高中数学 第二章 函数 21 函数 213 函数的单调性教.docx

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高中数学第二章函数21函数213函数的单调性教

2.1.3函数的单调性

教学分析　　　　　

在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容．实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出．而本节内容，正是初中有关内容的深化和提高．给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了．

由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性．还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解．

三维目标　　　　　

1．函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质．

2．理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力．

3．能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性．

重点难点　　　　　

教学重点：

函数的单调性．

教学难点：

增函数、减函数形式化定义的形成．

课时安排　　　　　

1课时

导入新课　　　　　

思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯（HermannEbbinghaus,1850～1909），他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵．经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准．他经过对自己的测试，得到了一些数据．

时间间隔t

0分钟

20分钟

60分钟

8～9小时

1天

2天

6天

一个月

记忆量y（百分比）

100%

58.2%

44.2%

35.8%

33.7%

27.8%

25.4%

21.1%

观察这些数据，可以看出：

记忆量y是时间间隔t的函数．当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？

描出这个函数图象的草图（这就是著名的艾宾浩斯曲线）．从左向右看，图象是上升的还是下降的？

你能用数学符号来刻画吗？

通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？

（可以借助信息技术画图象）

学生：

先思考或讨论，回答：

记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为横轴，以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如下图所示．

遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律．随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆．教师提示、点拨，并引出本节课题．

思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌．按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？

学生回答（只要大于32就可以算准确），教师：

提示、点拨，并引出本节课题．

推进新课　　　　　

①如下图所示的函数y＝x，y＝x2，y＝－x2的图象，它们的图象有什么变化规律？

这反映了相应的函数值的哪些变化规律？

②函数图象上任意点P（x，y）的坐标有什么意义？

③如何理解图象是上升的？

④对于函数y＝x2，列出x，y的对应值表（如下表）．完成下表并体会图象在y轴右侧上升．

x

…

－4

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

…

f（x）＝x2

…

…

⑤在数学上规定：

函数y＝x2在区间0，＋∞上是增函数.谁能给出增函数的定义？

⑥增函数的几何意义是什么？

⑦类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？

⑧函数y＝fx在区间D上具有单调性，说明了函数y＝fx在区间D上的图象有什么

变化趋势？

讨论结果：

①函数y＝x的图象，从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．

②函数图象上任意点P的坐标（x，y）的意义：

横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小．

③按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大．图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大．也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大．

④在区间（0，＋∞）上，任取x1、x2，且x1＜x2，那么就有y1＜y2，也就是有f（x1）＜f（x2）．这样可以体会用数学符号来刻画图象上升．

⑤在函数y＝f（x）的图象上任取两点A（x1，y1），B（x2，y2），记Δx＝x2－x1，Δy＝f（x2）－f（x1）＝y2－y1.

Δx表示自变量x的改变量，Δy表示因变量y的改变量，其中“Δ”为希腊字母，读作“delta”．

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A，区间M

A.

如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f（x2）－f（x1）＞0时，就称函数y＝f（x）在区间M上是增函数．

如下图

（1）所示．

⑥从左向右看，图象是上升的．

⑦在函数y＝f（x）的图象上任取两点A（x1，y1），B（x2，y2），记Δx＝x2－x1，Δy＝f（x2）－f（x1）＝y2－y1.

Δx表示自变量x的改变量，Δy表示因变量y的改变量，其中“Δ”为希腊字母，读作“delta”．

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A，区间M

A.

如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f（x2）－f（x1）＜0时，就称函数y＝f（x）在区间M上是减函数，如下图

（2）所示．

几何意义：

从左向右看，图象是下降的．

如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性．（区间M称为单调区间）

⑧函数y＝f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：

从左向右看，图象是上升（下降）的．

思路1

例1说出函数f（x）＝

的单调区间，并指明在该区间上的单调性．

活动：

学生思考函数单调性的几何意义，由图象得单调区间．

解：

（－∞，0）和（0，＋∞）都是函数的单调区间，在这两个区间上函数f（x）＝

都是单调递减的．

点评：

本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性．图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题．如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性．函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性．

图象法求函数单调区间的步骤是：

第一步，画函数的图象；第二步，观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

变式训练

　下图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

活动：

教师提示利用函数单调性的几何意义．学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生．图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数．

解：

函数y＝f（x）的单调区间是[－5，－2），[－2,1），[1,3），[3,5]．其中函数y＝f（x）在区间[－5，－2），[1,3）上是减函数，在区间[－2,1），[3,5]上是增函数.

