届高三第一轮数学复习复数doc.docx
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届高三第一轮数学复习复数doc
复数
【基础知识】
一.复数的概念
内容
意义
备注
复数的
概念
形如a+仞（aWR»6ER）的数叫复数•共中实部为今虚部为。
若6=0,则a+ln为实数;
若a=0且IV则a・l）\
为纯虚数
复数
相等
a•bi=c+di<=>a=c且b=d
实部与实部、虚部与虚部对
应相等
共辄
复数
ci+bi与c4-d'\共牠
Ua=c且b=_d
（u,b.c、d€R）
实数的共牠复数是它本身
内容
意义
备注
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面•工轴叫实轴•，轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外•虚轴上的点都表示纯虚数•乞象限内的点都表示虚数
复数
设（龙对应的复数为z=a+h\.则向竝的氏度叫做复数N=a+bi的模
的模
Iz\=|a+〃i|=Ju1+G
二、复数的几何意义
1・复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点。
为起点的向量组成
的集合也是一对应的,即
（1）
（2）复数z=a+b\（a,bwR）■二ZlAt应*
平面向量
0Z.
复数z=a+b\^对应A复平面内的点Z（a,b）（a,Z?
eR）.
2・复数加、减法的几何意义
（1）复数加法的几何意义：
若复数zi,辺对应的向量0兀近不共线，则复数右+辺是以茗,堰为两邻
边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数.
（2）复数减法的几何意义：
复数z1-z2^OZ1-OZ2=Z2Z,所对应的复数.
三.复数的代数运算
1.复数的运算
（1）复数的加、减、乘、除运算法则
设z{=a+bi,z2=c+dl（a,b,c,dwR）,则
1加法：
Z]+z?
=（o+/?
i）+（c+di）=（d+c）+（/?
+d）i;
2减法:
Z]_z?
=（a+方i）_（c+di）=（a_c）+（b_〃）i;
③乘法：
Z]•2
r2=（a+bi）・（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i;
④除法：
三二
Z2
d+bi（a+bi）（c-di）cic+bd+（bc—小
==-=厂亠^（c+diHO）.
c+di（c+di）（c-di）c1+d〜
（2）复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何N1,G/丘C,有Z|+Z?
=Z2+Z|,（可+Z?
）+Z3=Z|+（Z?
+Z3）・
（3）复数乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意N1迈ZGC有召・
z1（z2+z3）=z1z2+zIz3.
2・常用结论
.1+i1-i
（1）（1土i）>±2i；IT?
i；市=-・
（2）-b+ai=i（a+bi）.
（3）i4w=1,i4n+,=i,严卄2=_i,严卄3=_i（nGnJ.
（4）（〃+j4“+i+f“+2+『卄3nJ・
（5）模的运算性质:
①|z|2=|z|2=z-z;②忖勾日引窗；@|^|
Z2~Z2*Z1XZi*Z2）'Z3=Zr（Z2*Z3）•
IZ|||22I
【知识运用】
考向一复数的有关概念
【答案】
【变式】1.若2=些，贝愎数〒=（）
A.—2—iB<—2+iC.2—/D.2+i
【例1】•复数z=匕2（i为虚数单位）的虚部为（
【答案】D【解析】==+z•故选D.
ii
2.已知复数z二（1+i）（・2+引）（i为虚数单位），则z的共觇复数乏=（）
A.1+iB.1-i
C.-5+iD.-5-i
【答案】D
【解析】因为z=（l+i）（—2+3i）=（—2—3）+（—2+3）i=—5+i,r.z=-5-i，故选D.
3・i是虚数单位，复数蛙等于（）
\-i
A.l+2iB.2+4iC.・1・2iD.2-i
【答案】A
考向二复数的几何意义
【例2】已知复数z满足z"（2-i）（i为虚数单位），则|z|等于
A.2B.V5C.5D.8
【答案】B
【解析】因为z“（2—i）=l+2i,所以忖=7471=75，故选B.
【变式】1复数z=|（V3-zj/|+r°,8（i为虚数单位），则忖=（）
A.2B.V3C.1D.V2
【答案】C【解析】z=|l+V3i|+i2016+2=2+i3=2-1=1
考点三象限问题
【例3】复数厶一严7在复平面内对应的点在
14-Z
A.
1-/•_13.
（l+z）（l-/）_Z-2~2Z
第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
倭数1:
厂
-严17在复平面内对应的点在第四象限故选D.
【变式】1、
若复数Z满足z（-l+2i）=|l+3汗（i为虚数单位），则复数Z的共觇复数〒为（）
【答案】D【解析】•••复数右4
A.-2-4iB.-2+4/C.4+2/D.4-2i
【答案】B【解析】由z（-1+2归1+3讦，得z=黑=（_鳥）：
〕2旷=亠组，
则复数Z的共觇复数〒为-2+4i.故选：
B.
