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电力生产的数学建模问题

电力生产问题的数学模型

摘要

本文针对发电机厂每天在不同时间段用电需求量不同的情况下，根据给定不同型号不同数量的发电机，合理分配各台发电机在不同时间段的开启数量和运行功率，使得一天内总发电成本最小的问题，采用单目标非线性规划方法，建立所求问题的最优化模型，借助Lingo软件对模型进行求解，得到每日最小发电总成本。

对于问题—：

由已知条件可知发电总成本由固定成本、边际成本、启动成本组成，据此，我们确定了三个指标：

即固定成本总和、边际成本总和、启动成本总和。

总成本即为这三项成本总和。

每天分为七个时段，发电机共有四种型号，方案结果应该包括每个时段每种型号平均功率及该时段该型号发电机的数量，通过分析未知数与所给数据之间的关系来列出相应的约束条件，写出成本函数表达式，然后通过LINGO求出个时段各种型号发电机的实际发出的功率及所需要运行的台数，从而求出最小总成本1427810元。

对于问题二：

题目要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。

其他条件与第一问相同，因此，只需增加一个约束条件，即发电机机组所能发出的最大功率之和乘以80%后大于用电需求，所以可以按照问题—建立的模型，将其约束条件中每个时间段用电量的需求量提高25%，最终得出此情况下每天的最小成本为：