例2证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）上是增函数．

分析：

画出这个一次函数的图象如下图，直观上很容易看出函数值随着自变量增大而增大．下面根据定义进行证明．同学们可以根据图象理解每一步证明的几何意义．

证明：

设x1，x2是任意两个不相等的实数，且x1＜x2，则

Δx＝x2－x1＞0，

Δy＝f（x2）－f（x1）＝2x2＋1－（2x1＋1）＝2（x2－x1）＝2Δx＞0，

所以函数f（x）＝2x＋1在（－∞，＋∞）上是增函数．

点评：

本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性．

定义法判断或证明函数的单调性的步骤是：

第一步，在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1＜x2；第二步，比较f（x1）和f（x2）的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步，再归纳结论．定义法的步骤可以总结为：

一“取（去）”、二“比”、三“再（赛）”，因此简称为“去比赛”.

变式训练

　证明函数f（x）＝

＋2在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上分别是减函数．

证明：

设x1，x2是（－∞，0）内的任意两个不相等的负实数，且x1＜x2，则

Δx＝x2－x1＞0，

Δy＝f（x2）－f（x1）＝

＋2－

－2＝

.

因为x1－x2＝－Δx＜0，x1x2＞0，所以Δy＜0.

因此f（x）＝

＋2在区间（－∞，0）上是减函数．

同理，对区间（0，＋∞）内的任意两个不相等的正实数x1，x2，且x1＜x2，同样有Δy＝f（x2）－f（x1）＜0.

所以f（x）＝

＋2在区间（0，＋∞）上也是减函数．

思路2

例1

（1）画出函数f（x）＝－x2＋2x＋3的图象；

（2）证明函数f（x）＝－x2＋2x＋3在区间（－∞，1]上是增函数；

（3）当函数f（x）在区间（－∞，m]上是增函数时，求实数m的取值范围．

解：

（1）函数f（x）＝－x2＋2x＋3的图象如下图所示．

（2）设x1、x2∈（－∞，1]，且x1＜x2，则有

f（x1）－f（x2）＝（－x

＋2x1＋3）－（－x

＋2x2＋3）

＝（x

－x

）＋2（x1－x2）

＝（x1－x2）（2－x1－x2）．

∵x1、x2∈（－∞，1]，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜2.

∴2－x1－x2＞0.∴f（x1）－f（x2）＜0.∴f（x1）＜f（x2）．

∴函数f（x）＝－x2＋2x＋3在区间（－∞，1]上是增函数．

（3）函数f（x）＝－x2＋2x＋3的对称轴是直线x＝1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间（－∞，m]位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是（－∞，1]．

点评：

本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用．讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内．

判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明．

判断函数单调性的三部曲：

第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；

第二步，结合图象来发现函数的单调区间；

第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论．

函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的必考内容之一．因此应理解单调函数及其几何意义，会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性．函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.

变式训练

　已知函数f（x）是R上的增函数，设F（x）＝f（x）－f（a－x）．

（1）用函数单调性定义证明F（x）是R上的增函数；

（2）证明函数y＝F（x）的图象关于点（

，0）成中心对称图形．

分析：

（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法证明；

（2）证明函数y＝F（x）的图象上的任意点关于点（

，0）的对称点还是在函数y＝F（x）的图象上即可．

证明：

（1）设x1、x2∈R，且x1＜x2.则

F（x1）－F（x2）＝[f（x1）－f（a－x1）]－[f（x2）－f（a－x2）]

＝[f（x1）－f（x2）]＋[f（a－x2）－f（a－x1）]．

又∵函数f（x）是R上的增函数，x1＜x2，∴a－x2＜a－x1.