2•在复平面内，复数可和Z2对应的点分别是A（2,l）和B（O,l）,则三=（）
Z2
A.—1—2/B.—l+2iC.1—2zD.l+2i
70-i-/
【答案】c【解析】由复数召和Z2对应的点分别是A（2,l）和B（O,1）得：
Z严2+i,S=i，故4=—=1-2/,-z2I
故选C.
3・若复数z满足z（2-z）=l+7z，则z=（）
A.a/5B.V10C.2V2D.2
【答案】B［解析】"穿冑嚮十R
考点四数的分类
【答案】c【解析】A.z（1+/）2=/（2z）=-2;B、
上心=-=-2；所以纯虚数的是C。
故选C。
ii
2+4/
關已知，是虚数单位，吐百廐的共嗨n在复平面内对应的点在（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A【解析】“帚-寻二字二警U一加=2+,,所期应点在第-象限
故选A
2・已知Z是纯虚数，若（G+i）・Z二引—1,则实数0的值为（）
A.1B.3C.-1D.-3
【答案】B【解析】由题意，设z=bi,beR/.（tz+z）-bi=3z-l，即abi-b=3z-l,
b=1•••{c，••・Q=3故选：
B
ab=3
B.1-i
C•-1+i
D.-1-i
【答案】D
ric-1（l+i）‘（l+i）~l+i~+2i•站汪c
【解析】才一^=才*（1+1）J/・（l+i）=_l_i，故选D.
（1一1）「（1一1）「l+r-2i
【变式】1复数z=-4t（i是虚数单位）的共觇复数乏=（）
2+r
A.2-iB.2+iC.-2-iD.-2+i
【答案】A【解析】由题可得：
z=-^-=2+z^z=2-z
2-i
【课堂练习】
1.若复数z满足（2-i）z=if其中i为虚数单位，则三=
12
【答案】-i-±z
2.已知复数z=严，其中，是虚数单位,则z的实部是
1-1
3.复数z=（1+20（3—0,其中i为虚数单位，则z的虚部为
【答案】5
【解析】因为z=（l+2/）（3-z）=5+5z-，所以z的虚部为5.
4•已知理*「为虚数单位‘若它为纯虚数‘则。
的值为——
2-i
§•已知'为虚数单位’则ITT——
2_J（2_i）（l_i）二l_3i
7+7-（l+z）（I-z）
6.若复数z满足®4i）z二4+犬则z|二
A.3-4i
B.-3+4i
【答案】1
【强化练习】
1•已知i为虚数单位,则复数上
1
2.已知复数z=i（4-3i2017）,则复数z的共觇复数为
C・4—3iD.-4-3i
3.复平面内，复数（1+的0'对应的点位于
A・第一象限B•第二象限
C.第三象限D.第四象限
4.已知复数z=土艺，则复数z的虚部为
4+71
65
47
65
47.
——1
65
A.第一象限
C.第三象限
6・下列命题中为真命题的是
A•实数不是复数
C.1+V3i不是纯虚数
B•第二象限
D.第四象限
B.3+i的共觇复数是-3-i
D.zz=z
5.如果复数z=sin&+icos&在复平面内对应的点位于第四象限，那么角&所在的象限是
7.已知z=/_i+（加2_3〃+2）i（応R,i为虚数单位），则"m=-V是"z为纯虚数"的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.若复数罕2
1-1
（i为虚数单位）为实数，则实数加等于
D•-2
C•-1
9•若i为虚数单位，z=,则|z|二
1+1
A.4
10•设为实数，若复数上呂=l+i，则
A•a=—,h=—
22
13
C.a=—,b=—D.a=l,b=3
22
a2-i
口・已知复数Z=o.+/的实部与虚部的和为2,则实数a的值为
2-15
C.2D.3
12•若复数Z|,Z2在复平面内的对应点关于实轴对称，召=2-i,则Z|3二
A.一5B.5
D.-4-i
13.已知i为虚数单位,则下列各式计算错误的是
A.i2017
1+i
=-i
1-i
14.若原命题为：
〃若％Z2为共觇复数，则Z|=zj,则该命题的逆命题.否命题、逆否命题真假性的判断依次
A真真真
C•假假真
D.假假假
aex
①妙=1;②万=1;③万"；
④刃+0'=2.
/有下列四个结论:
15•对于两个复数
其中正确的结论的个数为
16•
3-4i
5i
17•已知i为虚数单位，复数z=上却，则复数z的实部是・
1-1
1X
18•设xwR,i为虚数单位，且.+,gR,^ix=.
