分类讨论数学思想方法在高考试题中应用的研究.docx

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分类讨论数学思想方法在高考试题中应用的研究

摘要

数学是一门抽象性学科，比较考验人们的逻辑思维及其创造性分析能力，而且数学思维发散的过程是极具趣味性的，通过对数字、空间、结构等符号信息的观察，转化为大脑认知结构中已有的知识符号，进而对其解读，形成新的思维认知。

尤其是对于高中数学来说，其高中数学开设的本质在于承上启下，既体现了义务教育中数学学习的成果，又是学生未来为适应大学高等数学学习的良好基础。

但客观上，枯燥无味的学习过程，逻辑性要求较高的数学学习，课程量大节奏快再加上题型多变等原因，高中生会在解题陷入某些数学障碍中，无法突破学习障碍，会产生抵触数学的心理，恐惧高考，甚至会影响接下来大学高数的学习。

如何在数学高考中取得成绩？

如何提高数学学习效率及兴趣？

怎样减轻学生刷题负担？

……一系列在学生实践中产生的问题都说明了，只有在学生掌握正确且清晰解题方法的情况下，才能保障在数学学科学习中能够取得应有的效果。

虽然当下“学生减负”口号响亮，但如何在减负中提高学生学习质量这一问题还需要任课教师更多的研究与思考。

因此本文根据高中生数学学习现状，研究了一种数学思想方法——分类讨论，并将其应用在学生解题与教师教学中，整体分为以下四个部分：

第一部分基于高考试题及高中生数学学习现状，提出应用数学思想方法提高解题效率及其意义。

第二部分将重点探讨数学思维方法，并着重分析分类讨论法在高考数学中的有效运用。

第三部分探究分类讨论适用于哪些题型及应用此方法将会对于提高解题效率和准确性带来的良好效果。

第四部分重点论述了针对高考，分类讨论教师如何在高中数学教学中的运用与应用意义。

关键词：

数学思想方法分类讨论高考试题教学研究

第一章前言

1.1研究背景

1.1.1落实新课程改革标准的需要

通过分析和了解新课改中的内容，可以发现课改中明确指出对学生从“双基”到“四基”“从双能”到“四能”的培养。

四基主要在双基的基础上增加了两项基本内容，分别是基本经验和基本思想。

而又在这两者之间，对于基本思想有更为详细具体的实施要求，因此师生对数学基本思想的学习势在必行。

1.1.2满足实践中提高学生学习效率及成绩的需要

通过分析高中生数学学习现状不难发现，大多数学生学习方法仍停留在“题海战术”阶段。

然而，高中数学课程繁多且难度较大较为抽象，盲目的刷题而忽略对题目背后所渗透的数学思想方法的思考会导致成绩无法提高甚至厌学这一现状的出现。

因此，为了提高学生学习效率，掌握数学思想方法是不可或缺的一部分。

1.1.3提升教师课堂教学质量和满足方法教学的需要

当前，随着我国课程标准不断改革与深入，高中数学教学已不再拘泥于讲授课本知识，更重视培养学生在学习过程中掌握一些数学思想方法与经验，更重要的是高中生在课堂上所学到的思想方法在现实生活中得到潜移默化的应用。

因此，提高课堂教学有效性的策略优化能提升课堂教学质量和学生的学习成就的需要，在实际的教学过程中，注重对数学思想方法的培养，真正意义上提高教学质量以提高学生的数学思维与学习能力，在学习过程中掌握学习方法，完善自我。

1.2研究目的及意义

1.2.1研究目的

分类讨论这一数学思想方法的培养有利于高中生掌握进一步学习所需的数学抽象思维、技能、思想与方法。

通过对高中生进行数学思想思维活动训练，进而促使高中生能够运用所学数学知识及其语言准备表达对于世界的认知，以此提高学生思维活跃程度，注重创新意识培养，引导学生探寻解决问题的方法以增强其社会责任感。

1.2.2意义

（1）对于高中生的意义

①在2004年新课改中，由“两基两能”变成“四基四能”。

数学思想方法与这一思想契合，提高掌握数学思想方法以达到提高基本经验与基本思想的目的。

②结合当前高中数学学习现状及高考试题形势，通过分类讨论数学思想方法的学习将题型归类，在解题中做到举一反三以解决高中数学题型繁杂且多变的现状。

（2）对于教师的意义

①教学中，应用分类讨论数学思想及分类讨论思想，使得课堂讲授中，师生思维更加清晰以提高课堂效率。

②重视学生数学思想方法的培养，能提高学生的学习能力，增强教学效果，从达到实现特定的教学目标;

③不仅能培养学生的数学思维和抽象思维水平使得学生在高考中取得成绩，还有助于教师专业成长。

第二章数学思想方法及分类讨论

2.1数学思想方法的内容与意义

2.1.1数学思想方法的具体内容

数学思想方法所囊括的内容繁多，种种成功的数学思想都是相关研究学者凭借经验及努力总结的成果。

“思想”是人大脑中主观意识的一种体现，“数学思想”则是建立在理性认识基础上，对于数学有着统一的行为认识；“方法”则是人们在解决事物过程中，所应用到具体方式、工具等手段，所以数学方法便是针对数学问题而言的。

2.1.2数学思想方法应用的重要意义

数学思想的形成与应用对于高中生来说有着非常重要的作用，具体体现在如下三个方面：

（1）掌握数学理论及其原理，可以让学生更容易学好数学。

据心理研究表明“基于人们已有的认知结构及其发展水平，在学习新东西时，会在原有认知结构中涵盖并解读新的知识，进而建立新的认知体系，这也可以称作下位学习。

”下位学习具体是指，学生已经掌握一定的数学方法、思想以及知识，高阶数学的学习需要以此为基础，有序开展。

其下位学习的特性在于“能够更好地吸收新知识，巩固旧知识，赋予新知识新的意义，使其能够较好地储备于自己地大脑体系中，”当学生掌握了数学思想及其方法地运用，便可以加强对数学内容地理解。

