复利现值终值年金现值终值公式实例.docx
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复利现值终值年金现值终值公式实例
某投资项目预测的净现金流量见下表（万元），设资金基本贴现率为
10%,则该项目的净现金值为（）万元
年份
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
各年末净现金流量
-500
60
100
100
100
100
100
100
100
100
100
本例因为涉及到年金当中的递延年金，所以将年金系列一起先介绍，然后解题
年金，是指一定时期每次等额收付款的系列款项，通常记作A。
如保险费、养老金、折旧、租金、等额分期收款、等额分期付款以及零存整取或整存零取储蓄等等。
年金按每次收付发生的时点不同，可分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等。
结合本例，先介绍普通年金与递延年金，其他的在后面介绍。
一、普通年金，是指从第一期起，在一定时期每期期末等额发生的系列收付款项，又称后付年金。
1•普通年金现值公式为：
P=Ax（l+/）_1+Ax（l+/）~2+--+Ax（l+0'（n_，＞+Ax（l+/）_n=Ax1-0+/）
i
式中的分式匕匕二称作“年金现值系数”，记为（P/A,i,n）,I
可通过直接查阅“1元年金现值表”求得有关的数值，上式也可写作:
P=A（P/A,i,n）
•2•例子：
租入某设备，每年年末需要支付租金120元，年复利
利率为10%,则5年应支付的租金总额的现值为:
P=A=120）7+1°%尸"20X3.7908T55（元）
i10%
二、递延年金，是指第一次收付款发生时间与第一期无关，而隔若干期（假设为S期，S>1）,后才开始发生的系列等额收付款项。
它是普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的年金都是递延年金。
1•递延年金现值公式为：
P=AxIl+‘）"一1-（1+"'=Ax[（P/A/,n）-（P/A,/,5）]⑴
ii
1/11
或戸=仏x（l+/T=Ax（P/AJji-s）x（P/FJ,s）
（2）
i
上述
（1）公式是先计算出n期的普通年金现值，然后减去前s期的普通年金现值，即得递延年金的现值，
公式
（2）是先将些递延年金视为（n-s）期普通年金，求岀在第s期的现值，然后再折算为第零期的现值。
2•例子：
某人在年初存入一笔资金，存满5年后每年年末取出
1000元，至第10年末取完，银行存款利率为10%o则此人应在最初一次存入银行的钱数为：
方法一：
P=Ax1-（1+""一1-（1+"'=Ax[（P/A/,h）-（P/A,/,5）]
/i
=1000x
=1000x[（P/A10%J0）-（P/AJ0%^）]
l-（l+10%r101-（1+10%）"5
10%_10%
=1000x（6.1446-3.7908）-2354（元）
方法二：
是先将些递延年金视为（n-s）期普通年金，求出在第s期的现值，然后再折算为第零期的现值。
1/I,门TD
P=Axx（l+i）T=Ax（P/AJji-s）x（P/FJ.s）
i
=1000x匕——x（l+IO%）-5=10x（P/A,10%,10-5）x（P/F,10%,5）i
=1000X3.7908X0.6209-2354（元）
三、本例的分析及解答：
从表中可以看岀，现金流量是每年年末的净现金流量，从第2年
开始到第］0年，每年年末的净现金流量相等，这符合递延年金的定义，那么从第2年到第10年的每年年末的净现金流量的现值要按递延年金来计算。
第0年的年末净现金流量为-500,说明是第1年年初一次性投入500万元，第1年年末的净现金流量为60万元，按复利现值的公式来计算。
从本例中，建设期为0年，经营期为10年，年利率为10%,那么本例的投资的净现值计算为：
加N91P
npv=y——_y——1__r
幺（1+R）®幺（i+r）z
=60x（1+10%）"+100x
x（l+10%）“
=60x（P/F,10%4）+100x（P/A10%J0-l）x（P/FJ0%J）-500
=60x0.9091+100x5.7590x0.9091-500=
578.09669-500^78.09669（万元）四、其他年金
㈠普通年金
1•终值
[公式为:
F=A-
式中的分式也二称作“年金终值系数”，记作为（F/A,i,n）,
I
可通过直接查阅“1元年金终值表”求得有关的数值，上式也可写作:
F=A（F/A,i,n）
例：
假设某项目在5年建设期每年年末从银行望100万元，借款年利率为10%,则该项目竣工时就付本息的总额为：
F=i00x--1（）（r—1=100x（F/A,10%,5）二100X
10%
6.1051=610.51（万元）
2•年偿债基金的计算（已知年金终值，求年金A）
偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或者积聚—定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。
它的计算实际上是年金终值的逆运算。
■
A=F•
（1+0n-1
式中的分式丄「称作“偿债基金系数”，记为（A/F,i,n）,
（1+0-1
可通过直接查阅“偿债基金系统表”或通过年金终值系数的倒数推算出来，上式也可写作：
