相交线和平行线典型例题及拔高训练附复习资料.docx
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相交线和平行线典型例题及拔高训练附复习资料
4.2 相交线和平行线 典型例题及强化训练
课标要求
①了解对顶角,知道对项角相等。
②了解垂线、垂线段等概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线距离的意义。
③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
④知道两直线平行同位角相等,进一步探索平行线的性质
⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
⑥体会两条平行线之间距离的意义,会度量两条平行线之间的距离。
典型例题
1.判定与性质
例1判断题:
1)不相交的两条直线叫做平行线。
( )
2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
( )
3)两直线平行,同旁内角相等。
( )
4)两条直线被第三条直线所截,同位角相等。
( )
答案:
(1)错,应为“在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线”。
(2)错,应为“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”。
(3)错,应为“两直线平行,同旁内角互补”。
(4)错,应为“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等”。
例2已知:
如图,∥,求证:
∠∠∠。
分析:
可以考虑把∠变成两个角的和。
如图5,过E点引一条直线∥,则有∠∠1,再设法证明∠∠2,需证
∥,这可通过已知∥和∥得到。
证明:
过点E作∥,则∠∠1(两直线平行,内错角相等)。
∵∥(已知),
又∵∥(已作),
∴∥(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
∴∠∠2(两直线平行,内错角相等)。
又∵∠∠1+∠2,
∴∠∠∠D(等量代换)。
变式1已知:
如图6,∥,求证:
∠360°-(∠∠D)。
分析:
此题与例1的区别在于E点的位置及结论。
我们通常所说的∠都是指小于平角的角,如果把∠看成是大于平角的角,可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。
因此,我们模仿例1作辅助线,不难解决此题。
证明:
过点E作∥,则∠∠1=180°(两直线平行,同旁内角互补)。
∵∥(已知),
又∵∥(已作),
∴∥(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
∴∠∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)。
∴∠∠1+∠∠2=180°+180°(等式的性质)。
又∵∠∠1+∠2,
∴∠∠∠360°(等量代换)。
∴∠360°-(∠∠D)(等式的性质)。
变式2已知:
如图7,∥,求证:
∠∠∠B。
分析:
此题与例1的区别在于E点的位置不同,从而结论也不同。
模仿例1与变式1作辅助线的方法,可以解决此题。
证明:
过点E作∥,则∠∠B(两直线平行,内错角相等)。
∵∥(已知),
又∵∥(已作),
∴∥(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
∴∠∠D(两直线平行,内错角相等)。
∵∠∠∠,
∴∠∠∠B(等量代换)。
变式3已知:
如图8,∥,求证:
∠∠∠D。
分析:
此题与变式2类似,只是∠B、∠D的大小发生了变化。
证明:
过点E作∥,则∠1+∠180°(两直线平行,同旁内角互补)。
∵∥(已知),
又∵∥(已作),
∴∥(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
∴∠∠180°(两直线平行,同旁内角互补)。
∴∠1+∠2+∠180°。
∴∠1+∠2+∠(∠1+∠B)=180°-180°(等式的性质)。
∴∠2=∠∠D(等式的性质)。
即∠∠∠D。
例3已知:
如图9,∥,∠∠。
求证:
∠∠。
证法一:
过F点作∥,则∠∠1(两直线平行,内错角相等)。
过E点作∥,则∠∠4(两直线平行,内错角相等)。
∵∥(已作),∥(已知),
∴∥(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