1829955元。

关键词：

单机输出功率使用数量总成本

1．问题重述

1.1问题背景

为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），可以选用四种不同类型的发电机。

每日电力需求如下表1。

表1：

每日用电需求（兆瓦）

时段（0-24）

0-6

6-9

9-12

12-14

14-18

18-22

22-24

需求

11000

33000

25000

36000

25000

30000

18000

为了便于观察每天的用量需求，将数据重新整理，转化为图1所示的图表。

图1各时间段的用电需求量

从图表中可以清晰的观察到每天用电需求变化，在第一阶段用电量需求处于低谷时段，第四阶段处于峰值时段，且用电量需求变化最大。

每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。

所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。

这些数据均列于表2中。

表2：

发电机情况

项目

型号

可用

数量

最小输出功率（MW）

最大输出功率（MW）

固定成本（元/小时）

每兆瓦边际成本（元/小时）

启动成本

型号1

800

1800

2200

2.7

5000

型号2

1000

1500

1800

2.2

1600

型号3

1200

2000

3800

1.8

2400

型号4

1800

3500

4800

3.8

1200

只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。

与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。

1.2需要解决的问题

问题

（1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？

问题

（2）如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。

那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？

2．模型假设

假设1：

发电机工作期间不发生任何故障。

假设2：

关闭和启动发电机时均是瞬时完成，不记相应使用的时间。

假设3：

发电机自身功率没有损耗。

假设4：

调整发电机功率没有成本。

假设5：

发电机生产的电量在传输过程中没有损耗。

3．符号说明

符号

符号说明

时段，取1、2、3、4、5、6、7

发电机型号，取1、2、3、4

第i时段型号j发电机使用数量

第i时段单个型号j的功率

发电机在第i时段的工作时间

型号j发电机的数量上限

第i时段所需要功率

第i时段所输出的最大功率，即1，25倍需求功率

第i时段所输出的实际功率

型号j发电机的最小输出功率

型号j发电机的最大输出功率

型号j发电机的固定成本

型号j发电机工作时的每兆瓦边际成本

每台型号j的启动成本

4.问题分析

此题研究的是电力生产中在满足每日电力需求的条件下，使每日的总成本达到最小的数学建模问题。

针对问题一：

从以下三方面来分析

（1）对已知条件的分析：

从已知的条件来看，本题将一天分为了七个时间段，在每一个时间段都有对应的电力需求量。

为了满足每日的电力需求，有四种型号的发电机可供使用，每种型号的发电机都已知其可用数量、最小输出功率、最大输出功率、固定成本、每兆瓦边际成本、启用成本。

要使总成本达到最小，则问题的目标函数就是总成本函数。

（2）对目标函数的分析：

总成本由三个指标组成，即每天四种型号发电机的固定总成本、每天四种型号发电机边际总成本、每天四种型号发电机启动总成本。

分别对每个指标进行分析。

每天四种型号发电机固定总成本为第i个时间段的时间、型号j发电机在第i个时间段的数量、型号j发电机每小时的固定成本这三者之积的总和。

每天四种型号发电机边际总成本为第i个时间段的时间、型号j发电机在第i个时间段超出此时间段最小总功率的功率、型号j发电机每兆瓦边际成本这三者之积的总和。

每天四种型号发电机启动总成本为型号j发电机启动数量和型号j发电机的启动成本之积的总和。

（3）对约束条件的分析：

对机型j发电机在第i个时间段总功率的约束有两个。

一是若机型j发电机在第i个时间段不使用，则机型j发电机在第i个时间段的总功率为零；若机型j发电机在第i个时间段使用，则机型j发电机在第i个时间段的总功率要满足大于等于单个机型j发电机的最小输出功率且小于等于全部机型j发电机最大输出功率之和；二是四种机型的发电机在第i个时间段生产的总功率要满足大于等于第i个时间段的用电量需求。

针对问题二：

题目要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，即发电机组在第i个时间段所能发出的最大总功率的要大于等于该时段的用电需求的1.25倍。

5.模型建立与求解

5.1问题一模型的建立与求解

该模型是为了解决电力生产中，在满足每日电力需求的条件下，用四类不同型号的发电机在一天的七个时段进行电力生产，使总成本达到最小的问题。

总成本由以下三项指标组成：

每天四种型号发电机固定总成本：

每天四种型号发电机边际总成本：

每天四种型号发电机启用总成本：

由于第1时段与后6时段开机情况不同，故要分开计算。

为了使总成本达到最小，我们建立了如下的目标函数：

（1）第i时段j型发电机投入的数量必须满足数量范围

其中

=1,2，···，7，

=1,2,3,4

（2）第i时段j型发电机单机功率必须在所产生功率范围内

其中

=1,2，···，7，

=1,2,3,4

（3）第i时段j型发电机个数必须是整数

其中

=1,2，···，7，

=1,2,3,4

（4）发电机产生的功率必须等于实际总功率

其中

=1,2，···，7，

=1,2,3,4

其中

=1,2，···，7，

=1,2,3,4

5.1.4模型一的求解

我们用Lingo软件求解这个模型，所得到的单机输出功率介于最小功率和最大功率之间，寻优后得到满足约束条件的最低总成本为1427810元。

根据Lingo软件计算得到的第i时段型号为j的几个发电机发出的总功率和第i时段型号为j的发电机的数量。

各个时段各种型号几个发电机发出的总功率及对应的发电机数量如下表一所示：

表3问题一最优化方案

段

时

量

数

号

型

型号1

型号2

型号3

型号4

单台输出功率

数量

单台输出功率

数量

单台输出功率

数量

单台输出功率

数量

0-6

1440

2000

1800

6-9

1800

1500

2000

1925

9-12

1500

2000

12-14

1800

1500

2000

2675

14-18

800

1280

2000

1800

18-22

1100

1500

2000

1800

22-24

900

1500

2000

1800

5.1问题二模型的建立与求解

根据问题一的模型，我们已经求出了在满足每日电力需求的条件下，用四类不同型号的发电机在一天的七个时段进行电力生产，使总成本达到最小，而问题二要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。

故在第一问的目标函数和约束条件保持不变的情况下，应再增加一个约束条件，即第i个时段发电机组所能输出地最大功率应大于第i个时段的用电需求量的1.25倍。

列出问题二的最优化模型如下：

其中

=1,2，···，7，

=1,2,3,4

模型的求解

将目标函数和约束条件用矩阵的形式表示出来，然后用LINGO软件求解，求解后得到满足约束条件的最小总成本为每天1829955元。

各个时段各种型号的发电机发出的平均功率和对应的数量见下表：

表4各时段各型号发电机输出功率及数量

段

时

量

数

号

型

型号1

型号2

型号3

型号4

单台输出功率

数量

单台输出功率

数量

单台输出功率

数量

单台输出功率

数量

0-6

1125

1500

2000

3500

6-9

1758

1800

2000

1800

9-12

800

1370

2000

1800

12-14

1800

1500

2000

2675

14-18

830

1800

2000

1800

18-22

1720

1500

2000

1800

22-24

1000

1500

2000

1800

6.结果分析

将表一、表二中的数据导入EXCLE中，利用EXCLE绘制两个问题的结果中发电机在每个时段的台数和功率的变化图。

图1、图2为在任何时刻，正在工作的发电机组正常运行情况下，某型发电机所需台数、发电总功率与时段的函数图。

图3、图4为在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量时的情况下，某型发电机所需台数、发电总功率与时段的函数图。