∴f（x1）＜f（x2），f（a－x2）＜f（a－x1）．

∴[f（x1）－f（x2）]＋[f（a－x2）－f（a－x1）]＜0.

∴F（x1）＜F（x2）．∴F（x）是R上的增函数．

（2）设点M（x0，F（x0））是函数F（x）图象上任意一点，则点M（x0，F（x0））关于点（

，0）的对称点M′（a－x0，－F（x0））．

又∵F（a－x0）＝f（a－x0）－f（a－（a－x0））

＝f（a－x0）－f（x0）＝－[f（x0）－f（a－x0）]＝－F（x0），

∴点M′（a－x0，－F（x0））也在函数F（x）图象上．

又∵点M（x0，F（x0））是函数F（x）图象上任意一点，

∴函数y＝F（x）的图象关于点（

，0）成中心对称图形.

例2

（1）写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：

在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？

（2）写出函数y＝|x|的单调区间及其图象的对称轴，观察：

在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？

（3）定义在[－4,8]上的函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，y＝f（x）的部分图象如下图所示，请补全函数y＝f（x）的图象，并写出其单调区间，观察：

在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？

（4）由以上你发现了什么结论？

试加以证明．

分析：

（1）画出二次函数y＝x2－2x的图象，借助于图象解决；

（2）类似于

（1）；（3）根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明．

解：

（1）函数y＝x2－2x的单调递减区间是（－∞，1），单调递增区间是（1，＋∞）；对称轴是直线x＝1；区间（－∞，1）和区间（1，＋∞）关于直线x＝1对称，而单调性相反．

（2）函数y＝|x|的单调递减区间是（－∞，0），单调递增区间是（0，＋∞）；对称轴是y轴即直线x＝0；区间（－∞，0）和区间（0，＋∞）关于直线x＝0对称，而单调性相反．

（3）函数y＝f（x），x∈[－4,8]的图象如下图．

函数y＝f（x）的单调递增区间是[－4，－1]，[2,5]；单调递减区间是[5,8]，[－1,2]；区间[－4，－1]和区间[5,8]关于直线x＝2对称，而单调性相反，区间[－1,2]和区间[2,5]关于直线x＝2对称，而单调性相反．

（4）可以发现结论：

如果函数y＝f（x）的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f（x）在直线x＝m两侧对称单调区间内具有相反的单调性．证明如下：

不妨设函数y＝f（x）在对称轴直线x＝m的右侧一个区间[a，b]上是增函数，区间[a，b]关于直线x＝m的对称区间是[2m－b,2m－a]．

由于函数y＝f（x）的图象关于直线x＝m对称，则f（x）＝f（2m－x）．

设2m－b≤x1＜x2≤2m－a，则b≥2m－x1＞2m－x2≥a，

f（x1）－f（x2）＝f（2m－x1）－f（2m－x2）．

又∵函数y＝f（x）在[a，b]上是增函数，∴f（2m－x1）－f（2m－x2）＞0.

∴f（x1）－f（x2）＞0.∴f（x1）＞f（x2）．

∴函数y＝f（x）在区间[2m－b,2m－a]上是减函数．

∴当函数y＝f（x）在对称轴直线x＝m的右侧一个区间[a，b]上是增函数时，其在[a，b]关于直线x＝m的对称区间[2m－b,2m－a]上是减函数，即单调性相反．

因此有结论：

如果函数y＝f（x）的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f（x）在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性．

点评：

本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论，这是我们认识世界发现问题的主要方法，这种方法的难点是猜想，突破路径是寻找共同的特征．本题作为结论记住，可以提高解题速度．图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征．这需要有细致的观察能力.

变式训练

　函数y＝f（x）满足以下条件：

①定义域是R；②图象关于直线x＝1对称；③在区间[2，＋∞）上是增函数．试写出函数y＝f（x）的一个解析式f（x）＝__________（只需写出一个即可，不必考虑所有情况）．

分析：

根据这三个条件，画出函数y＝f（x）的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出．

解：

定义域是R的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x＝1对称的函数解析式满足：

f（x）＝f（2－x），基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间[2，＋∞）上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x＝1不在区间[2，＋∞）内，故函数的解析式可能是y＝a（x－1）2＋b（a＞0）．

结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：

形如y＝a（x－1）2＋b（a＞0），或为y＝a|x－1|＋b（a＞0）等都可以，答案不唯一.

