上机练习1.docx
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上机练习1
班级：
数学三班
姓名：
齐照辉
学号：
20111001316
练习：
1.1用差商
求
在
处导数的近似值.取
，
，
=0.000000000000001和
=0.0000000000000001分别用MATLAB软件计算，取十五位数字计算.
解：
当h=0.1时：
>>formatlongg
>>a=3;h=0.1;y=log（a+h）-log（a）;yx=y/h
yx=
0.32789822822991
当h=0.0001时：
>>formatlongg
>>a=3;h=0.0001;y=log（a+h）-log（a）;yx=y/h
yx=
0.333327777903847
当h=0.0000000000000001时：
>>formatlongg
>>a=3;h=0.0000000000000001;y=log（a+h）-log（a）;yx=y/h
yx=
0
练习1.2设计三种算法求方程
在
的一个正根
的近似值，并研究每种算法的误差传播情况.
解：
第一种算法：
将已知方程化为通解方程：
x=15-2x^2.取初值x0=2,按叠代公式Xk+1=15-2xk^2.
第二种算法：
将已知方程化为同解方程：
第三种算法：
将已知方程化为通解方程：
X=
Matab主程序：
function[k,juecha,xiangcha,xk]=liti112（x0,x1,limax）
x
（1）=x0;
fori=1:
limax
x（i+1）=fl（x（i））;
juecha=abs（x（i）-x1）;
xiangcha=juecha/（abs（x（i））+eps）;
xk=x（i）;k=i-1;[（i-1）,juecha,xiangcha,xk]
end
第一问：
[k,juecha,xiangcha,xk]=liti112（2,2.5,100）
Y1=15-2*x^2
第二问：
functiony1=f1（x）
y1=15/（2*x+1）;
第三问：
[k,juecha,xiangcha,xk]=liti112（2,2.5,100）
Y1=x-（2*x^2+x-15）/（4*x+1）
结果：
迭代次数算法1算法2算法3
022.000000002.00000000
173.000000002.55555556
2-832.142857142.50055006
3-137632.837837842.50000000
4-3788403232.246963562.500000000
……………………………………………………………………………………….
99-inf2.500000012.500000000
分析：
由表格知，算法一不收敛，算法二的初始绝对误差和相对误差分别是0.0500000000和0.166666667，它的相对误差和绝对误差是收敛的随着迭代次数增大，误差逐步趋近于零，而叠代结果趋近于2.500000000，第三种算法，绝对误差和相对误差是稳定的，结果也很快的趋近精确解2.5
练习1.3求数
的近似值.
解：
>>formatlong
>>7^15*8^（-19）/（sqrt（1+8^（-19））+1）
得到结果：
ans=
1.647141280988404e-005
练习2.1确定方程x3-x+4=0的实根的分布情况，并用二分法求在开区间（-2,-1）内的实根的近似值，要求精度为0.001.
解：
（1）确定方程实根的分布情况：
在命令窗口输入：
>>symsx
>>y=solve（'x^3-x+4=0'）
>>eval（y）
得到：
ans=
-1.79632190325944
-22.93525496046493
24.73157686372437
（2）利用二分法求在开区间（-2,-1）内的实根的近似值：
在命令窗口输入：
>>funhan=@（x）x^3-x+4
a=-2;
b=-1;
eps=1.0e-3;
M=1000;
[c,n]=erfenfa（funhan,a,b,eps,M）
%c是根
得到结果：
funhan=
@（x）x^3-x+4
c=
-1.79589843750000
n=
10
练习2.2用迭代法求方程求x5-3x+1=0在0.3附近的根，精确到4位小数.
解：
1.创建名为diedail2.m的M文件：
function[k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=diedail2（x0,tol,ddmax）
x
（1）=x0;
fori=1:
ddmax
x（i+1）=fun（x（i））;piancha=abs（x（i+1）-x（i））;
xdpiancha=piancha/（abs（x（i+1））+eps）;i=i+1;
xk=x（i）;yk=fun（x（i））;[（i-1）pianchaxdpianchaxkyk]
if（pianchak=i-1;xk=x（i）;
return;
end
end
ifi>ddmax
disp（'迭代次数超过给定的最大值ddmax'）
k=i-1;xk=x（i）;yk=fun（x（i））;[（i-1）pianchaxdpianchaxkyk]
return;
end
p=[（i-1）,piancha,xdpiancha,xk,yk];
2.创建M文件fun.m
functiony=fun（x）
y=（x^5+1）/3;
3.在MATLAB工作窗口输入程序
>>[k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=diedail2（0.3,1.0e-4,500）
4.运行后输出的结果
[k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=diedail2（0.3,1.0e-4,500）
ans=
1.00000.03410.10220.33410.3347
ans=
2.00000.00060.00170.33470.3347
ans=
3.00000.00000.00000.33470.3347
k=
3
piancha=
1.2061e-005
xdpiancha=
3.6031e-005
xk=
0.3347
yk=
0.3347
练习2.3用艾特肯加速方法求2e
在0.85附近的一个近似根，要求精度
..
