传递函数G（z）和输入采样信号的Z变换R（z），在初始条件为零时的输出采样信号为,1.脉冲传递函数定义,对于大多数实际系统来说，其输出往往是连续信号c（t）而不是采样信号C*（t）。

这时，无法求脉冲传递函数。

在这种情况下，我们可以在输出端虚设一个采样开关，它与输入端采样开关一样，以周期T同步工作。

如果系统的实际输出比较平滑，在采样点处无跳变，且采样周期很小，那么我们就可以用c*（t）来近似描述系统的实际输出c（t）。

可见，用脉冲传递函数分析系统，只能给出实际输出c（t）在采样时刻的值。

说明：

2.采样函数拉氏变换的两个重要性质,有,令,由采样函数的拉氏变换,证明：

性质2采样函数的拉氏变换与连续函数的拉氏变换相乘后再离散化，有下式成立,由性质1,证明：

由采样函数的拉氏变换,3.关于脉冲传递函数的几点讨论,和之间的关系,和单位脉冲响应之间的关系,与离散系统的差分方程之间的关系,差分方程为,4.求脉冲传递函数的方法,

（2）已知连续系统的传递函数，化成部分分式并查表求出,（3）已知系统的差分方程，在初始条件为零的情况下进行Z变换求,解：

将用部分分式表示,也可由直接查表得到，结果相同。

离散序列,7.4.3离散系统的结构图化简,根据离散系统结构图可以求系统的脉冲传递函数或系统的输出。

与连续系统的结构图相比较，离散系统的结构图需要考虑采样开关的位置。

由于采样开关所处的位置不同，连续系统的结构图等效变换规则不能直接使用。

1.开环离散系统的脉冲传递函数,

（1）串联环节之间有采样器的情况,结论可以推广到n个环节串联，且环节间均有同步采样器分隔的情况。

（2）串联环节之间无采样器的情况,式中，表示G1（s）和G2（s）相乘后进行Z变换。

显然,结论可以推广到n个环节串联，且环节间没有采样器分隔的情况。

（3）有零阶保持器时的情况,系统连续部分的传递函数为,零阶保持器,可以采用部分分式法求出。

（4）连续信号直接进入连续环节时的情况,连续信号直接进入连续环节的情况下，出现,故只能求得输出采样信号的Z变换表达式,得不到，因而无法求得脉冲传递函数。

具有零阶保持器的开环采样系统中,试求开环系统的脉冲传递函数G（z）。

解:

比较可见，G（z）的极点完全相同,即引入零阶保持器后,只改变分子。

例7-25,不加零阶保持器时,2.闭环离散系统的脉冲传递函数,在连续系统中，闭环传递函数与相应的开环传递函数之间有着确定的关系，所以可用一种典型的结构图来描述一个闭环系统。

而在采样系统中，由于采样开关在系统中所设置的位置不同，可以有多种结构形式。

常见的离散系统结构图,为了分析方便，将结构图等效为,闭环系统的开环脉冲传递函数G（z）,消去B（z）、E（z），可以得到：

令d（t）=0,列写变量之间关系方程：

到的闭环脉冲传函,离散系统的闭环特征方程,到之间的误差脉冲传递函数,系统的全响应,扰动d（t）作用下的输出,令r（t）=0，列写变量之间关系方程：

做变量代换：

离散化：

在计算闭环离散系统的脉冲传递函数时，需要注意以下两点：

离散系统连续部分的结构相同，采样开关位置不同，闭环脉冲传递函数也就不同。

因此，不能用连续系统闭环传递函数的Z变换来求闭环脉冲传递函数。

即,式中的等号只有在闭环系统内部不含采样开关时才成立。

对于输入信号r（t）不经过采样开关，直接输入连续环节的情况，由于系统中不存在r*（t），无法计算脉冲传递函数（z），只能得到C（z）。

例考虑下图给出的一种闭环采样系统，求C（z）。

令,离散化：

离散化：

解,单回路离散系统比较简单，掌握基本规律后，可以通过观察，直接写出C（z）的表达式。

方法是：

（2）在前向通路中，输入信号以及前向通路各环节相互之间没有采样开关的，将它们相乘后进行Z变换；输入信号以及前向通路各环节相互之间有采样开关的，各自进行Z变换；将得到的变换函数相乘，即可得到C（z）的分子多项式。

（1）在反馈回路中，对于中间无采样开关隔开的环节，将它们的传递函数相乘后取Z变换；中间有采样开关隔开的环节，分别进行Z变换；将得到各个变换函数相乘，就是开环脉冲传递函数。

开环脉冲传递函数加1即可得到C（z）的分母多项式。

没那么简单！

没问题！

例,没那么简单！

3.多回路离散系统结构图计算,对于比较复杂的多回路离散系统，通常需要根据结构图列写方程来求解系统总的脉冲传递函数。

可以利用系统中离散变量的Z变换函数列写方程；也可以根据系统中各变量的拉氏变换之间的关系列写方程，再进行离散化。

对所列方程组消去中间变量，即可求出闭环脉冲传递函数或输出C（z）。

解：

采用两种方法列写方程计算脉冲传递函数。

方法1将图中的所有信号用其拉氏变换函数表示，再根据变量之间的传递关系列写方程：

列写到离散信号为止！

消去中间变量，得到,方法2将图中每个采样开关后面的采样信号用其Z变换函数表示，直接列写各采样信号的Z变换函数之间的关系方程。

要注意正确列写两个采样开关之间的脉冲传递函数。

经整理，求得脉冲传递函数,消去中间变量，得到,例7-27闭环离散系统的结构图如图。

试计算输出采样信号的Z变换。

解：

根据图中采样开关之后的采样信号Z变换函数直接列写方程。

消去中间变量E（z），得到,