又∵∥(已知),
∴∥(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)。
∴∠1+∠2=∠3+∠4(等式的性质)
即∠∠。
证法二:
如图10,延长、相交于G点。
∵∥(已知),
∴∠1=∠(两直线平行,内错角相等)。
又∵∠∠(已知),
∴∠1=∠(等量代换)。
∴∥(同位角相等,两直线平行)。
∴∠∠(两直线平行,内错角相等)。
如果延长、相交于H点(如图11),也可用同样的方法证明(过程略)。
证法三:
(如图12)连结。
∵∥(已知),
∴∠∠(两直线平行,内错角相等)。
又∵∠∠(已知),
∴∠∠=∠∠(等式的性质)。
即∠∠。
∴∥(内错角相等,两直线平行)。
∴∠∠(两直线平行,内错角相等)。
强化训练
一.填空
1.完成下列推理过程
①∵∠3=∠4(已知),
∥()
②∵∠5=∠(已知),
∴∥()
③∵∠+=180°(已知),
∴∥()
2.如图,已知∥是∠的平分线,∠=109°,
∠=50°则∠A度,∠=度。
3.如图,∥分别平分∠,∠,
则∠+∠。
4、将点P(-3,y)向下平移3个单位,向左平移2个单位后得到点Q(x,-1),则。
5、已知:
如图,直线和相交于O,平分∠,
且∠68°,则∠
二.选择题
1.在海上,灯塔位于一艘船的北偏东40度方向,那么这艘船位于这个灯塔的()
A南偏西50度方向;B南偏西40度方向;
C北偏东50度方向;D北偏东40度方向
2.如图∥∥,∥,则图中与∠1相等的角共有()个
A6个B.5个C.4个D.2个
3、同一平面内的四条直线若满足a⊥⊥⊥d,则下列式子成立的是()
A、a∥dB、b⊥dC、a⊥dD、b∥c
4、如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是()
A.50°B.60°C.70°D.80°
5.已知:
∥,且∠20°,∠30°,
则∠的度数是()
A.160°B.150°C.70°D.50°
6(2003南通市)判断题已知,如图,下列条件中不能判断直线l1∥l2的是()
(A)∠1=∠3(B)∠2=∠3
(C)∠4=∠5(D)∠2+∠4=180°
7.(北京市海淀区2003年).如图,直线c与直线a、b相交,且,则下列结论:
(1)
;
(2)
;(3)
中正确的个数为()
A.0B.1C.2D.3
8.(2004年浙江省富阳市)下列命题正确的是( )
A、两直线与第三条直线相交,同位角相等;B、两线与第三线相交,内错角相等;
C、两直线平行,内错角相等; D、两直线平行,同旁内角相等。
9.(2003年安徽省)如图,∥,⊥,图中与∠互余的角有……()
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.(日照市2004年)如图,已知直线∥,当点E直线与之间时,有∠=∠+∠成立;而当点E在直线与之外时,下列关系式成立的是( )
A ∠=∠+∠或∠=∠-∠;
B ∠=∠-∠
C ∠=∠-∠或∠=∠-∠;
D ∠=∠-∠
三.解下列各题:
1.如图,已知⊥,⊥,∠3=26°,求∠1、∠2的度数。
2、已知∥,∠∠C,求证:
∥。
3.如图∥,求∠+∠+∠+∠的度数.
4.已知,如图⊥⊥⊥,∠与∠互补,求证:
⊥.
5.如图,已知∥,∠135°,∠80°,求∠的度数。
6.已知:
如图,⊥于D,⊥于G,.求证:
平分∠。
四、如图A、B是两块麦地,P是一个水库,A、B之间有一条水渠,现在要将水库中的水引到A、B两地浇灌小麦,你认为怎样修水渠省时省料经济合算?
请说出你的设计方案,并说明理由。
相交线与平行线
2.1略;121°,84°;3.90°;410;5。
56°
二.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
A
D
B
D
C
B
C
三.1.解:
∵⊥,⊥
∴∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3=26°
∴∠2=64°
2证明:
∵∥,
∴∠∠180°
∵∠∠C,
∴∠∠180°
∴∥.
2.解:
连结.
∵∥
∴∠∠180°
∵∠∠∠∠F=360°
∴∠∠180°
∴∠+∠+∠+∠540°
4.证明:
∵⊥,⊥
∴∥,
∴∠∠180°
∵∠与∠互补,
∴∠=∠,
∴∥
∴∠∠
∵∠90°
∴∠90°
∴⊥.
5.解:
延长交于F.
由∠135°易得∠45°,
又∠80°,得∠35°
6.证明:
∵⊥于D,⊥于G
∴∥,
∴∠2=∠3,∠1=∠E,
∵
∴∠E=∠3,
∴∠1=∠2,
∴平分∠。
四.略