图1各时段各型号发电机台数安排

图2

图3

图4

结论一：

在模型一中，型号2和型号3的用量和工作时间段比较多，可以增加型号2和型号3的数量。

相较模型一，模型二中的小型号发电机的数量有所下降，而中型发电机的数量有所上升。

无论是在模型一，还是在模型二中，型号2的数量一直维持在比较稳定的状态。

为了保留一定的发电能力，同时又使电机的启动成本减小。

因此可以适当增加型号2的数量。

结论二：

在各个时段，型号3的输出功率一直处于最大输出功率状态。

在不同时段的用电需求越大，所需要的大功率型号的发电机的数量就越多，因为这样可以降低总成本。

7.模型的评价、改进及推广

7.1模型评价

优点:

（1）根据题目的要求我们确立了三个指标，即固定总成本、边际总

成本、启用总成本，以上三项总成本之和即为总成本，通过对

三项总成本的逐项分析，建立了最优的目标函数。

（2）简练直观,能以较少的语句较直观的方式对较大规模的数据进行描述,运行速度快,计算能力强.对于约束条件的建立，我们综合考虑了各种情况，达到了具体化.

（3）此模型中,整数约束和整数变量的个数少,非光滑约束的个数少.变量上下界的设定清晰,有利于程序的运行和计算。

（4）根据所建立的模型不仅能求解出最小总成本,还能求解出每一种机型在每日发电过程中所花费的成本,可以通过结果比较来对各种机型进行相应的调整和改进,对常用机型进行保养和准备更多的备用设备,有利于长远的规划.

缺点：

实际生活中,用电需求是呈现正态分布的,并且在该问题中没有考虑爬坡速率约束,发电机启停约束,传输容量限制,不同燃料成本等诸多其他因素,故得到的结果与实际情况存在一定的误差.

7.2模型改进

（1）考虑到设备长时间运行发热等会影响设备正常稳定工作,数据中还应列出发电机功率随时间变化曲线。

（2）本模型只给出了某一天供电需求,建议给出每日需求随季节和天气的变化规律,并求出更具普遍性结果。

7.3模型推广

（1）考虑到设备长时间运行发热等会影响设备正常稳定工作,数据中还应列出发电机功率随时间变化曲线和一直处于高功率运行的发电机的维修问题。

（2）本模型只给出了某一天供电需求,建议给出每日需求随季节和天气的变化规律,并求出更具普遍性结果。

（3）本模型只是单纯的解决了这一天发电的最小成本，没有考虑到第二天的发电机数量是在前一天最后一个时间段的基础上增加或减少某种机型的数量，往后以此循环，启动成本也将跟着以此循环，在此后成为稳定状态。

8.参考文献

[1]赵静，但琦，数学建模与数学实验，高等教育出版社，2008.

[2]朱得通.最优化模型与实验[M].上海：

同济大学出版社，2003

[3]谢金星.优化建模与LINDO/LINGO软件.北京：

清华大学出版社，2003

[4]刘来福，杨淳，黄海洋译.数学建模方法与分析.北京：

械工业出版社，2007，43—89.

[5]吴礼斌，李柏年.数学实验与建模.北京：

国防工业出版社，2007.

附录：

模型一所用程序

model:

sets:

time/1..7/:

need_p,t;

type/1..4/:

max_num,max_p,min_p,cost_f,cost_m,cost_s;

links（time,type）:

p_type,type_num;

endsets

data:

need_p=11000330002500036000250003000018000;

t=6332442;max_num=10584;

min_p=800100012001800;

max_p=1800150020003500;

cost_f=2200180038004800;

cost_m=2.72.21.83.8;

cost_s=5000160024001200;

enddata

@for（links（i,j）:

type_num（i,j）>=0）;

@for（links（i,j）:

type_num（i,j）<=max_num（j））;

@for（links（i,j）:

p_type（i,j）>=min_p（j））;

@for（links（i,j）:

p_type（i,j）<=max_p（j））;

@for（links（i,j）:

@gin（type_num（i,j）））;

@for（time（i）:

need_p（i）=@sum（type（j）:

p_type（i,j）*type_num（i,j）））;

min=@sum（time（i）:

@sum（type（j）:

（（cost_f（j）+（p_type（i,j）-min_p（j））*cost_m（j））*type_num（i,j）*t（i））））

+@sum（time（i）:

@if（i#ge#2,@sum（type（j）:

（cost_s（j）*@if（type_num（i,j）#ge#type_num（i-1,j）,type_num（i,j）-type_num（i-1,j）,0）））,@sum（type（j）:

type_num（1,j）*cost_s（j））））;

模型一结果

Localoptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

1427810.