A=F（A/F,i,n）或者A=F[1/（F/A,i,n）]
例：
假设某企业有一笔4年后到期的借款，到期值为1000万元。
若存款年复利率为10%,则为偿还该借款应建立的偿债基金应为：
A=iooox―怛一二1000x0.2154=215.4（万元）
（1+10%）4-1
或A二1000x[l/（F/A,10%,4）1=1000x（1/4.6410）=215.4（万元）
3•年资本回收额的计算（已知年金现值P,求年金A）
■
A=Px
1一（1+茁"
式中的分式厂称作“资本回收系数”记为记为（A/P,i,n）,可通过直接查阅“资本回收系统表”或通过年金现值系数的倒数推算出来，上式也可写作：
A=P（A/P,i,n）或者A=P[1/（P/A,i,n）]
例：
某企业现在借得1000万元的贷款，在10年以年利率12%等额偿还，则每年应付的金额为：
q=iooox匸占―^1000x0.1770二177（万元）
或A=1000x[l/（P/A,12%,10）]二1000x（1/5.6502）二177
（万元）
㈡即付年金
即付年金，是指从第一期起，在一定时期每期期初等额收付的系列款项，又称先付年金，它与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。
1•由于付款时间的不同，n期即付年金终值比n期普通年金的终值多计算一期利息。
因此，在n期普通年金终值的基础上乘上（1+i）就是n期即付年金的终值。
式中W称作“即付年金终值系数”，它是在普通年金终
I
值系数的基础上,期数加1,系数值减1所得的结果。
通常记为[（F/A,i,n+1）-1],这样，通过查阅“一元年金终值表”得到n+1期的值,然后减去1便可得对应的即付年金终值系数的值。
上式也可写作：
F=A[（F/A,i,n+1）-1]
例:
某公司决定连续5年于每年年初存入100万元作为住房基金,银行存款利率为10%。
则该公司在第5年末能一次取出本利和为：
F=A[（F/A,i,n+1）-1]
=100x[（F/A,10%,5+1）-1]
=100x（7.7156-1）=672（万元）
2.由于付款时间的不同，n期即付年金现值比n期普通年金的现值少折现一期。
因此，在n期普通年金现值的基础上乘上（1+i）就是n期即付年金的现值。
D人1-（1+，）"门・、AI~（1+0[
P=Axx（l+z）=Ax+1
iLi
式中上凹二+1]称作“即付年金现值系数”，它是在普通年金
I
现值系数的基础上，期数减1,系数值加1所得的结果。
通常记为[（P/A,i,n-1）+1],这样,通过查阅“一元年金现值表”得到n-1期的值，然后加上1便可得对应的即付年金现值系数的值。
上式也可写作：
p=a[（P/A,i,n-1）+1]
㈢永续年金
永续年金，是指无限期等额收付的特种年金，可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。
存本取息可视为永续年金的例子。
也可将利率较高、持续期限较长的年金视同永续年金。
由于永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有现值。
公式为：
例：
某人持有的某公司优先股，每年每股股利为2元，若此人想
长期持有，在利率为10%的情况下，请对该股票投资进行估价。
这是一个求永续年金现值的问题，即假设该优先股每年股利固定
且持续较长时期，计算出这些股利的现值之和，即为该股票的估价。
P=A/i=2/10%=20（元）
五、名义利率与实际利率的换算
当每年复利次数超过一次时，这样的年利率叫做名义利率，而每
年只复利一次的利率才是实际利率。
公式：
i=（l+r/m）m-l
式中：
i为实际利率，「为名义利率，m为每年复利次数。
例：
某企业于年初存入10万元，在年利率为10%,半年复利一
次的情况下，到第10年末，该企业能得到多少本利和？
依题意，P=10,r=10%,m=2,n二10
则:
i=（l+r/m）m-l=i=（l+l0%/2）2-l=10.25%
F二P（1+『二10x（1+10.25%）10=26.53（万元）
这种方法的缺点是调整后的实际利率往往带有小数点，不便于查
表。
可以把利率变为r/m,期数相应变为mxn,则有：
F=P（1+r/m）mxn=10x（l+l0%/2严二10x（F/P,5%,20）二26.53（万元）
复利终值公式；F=P（l+i）n
现值公式：
P=F/（1+i）n=p=s/（1+i）An=s*（1+i）a-n
普通年金终值公式：
现值公式：
P=Ax（l+/）_1+Ax（l+/）-2+---+Ax（l+0_（n_1>+Ax（l+/）_n=Ax-1-（1+0
i
即付年金的终值。
匚4（1+'）"—1八・\A（1+'）曲—1i
F=Ax-（l+z）=Ax-1
ii
现值。
P=Ax
x（l+z）=Ax
l（l+r•严
递延年金现值公式为：
P=Ax1-（1+/）——=Ax[（P/HP/AJ,s）]
ii」
或
1/II
P=Axx（\+iyx=Ax（P/AJyn-s）x（P/F^s）
n期晋通年金的终值为：
F=Ax{FjA.i.n）
永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有现值。
x1A
现值公式为：
"Ax若詁厂彳
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