解：
1.创建M文件Aitken.m：
function[k,xk,yk,p]=Aitken（x0,tol,ddmax）
x
（1）=x0;
fori=1:
ddmax
x1（i+1）=fun（x（i））;
x2（i+1）=fun（x1（i+1））;
x（i+1）=x2（i+1）-（x2（i+1）-x1（i+1））^2/（x2（i+1）-2*x1（i+1）+x（i））;
piancha=abs（x（i+1）-x（i））;
xdpiancha=piancha/（abs（x（i+1）+eps））;
i=i+1;xk=x（i）;yk=fun（x（i））;
if（pianchak=i-1;xk=x（i）;yk=fun（x（i））;m=[0,1:
i-1];
p=[m',x1',x2',x'];
return;
end
end
ifi>ddmax
disp（'迭代次数超过给定的最大值ddmax'）
k=i-1;xk=x（i）;yk=fun（x（i））;m=[0,1:
i-1];p=[m',x1',x2',x']
return;
end
m=[0,1:
i-1];p=[m',x1',x2',x'];
2.创建M文件fun.m
functiony=fun（x）
x1=exp
（1）;y=2*x1^（-x）;
3.
3.在MATLAB工作窗口输入程序
>>[k,xk,yk,p]=Aitken（0.85,1e-6,100）
4.运行后得到结果
k=
3
xk=
0.8526
yk=
0.8526
p=
0000.8500
1.00000.85480.85070.8526
2.00000.85260.85260.8526
3.00000.85260.85260.8526
练习2.4分别用牛顿法、割线法求方程
在
的近似根，要求精度
.
解：
牛顿法：
1.创建牛顿法的MATLAB程序为M文件newtonqx.m
function[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx（x0,tol,ftol,gxmax）
x
（1）=x0;
fori=1:
gxmax
x（i+1）=x（i）-fnq（x（i））/（dfnq（x（i））+eps）;piancha=abs（x（i+1）-x（i））;
xdpiancha=piancha/abs（x（i+1）+eps）;i=i+1;
xk=x（i）;
yk=fnq（x（i））;[（i-1）xkykpianchaxdpiancha]
if（abs（yk）k=i-1;xk=x（i）;[（i-1）xkykpianchaxdpiancha];
return;
end
end
ifi>gxmax
disp（'请注意：
迭代次数超过给定的最大值gxmax.'）
return;
end
[（i-1）,xk,yk,pianchaxdpiancha]';
2.创建fnq.m的M文件
functiony=fnq（x）
y=2*x^3-3*x^2+1;
3.创建dfnq.m文件
functiony=dfnq（x）
y=6*x^2-6*x;
4.在工作窗口输入程序：
>>[k,xk,piancha,xdpiancha]=newtonqx（-0.4,0.001,0.001,100）
得到结果：
ans=
1.0000-0.5167-0.07670.11670.2258
ans=
2.0000-0.5004-0.00160.01630.0326
ans=
3.0000-0.5000-0.00000.00040.0007
k=
3
xk=
-0.5000
piancha=
-7.7025e-007
xdpiancha=
3.5825e-004
5.在工作窗口输入程序：
>>[k,xk,piancha,xdpiancha]=newtonqx（0.9,0.001,0.001,100）
6.得到结果：
ans=
1.00000.95190.00670.05190.0545
ans=
2.00000.97630.00170.02450.0251
ans=
3.00000.98830.00040.01190.0121
ans=
4.00000.99420.00010.00590.0059
ans=
5.00000.99710.00000.00290.0029
ans=
6.00000.99850.00000.00150.0015
ans=
7.00000.99930.00000.00070.0007
k=
7
xk=
0.9993
piancha=
1.5903e-006
xdpiancha=
7.2896e-004
割线法
1.编写名为gexian.m的M文件：
function[k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=gexian（x01,x02,tol,ftol,gxmax）
x
（1）=x01;x
（2）=x02;
fori=2:
gxmax
u（i）=fnq（x（i））*（x（i）-x（i-1））;v（i）=fnq（x（i））-fnq（x（i-1））;
x（i+1）=x（i）-u（i）/（v（i））;piancha=abs（x（i+1）-x（i））;
xdpiancha=piancha/（abs（x（i+1）+eps））;i=i+1;xk=x（i）;
yk=fnq（x（i））;[（i-2）pianchaxdpianchaxkyk]
if（abs（yk）k=i-2;xk=x（i）;yk=fnq（x（i））;[（i-2）pianchaxdpianchaxkyk];
return;
end
end
ifi>gxmax
disp（'请注意：
迭代次数超过给定的最大值gxmax.'）
k=i-2;xk=x（i）;yk=fnq（x（i））;[（i-2）pianchaxdpianchaxkyk];
return;
end
2.在命令窗口输入程序：
>>[k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=gexian（-0.5,-0.3,1e-3,0.001,100）
3.得到结果：
ans=
1.00000.20000.4000-0.50000
ans=
2.000000-0.50000
k=
2
piancha=
0
xdpiancha=
0
xk=
-0.5000
yk=
0
4.在命令窗口输入程序：
>>[k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=gexian（0.8,1.0,0.001,0.001,100）
5.得到结果：
ans=
10010
k=
1
piancha=
0
xdpiancha=
0
xk=
1
yk=
0
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