兰大数分考研试题及解答.docx
《兰大数分考研试题及解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《兰大数分考研试题及解答.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
兰大数分考研试题及解答
兰州大学2009年数学分析考研试题及解答
—.计算题
x3
sint2dt
1.求lim0
xT-二t（t—sint）dt
3
”十「、2x（sinx了
解原式二lim
x—sinx
3
x
-lim
x0_x—sinx
=lim上
x0V—cosx
—12xlim=-12
xr°-sinx
x23
f0（sintjdtlim—T012
01（t-sint）dt
2.求arctan、、xdx.
1
解原式二xar如：
*x2
1舟
—xxdx
1
=xarctan：
x-1
x2dx21x
=xarctan,x-yarctanyC
=x1arctan、x-yC.
2x1
3.计算1血^「2.2dx.xy「dy.
2y21
解原式=JdyJ
1yy
二-ye*厂击e」.
4.求抛物线y2=4x与它在1,2处的法线所围成的有限区域的面积
解在1,2处，dy=.-,
dxy
=1,
x4
法线的斜率为-1，
设法线方程为y—2=-[x-1,x=3—y，
于是所求的面积
11
=3832224
2‘12
—丄"5664
=2416
33
:
:
2nd
5.求幕级数送（-1厂一的收敛域与和函数.
n二n
2n』
解设Un-1—，
n
当x<1时，原幕级数绝对收敛,
当x「1时，—
n=1
.n
——为条件收敛,
n
沪n4
当x=1时，7T为条件收敛,
1时，原幕级数发散,
Vo,,dt
2
xIn1x
X<1.
2x
In1xlimx）0
6.计算曲线积分Ii：
exsiny-bx-ydx亠〔excosy-axdy，其中L是从2a,0沿
着曲线y「2ax-x2到点0,0的一段.
解记P二exsiny_bx_y,Q=eXcosy_ax,
PX._XQ：
：
P.
贝Uecosy〜b，ecosy-a，于疋b~a，
cyexexdy
曲线y=・,2ax-x2，即
22
x-2axy=0，y-0，
.证明：
limsinn不存在.
n_ac
证明
由于区间2k一4%号，k712111长度为-1，而存在整数
同理存在mk•2k，亠J,2k，亠7,
IL44
假若limsinn二a存在，
n_5c
则有limsinnk=a,limsinmk=a,k^^k_Ac
一1乞sinmk<
这是矛盾的，
所以limsinn不存在.
n_ac
三.设函数f:
ia,b】Tla,b］，满足f（x）-f（yj兰Lx-y“，任意x,疗【a,b】其中
L,:
-为正常数.
证明
（1）当〉・1时，fx恒为常数；
（2）当L：
：
：
1,〉=1,存在唯一的：
：
：
=la,b1,使得f•=1
证明
（1）当〉・1时，
丄f（y）-f（x：
o（4」、
由0兰_兰Ly—xto，（yTx）,y—x
知fx=0,-l.a,b1,于是fx恒为常数；
（2）显然fx连续，又a_fx_b,
存在la,b1,使得f二,
下证唯一性.
设•a,b1,也满足f=,
则-n|=|f（©）_f（口声L|©,
由于0:
:
L<1，
所以|t-n=o，匕」，
故存在唯一的•la,b1,使得f.
四•设fx是区间I上的有界函数，证明fx在区间I上一致连续的充分必要
条件是对任给的；o,总存在正数M,使得当x,yI,X=y,且
假若
使得
fx在区间I上不一致连续，则存在；o0,存在：
Xn；.yn「I,
1
Xn-ynV—，但f（Xn）—f（yn）n
由假设条件，对訂。
，只需要n充分大,
就有f（XnfWnj
矛盾所以fx在区间I上一致连续;
必要性设fX在区间I上一致连续，
用反证法若结论不成立，
则存在00，对任意正整数n,存在I,
使得
Xn_yn
但fXn-fyn•；o.
这与f一致连续矛盾.
注：
对函数fx二C，或者fx=x，显然在I上一致连续，不成立必要性的结论，反证法中的；，从不存在，所以此题应只有充分性，应无必要性.
五•设f:
R2）R2是连续映射，若对R2中任何有界闭集K，fJK均是有界的,证明fR2是闭集.
证明设y是fR2的任意一个极限点，
则存在‘X1R2，
使得limf
而集合A-fxn:
n“,2,…「U0，
作为R2中的有界闭集（有界是因为极限存在，而闭性是由于极限唯一）其原像f'A是有界的，
现因Xn•f4A，
所以T是有界的，
由Weierstrass聚点定理，存在子列^xn^及R2，
由f得连续性，lim.fxnk=fx=y，
所以y=fx•fR2，故fR2是闭集
六•证明二元函数fx,y=、xy在点0,0处连续，fx0,0,fy0,0存在但在点0,0处不可微.
证明
（1）显然limfx,y产0二f0,0,
所以fx,y在点0,0处连续，
由f（x,0）—f（0,0）_0，f（0,y）-f（0,0）_0，
x，y，
知fx0,0=0，fy0,0=0，
Rx,.：
yi；=f.：
X,：
y］；「［f0,0fx0,0xfy0,0：
y
二、二x_V，
当J（Ax行（Ay0时，
不存在极限，
g）+（Ay）皿）+（纫）
所以fx,y在0,0处不可微.
证明
（1）fx在〔0,=上可导，且一致连续;
（2）反常积分0fxdx发散.
1
证明
（1）记UnXn-，
2+x
对任意X0,，
1
0：
：
Unx一歹，
qQ
所以vunx在1-0^-一致收敛，
n±
1
fx一在0,上连续，
n$2+X
对X1,X2*0,=，
fXi-fX2
g+Xi
1
:
厂mXi「X2
1
兰一为一X2,
3
由此既得fX在［0,•：
：
—致连续;
1
2
2nX
qQ
“UnX在0,V上一致收敛,
n4
于是fx在0,•:
:
连续可导，且
1
2
（2n+x）
（2）由于，fx0,
2k2k:
2Jxdx=2kJnA
dx
—k_1,
2k
所以Uk亠fxdx发散,
k±
故pfxdx发散.
升级会员 