1+i1-i
19.若复数z严G+2i4=2+i（i是虚数单位），且卒2为纯虚数，则实数Q二.
■
20.已知复数z=（兀R）」是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数。
的取值范围是
【高考真题】
1.（2017年高考新课标I卷）下列各式的运算结果为纯虚数的是
A.i（l+i）2B.i2（l-i）
C・（1+i）2D.i（l+i）
2.（2017年高考新课标II卷）（1+i）（2+i）=
A.1-iB.l+3i
C.3+iD.3+3i
3•复平面内表示复数z=i（-2+i）的点位于
A・第一象限B・第二象限
C.第三象限D.第四象限
4.（2017年高考北京卷）若复数（l-i）（d+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数刁的取值范围是
C.（1z+oo）D.（-1f+oo）
5.（2016年高考新课标I卷）igd+2i）（6/+i）的实部与虚部相等，其中日为实数，则b二
A.-3B.-2
C.2D.3
6.（2016年高考新课标II卷）设复数z满足z+i=3-i，则：
二
A.一l+2iB.l-2i
C.3+2iD.3-2i
7.（2017年高考山东卷）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i,则才二
A.-2iB.2i
C・-2
8.（2017年高考江苏卷）已知复数"（1+i）d+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是.
9・（2017年高考浙江卷）已知a,bER,d+biF=3+4i（i是虚数单位）则/+b=,ab=.
•..ci—\
10•（2017年高考天津卷）已知兀R,i为虚数单位，若厂为实数，则d的值为
2+1
【强化练习参考答案】
■
1
=（1+1）^=-1+1=_.+1，故选b
—1
=2_2i二（2_2i）（l_i）=_4i
•l+i-（l+i）（l-i）~^2
z=2r故选C.
ai2-i_o（2+i）（2-i_（2d+2）（（a-l）i
I—I—I
2a+2d—1
1
55
B.
5「复数z=sin&+icos0在复平面内对应的点P（sin&,cos&）位于第四象限「J：
；：
》，二角&所在的象限
是第二象限.故选B.
【解析】逐一考查所给的选项：
对于选项A,实数是复数，原说法错误；
对于迭项B,3+i的共觇复数罡3-i,原说法错误;对于选项C,1+J5i不罡纯虚数，原说法正确；对于选项D,zT^z2,原谢去错误.
故选C.
7・当加=一1时，z=（-l）2-l+l（-l）2-3x（-l）+2Ji=&是纯虚数…••充分脱立，当
｛加2—1=0
/解得加=-1,・・・必要14成立，・••加=一1是Z为纯虚
加2—3加+2工0
数的充分必要条件，故选C.
11.=+——+——=-—
2-i5555
12・.•复数21,辺在复平面内的对应点关于实轴对称,Z|=2-i,.-.z2=2+i,则召•Z2=（2-i）（2+i）=2?
+卩=5.本题选择B选项.
13.【解析】i20,7=i504x4+1=i,（i+l）i=—1+i,M=£+?
£+?
=刍日,2+i=V47T=V5,l-i（l-i）（l+i）2
故选C.
14•【答案】C
15•【答案】
（1Q
3
1
3
1宀
<1）
—d1
+
1
=2
——+3x
——1
22丿
~2~
2
8
12丿
\/
/
、/
\/
=2,所以正确的结论的个数为3,选
【解析】a/3=[-丄+晅iY-
22
a3+0'
0…丽
4
C.
17•-1
19.因为z】Z2=（d+2i）（2+i）二（2a—2）+（4+a）i,其为纯虚数，所以2a-2=0t解得“1.故答案为1.
20.【答案】（0,+oo）
因为Z=
=—（d+i）i=l—历，所以由题意得—av0»>0,故应填（0,+oo）.
【高考真题】
1.c【解析】由（i+i）2=2i为纯虚数知选C・
2.B由题意（l+i）（2+i）=2+3i+『=l+3i,故选B.
3.cz=i（-2+i）=-1-2i”则表示复数z=i（-2+i）的点位于第三象限.所以选C.
5.（1+万）（a+i）=d—2+（1+2d）it由已知）得a—2=1+2a）解得a=—3,选A.
6・由z+i=3—i得z=3—2i,所以：
=3+2i,故选C・
7.由zi=l+i得⑵）2=（l+i）2，即一z2=2i，所以z2=-2i，故选A.
8.価|z|=|（l+i）（l+2i）|=卩+i||l+2i|二血x亦二你，故答案为・
9.5,2
丄C
5i为实数，则±—=0,。
=一2.
呻门Q—i（q—i）（2—i）（2a—1）—（a+2）i2a—1a+2io=
•2+i（2+i）（2-i）
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