1．利用图象法写出基本初等函数的单调性．

解：

①正比例函数：

y＝kx（k≠0）

当k＞0时，函数y＝kx在定义域R上是增函数；当k＜0时，函数y＝kx在定义域R上是减函数．

②反比例函数：

y＝

（k≠0）

当k＞0时，函数y＝

的单调递减区间是（－∞，0），（0，＋∞），不存在单调递增区间；当k＜0时，函数y＝

的单调递增区间是（－∞，0），（0，＋∞），不存在单调递减区间．

③一次函数：

y＝kx＋b（k≠0）

当k＞0时，函数y＝kx＋b在定义域R上是增函数；当k＜0时，函数y＝kx＋b在定义域R上是减函数．

④二次函数：

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c的单调递减区间是（－∞，－

]，单调递增区间是[－

，＋∞）；

当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c的单调递减区间是[－

，＋∞），单调递增区间是（－∞，－

]．

点评：

以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度．

2．已知函数y＝kx＋2在R上是增函数，求实数k的取值范围．

答案：

k∈（0，＋∞）．

3．二次函数f（x）＝x2－2ax＋m在（－∞，2）上是减函数，在（2，＋∞）上是增函数，求实数a的值．

答案：

a＝2.

4．已知f（x）是定义在（0，＋∞）上的减函数，若f（a＋1）＜f（－4a＋1）成立，则a的取值范围是__________．

解析：

∵f（x）的定义域是（0，＋∞），∴

解得－1＜a＜

.

∵f（x）在（0，＋∞）上是减函数，∴a＋1＞－4a＋1.∴a＞0.

∴0＜a＜

，即a的取值范围是（0，

）．

答案：

（0，

）

点评：

本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式．解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式．

问题：

1.画出函数y＝

的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？

（1）函数y＝

是减函数；

（2）函数y＝

的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）．

2．对函数y＝

，取x1＝－1＜x2＝2，则f（x1）＝－1＜f（x2）＝

，满足当x1＜x2时f（x1）＜f（x2），说函数y＝

在定义域上是增函数对吗？

为什么？

3．通过上面两道题，你对函数的单调性定义有什么新的理解？

解答：

1.

（1）是错误的，从左向右看，函数y＝

的图象不是下降的．

（2）是错误的，函数y＝

的单调递减区间是（－∞，0），（0，＋∞）．在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上函数y＝

的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的．

2．不对．这个过程看似是定义法，实质上不是．定义中x1、x2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替．

3．函数单调性定义中的x1、x2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性．

点评：

函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y＝f（x）在区间（a，b）和（b，c）上均是增（减）函数，那么在区间（a，b）∪（b，c）上的单调性不能确定．

本节学习了：

①函数的单调性；②判断函数单调性的方法：

定义法和图象法．

课本本节练习B　1、2.

“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”．本设计致力于展示概念是如何生成的．在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材．

本节课采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔．

判断下列说法是否正确：

①已知f（x）＝

，因为f（－1）＜f

（2），所以函数f（x）是增函数．

②若函数f（x）满足f

（2）＜f（3），则函数f（x）在区间[2,3]上为增函数．

③若函数f（x）在区间（1,2]和（2,3）上均为增函数，则函数f（x）在区间（1,3）上为增函数．

④因为函数f（x）＝

在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，所以f（x）＝

在（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数．

活动：

教师强调以下三点后，让学生判断．

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②有的函数在整个定义域内单调（如一次函数），有的函数只在定义域内的某些区间单调（如二次函数），有的函数根本没有单调区间（如常函数）．

③函数在定义域内的两个区间A、B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数．

答案：

这四个判断都是错误的．

思考：

如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？

解答：

证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即可．也就是说，只要找到两个特殊的自变量不符合定义就行．