届高三数学二轮复习数列专题及其答案.docx
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届高三数学二轮复习数列专题及其答案
.
2018届高三第二轮复习——数列
第1讲等差、等比考点
【高考感悟】
从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：
考什么怎么考题型与难度
主要考查等差、等比数列的基题型：
三种题型均可出现
1.等差（比）数列的基本运算
本量的求解难度：
基础题
主要考查等差、等比数列的定题型：
三种题型均可出现
2.等差（比）数列的判定与证明
义证明难度：
基础题或中档题
主要考查等差、等比数列的性题型：
选择题或填空题
3.等差（比）数列的性质
质难度：
基础题或中档题
1．必记公式
（1）等差数列通项公式：
an＝a1＋（n－1）d.
n（a1＋an）n（n－1）d
（2）等差数列前n项和公式：
S＝
＝na1＋
.
n
2
2
（3）等比数列通项公式：
ana1qn－1.
（4）等比数列前n项和公式：
na1（q＝1）
S
n＝
n
n
.
a1（1－q）
a1－aq
（q≠1）
＝
1－q
1－q
（5）等差中项公式：
2an＝an－1＋an＋1（n≥2）．
（6）等比中项公式：
a2n＝an－1·an＋1（n≥2）．
S1（n＝1）
（7）数列{an}的前n项和与通项an之间的关系：
an＝.Sn－Sn－1（n≥2）
2．重要性质
（1）通项公式的推广：
等差数列中，an＝am＋（n－m）d；等比数列中，an＝amqn－m.
.
.
（2）增减性：
①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列．
②等比数列中，若a1＞0且q＞1或a1＜0且0＜q＜1，则数列为递增数列；若a1＞0且0＜q＜1或
a1＜0且q＞1，则数列为递减数列．
3．易错提醒
（1）忽视等比数列的条件：
判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件．
（2）漏掉等比中项：
正数a，b的等比中项是±ab，容易漏掉－ab.
【真题体验】
1．（2015·新课标Ⅰ高考）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝（）
17
19
A.
B.
C．10
D．12
2
2
1
2．（2015·新课标Ⅱ高考）已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4（a4－1），则a2＝（
）
4
1
1
A．2
B．1C.D.
2
8
3．（2015·浙江高考）已知{
n}是等差数列，公差
d
不为零．若
a
2，
a
3，
7成等比数列，且
2
a
1＋
a
2＝1，则
a
a
a1＝__________，d＝________．
4．（2016·全国卷1）已知an是公差为
3的等差数列，数列
bn
满足b1=1，b2=
1，anbn1
bn1
nbn，.
3
（I）求an
的通项公式；（II）求bn
的前n项和.
.
.
【考点突破】
考点一、等差（比）的基本运算
1．（2015·湖南高考）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．
9
2．（2015·重庆高考）已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.
2
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
考点二、等差（比）的证明与判断
【典例1】（2017
·全国1）记Sn为等比数列an的前n项和，已知S2=2，S3=-6.
（1）求an
的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。
.
.
.
【规律感悟】判断和证明数列是等差（比）数列的三种方法
（1）
n≥1的任意自然数，验证
an＋1－an或
an＋1
定义法：
对于
为同一常数．
an
（2）
通项公式法：
①若an＝a1＋（n－1）d＝am＋（n－m）d或an＝kn＋b（n∈N*），则{an}为等差数列；
②若an＝a1qn－1＝amqn－m或an＝pqkn＋b（n∈N*），则{an}为等比数列．
（3）中项公式法：
①若2an＝an－1＋an＋1（n∈N*，n≥2），则{an}为等差数列；
②若a2n＝an－1·an＋1（n∈N*，n≥2），且an≠0，则{an}为等比数列．
变式：
（2014·全国大纲高考）数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
（1）设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
考点三、等差（比）数列的性质
命题角度一与等差（比）数列的项有关的性质
【典例2】
（1）（2015·新课标Ⅱ高考）已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝（）
A．21B．42C．63D．84
（2）（2015·铜陵模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，则a5＋a6＝（）
126
A.B．12C．6D.
55
.
.
命题角度二
与等差（比）数列的和有关的性质
【典例3】
（1）（2014
·全国大纲高考）设等比数列{a}的前n项和为S.若S
＝3，S
＝15，则
n
n
2
4
S6＝（）
A．31
B．32C．63D．64
（2）（2015·衡水中学二调）等差数列{an}中，3（a3＋a5）＋2（a7＋a10＋a13）＝24，则该数列前13项
的和是（）A．13B．26C．52D．156
[针对训练]
1
．在等差数列{
n}中，若
a
3＋
4＋
5＋
a
6＋
7＝25，则
a
2＋
8＝________．
a
a
a
a
a
2
．在等比数列{
n}中，4
·8
＝16，则
a
4·5
·7·8的值为________．
a
a
a
a
a
a
3
．若等比数列{n}的各项均为正数，且
10
a
11＋9
a
12＝2e5，则ln
a
1＋ln
2＋⋯＋ln
20＝
a
a
a
a
a
______．
【巩固训练】
一、选择题
1
．（2015·新课标Ⅱ高考）设
S
n是等差数列{n}的前
n
项和．若
a
1
＋
3＋
5＝3，则
5
＝（
）
a
a
a
S
A．5
B．7
C．9
D．11
2
．（2014
·福建高考）等差数列{
n}的前
n
项和为
S
n，若1＝2，
S
3＝12，则
a
6等于（
）
a
a
A．8
B．10C．12D．14
3
．（2014
·重庆高考）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（
）
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6
成等比数列
.