Objectivebound:

1427810.

Infeasibilities:

0.000000

Extendedsolversteps:

Totalsolveriterations:

70650

VariableValue

NEED_P

（1）11000.00

NEED_P

（2）33000.00

NEED_P（3）25000.00

NEED_P（4）36000.00

NEED_P（5）25000.00

NEED_P（6）30000.00

NEED_P（7）18000.00

（1）6.000000

（2）3.000000

T（3）3.000000

T（4）2.000000

T（5）4.000000

T（6）4.000000

T（7）2.000000

MAX_NUM

（1）10.00000

MAX_NUM

（2）5.000000

MAX_NUM（3）8.000000

MAX_NUM（4）4.000000

MAX_P

（1）1800.000

MAX_P

（2）1500.000

MAX_P（3）2000.000

MAX_P（4）3500.000

MIN_P

（1）800.0000

MIN_P

（2）1000.000

MIN_P（3）1200.000

MIN_P（4）1800.000

COST_F

（1）2200.000

COST_F

（2）1800.000

COST_F（3）3800.000

COST_F（4）4800.000

COST_M

（1）2.700000

COST_M

（2）2.200000

COST_M（3）1.800000

COST_M（4）3.800000

COST_S

（1）5000.000

COST_S

（2）1600.000

COST_S（3）2400.000

COST_S（4）1200.000

P_TYPE（1,1）856.5174

P_TYPE（1,2）1440.000

P_TYPE（1,3）2000.000

P_TYPE（1,4）1800.000

P_TYPE（2,1）1800.000

P_TYPE（2,2）1500.000

P_TYPE（2,3）2000.000

P_TYPE（2,4）1925.000

P_TYPE（3,1）1500.000

P_TYPE（3,2）1500.000

P_TYPE（3,3）2000.000

P_TYPE（3,4）1860.062

P_TYPE（4,1）1800.000

P_TYPE（4,2）1500.000

P_TYPE（4,3）2000.000

P_TYPE（4,4）2675.000

P_TYPE（5,1）800.0000

P_TYPE（5,2）1280.000

P_TYPE（5,3）2000.000

P_TYPE（5,4）1800.000

P_TYPE（6,1）1100.000

P_TYPE（6,2）1500.000

P_TYPE（6,3）2000.000

P_TYPE（6,4）1800.000

P_TYPE（7,1）900.0000

P_TYPE（7,2）1500.000

P_TYPE（7,3）2000.000

P_TYPE（7,4）1800.000

TYPE_NUM（1,1）0.000000

TYPE_NUM（1,2）5.000000

TYPE_NUM（1,3）1.000000

TYPE_NUM（1,4）1.000000

TYPE_NUM（2,1）1.000000

TYPE_NUM（2,2）5.000000

TYPE_NUM（2,3）8.000000

TYPE_NUM（2,4）4.000000

TYPE_NUM（3,1）1.000000

TYPE_NUM（3,2）5.000000

TYPE_NUM（3,3）8.000000

TYPE_NUM（3,4）0.000000

TYPE_NUM（4,1）1.000000

TYPE_NUM（4,2）5.000000

TYPE_NUM（4,3）8.000000

TYPE_NUM（4,4）4.000000

TYPE_NUM（5,1）1.000000

TYPE_NUM（5,2）5.000000

TYPE_NUM（5,3）8.000000

TYPE_NUM（5,4）1.000000

TYPE_NUM（6,1）1.000000

TYPE_NUM（6,2）5.000000

TYPE_NUM（6,3）8.000000

TYPE_NUM（6,4）3.000000

TYPE_NUM（7,1）1.000000

TYPE_NUM（7,2）5.000000

TYPE_NUM（7,3）3.000000

TYPE_NUM（7,4）2.000000

RowSlackorSurplus

10.000000

25.000000

31.000000

41.000000

51.000000

65.000000

78.000000

84.000000

91.000000

105.000000

118.000000

120.000000

131.000000

145.000000

158.000000

164.000000

171.000000

185.000000

198.000000

201.000000

211.000000

225.000000

238.000000

243.000000

251.000000

265.000000

273.000000

282.000000

2910.00000

300.000000

317.000000

323.000000

339.000000

340.000000

350.000000

360.000000

379.000000

380.000000

390.000000

404.000000

419.000000

420.000000

430.000000

440.000000

459.000000

460.000000

470.000000

483.0

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