.
C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列
4．（2014·天津高考）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，
S4成等比数列，则a1＝（）
A．2
B．－2
1
1
C.
D．－
2
2
*
1
5．（2015·辽宁大连模拟）数列
n
n
－a
n＋1
n
n＋1
n
n
＝
，且b
1
{a
}满足a
＝a
·a
（n∈N
），数列{b}满足b
an
＋b＋⋯＋b
＝90，则b·b
（
）
2
9
4
6
A．最大值为99
B．为定值99C．最大值为100
D．最大值为200
二、填空题
6．（2015·陕西高考）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．
7．（2015·安徽高考）已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于
________．
8．（2014·江西高考）在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大
值，则d的取值范围为________．
三、解答题
9．（文）（2015·兰州模拟）在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的前n项和Sn.
.
.
10、（2014·湖北高考）已知等差数列{an}满足：
a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？
若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
11．（2015·江苏高考）设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．
（1）证明：
2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；
（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？
并说明理由
第2讲数列求和（通项）及其综合应用
【高考感悟】
从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：
考什么怎么考题型与难度
1.数列的通项①考查等差、等比数列的基本量的求解；题型：
三种题型均可出现
公式②考查an与Sn的关系，递推关系等难度：
基础题或中档题
2.数列的前n①考查等差、等比数列前n项和公式；题型：
三种题型均可出现，更多
.
.
项和②考查用裂项相消法、错位相减法、分解为解答题
组合法求和.难度：
中档题
3.数列的综合①证明数列为等差或者等比；题型：
解答题
应用②考查数列与不等式的综合.难度：
中档题
【真题体验】
1．（2015·北京高考）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（）
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3
D．若a1＜0，则（a2－a1）（a2－a3）＞0
2．（2015·武汉模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{
1
}的前
anan＋1
100
99
99
101
100项和为（）
A.
B.
C.
D.
101
101
100
100
3．（2015·福建高考）等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋⋯＋b10的值．
.
.
【考点突破】
考点一、数列的通项公式
【规律感悟】求通项的常用方法
（1）归纳猜想法：
已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．
（2）
已知S
与a
的关系，利用
S1，n＝1，
a＝
求a.
n
n
n
n
S
n－Sn－1，n≥2
（3）
累加法：
数列递推关系形如
a
n＋1＝
a
n＋（
），其中数列{（
）}前
n
项和可求，这种类型的数列求通项公式
fn
fn
时，常用累加法（叠加法）．
（4）累乘法：
数列递推关系如an＋1＝g（n）an，其中数列{g（n）}前n项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法（叠乘法）．
（5）
a
pa
q（p
q
）
a
q
p
an＋
q
1）
构造法：
①递推关系形如
n＋1
＝
n＋
为常数
可化为
n＋1＋
＝
（p
≠
的形式，利
，
p－1
p－1
用a＋
q
p为公比的等比数列求解．
是以
n
p－1
an＋1＝
pan
（p为非零常数）可化为
1
1
1
②递推关系形如
＝
an
－的形式．
an＋p
an＋1
p
1．（2015
·新课标Ⅱ高考）设
S
n是数列{
n}的前
n
项和，且
a
1＝－1，
n＋1＝
nn＋1，则
S
n＝____________．
a
a
SS
1
1
1
2．（2015
·铜陵模拟）数列{an}满足
3
a1＋
32a2＋⋯＋
3nan＝3n＋1，n∈N*，则an＝________．
5an－13
3．若数列{an}满足a1＝3，an＋1＝
，则a2015的值为________．
3an－7
.
.
考点二、数列的前n项和
【规律感悟】
1.分组求和的常见方法
（1）根据等差、等比数列分组．
（2）根据正号、负号分组．
（3）根据数列的周期性分组．
2．裂项后相消的规律
常用的拆项公式（其中n∈N*）
1
1
1
1
）＝
11
1
③（
1
1
1
1
①
（＋
）
＝－
＋
.
②
（
＋
k
n－
n＋k.
－
）（
2n
＋
）
＝（
－
－
＋
）．
n
n1
nn
1
n
n
k
2n1
1
22n
12n
1
3．错位相减法的关注点
（1）适用题型：
等差数列{an}乘以等比数列{bn}对应项（{an·bn}）型数列求和．
（2）步骤：
①求和时先乘以数列{bn}的公比．②把两个和的形式错位相减．③整理结果形式．
4．倒序求和。
命题角度一基本数列求和、分组求和
【典例1】（2015·湖北八校联考）等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，
b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
2
，n为奇数，
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn＝Sn设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.
bn，n为偶数，
命题角度二裂项相消法求和
.
.
【典例2】（2015·安徽高考）已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
（1）求数列{an}的通项公式；
an＋1
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
SnSn＋1
命题角度三错位相减法求和
【典例3】（2015·天津高考）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3
＝2a3，a5－3b2＝7.
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
[针对训练]
.
.
n2＋n
1．（2014·湖南高考）已知数列{
n}的前
n
项和
S
n＝
，
∈N*.
a
n
2
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝2an＋（－1）nan，求数列{bn}的前2n项和．
1n
2．（2015·山东高考）已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.
an·an＋12n＋1
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝（an＋1）·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
.考点三、数列的综合应用
【典例4】
（2015·陕西汉中质检）正项数列{a
}的前n项和S
2
2
＋n－1）S
2
＋n）＝0.
满足：
S
－（n
－（n
n
n
n
n
（1）求数列{an}的通项公式an；
.
.
（2）令bn＝
n＋1
5
，数列{bn}的前
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