（2）可以较好将地将知识运用于对应地题型中。

教育学家布鲁纳曾说：

“如果不能把一件件事物装订再特定地模块中，那么将会很快被遗忘。

”可想而知，数学思想对于学生学习数学来说是多么重要。

对于高中生，无论将来投身于什么行业，如果能够将数学思想深深地刻印在脑海中，便能帮助自己解决很多问题。

另一方面，高中数学题型繁杂其题量极大，高中生在有效的时间内不可能将所有题型统统做完，因此掌握数学思想方法将题型分类与整理进而达到举一反三的效果显得尤为重要。

（3）强调思想和方法的学习，在一定程度上可以缩减初等数学与高等数学的差距。

当下初等数学与高等数学二者之间的关联性明显不足，尤其是在义务教育课本中，以中学数学为例，初中数学课本中有很多知识点是不会同步于高中数学课本中，而是在其基础上，又为其赋予了新的意义，而高中数学课本中却有着与中学数学能够发生密切联系的内容。

所以，数学思想方法的形成与应用是可以很好架起数学基础与高阶数学之间联系的，可以让学生更加轻松的学好数学。

接下来，本文将重点针对分类讨论法进行剖析。

2.2分类讨论内容与分类原则

2.2.1分类讨论数学思想方法

所谓的分类讨论法，顾名思义，将其具有同类性质的问题进行划分，比如根据公式定理、概念性质、图形等等加以归纳区分，进而得到问题答案。

简单来说，这便是一种复杂问题简单化的思维策略。

一般而言，分类讨论分析中，涵盖的数学知识点比较多，而且形式较为复杂，更加考验学生综合知识运用能力，考察学生对于数学知识掌握是否全面。

当分类讨论法运用到数学实际问题中，应该对分类规则要有一个科学把握，能够清晰的理解分类的原理，掌握分类技巧，分析分类要素，同时不应遗漏任何分类知识带你，考虑问题要全面，只有抓住主要影响因素，确定相关的变化条件和范围，把握要素的发展方向，才能够根据不同的情况进行合理的分类讨论进而有效解决数学问题。

在运用分类讨论法的过程中，高中生一定要有清晰的分类认知，构建更为完善的分类体系，以便更科学、合理的实现对分类知识点的整理，分类讨论法如果运用得当，将会帮助学生更加高效的学习数学知识。

要知道高中数学教材中内容普遍偏抽象，更难以理解，学生需要具备较强的逻辑思维整合能力才可以更好的汲取知识，教学质量也可得到显著提升。

另外，在借助该思想方法实施的基础中，能够促使学生更加高效的解决数学知识，分析数学问题，由此提高解题效率，进一步增强学生知识理解与运用能力，尤其是对于即将面临高考的学生来说，更是一种有效举措。

2.2.2分类讨论方法的原则

在数学问题分析与得到解决的过程中，分类讨论法的应用往往不是学生主观意识形成的，而是受题目支配被动进行。

因此，为了让学生更加合理的主动应用分类讨论法。

将列举如下四种分类原则：

（1）同一性原则：

指的是分类有统一的参考标准，也就是说同一次分类应用中，不能有2个及以上的标准。

（2）互斥性原则：

分类后各子情况之间的交集是空集，即做到分类后各个子情况之间相互不容，任何一个元素都只能存在于一个子情况中。

（3）相称性原则：

要确保相称，不能有任何子项遗漏于问题集合中。

（4）层次性原则：

主要包含两种，分别为一次分类和多次分类，一次分类很好理解，不多做阐述，多次分类指的是在一次分类基础上，再将所有子项进行划分，并做出讨论，直到相关条件得以满足。

2.3分类讨论在高考数学解题中的应用

分类讨论法在高中数学的解题过程中得到了广泛应用，下面从四个方面介绍高考试题中的相关典型例题，体会该方法应用于解题过程带来的便利与其内在数学逻辑思维。

例1（2015理全国卷二17）：

设函数f（x）=2|x+1|-|x-1|,求使f（x）≥2√2的取值范围。

本题考察复合函数的单调性、不等式的性质及其解法，考察了分类讨论的能力。

对于一次函数y=kx+b，其单调性由k的正负决定。

此题k的正负受绝对值影响，故需根据绝对值的定义对绝对值进行分类讨论以脱掉绝对值。

已知指数函数y=2x（由于a=2>1）是增函数，故f（x）≥2√2可等价于不等式|x+1|-|x-1|≥3/2；

（1）当x≥1时，|x+1|-|x-1|=2，不等式恒成立。

（2）当-1

（3）当x≤-1时，|x+1|-|x-1|=-2，误解。

综上所述，x的取值范围是x≥3/4。

例2：

解关于x的不等式loga（x+3）>1

在上述不等式解题过程中，应该结合基本的对数函数y=logax予以考虑，分析其单调性，这里可以将上述对数不等式带入该基本对数函数中，可以看出该不等式的单调性主要源于a值，所以针对a满足的条件予以分析。

原不等式可转化为loga（x+3）>logaa

当a>1，原不等式等价于x+3>a解得x>a-3

当0

综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>a-3}

当0

例3（2013理全国卷一14）：

已知数列{an}的前n项和Sn=2/3an+1/3，求{an}的通项公式

这种题目类型在数学高考中出现次数较多，首先清楚Sn的定义，即Sn=a1+a2+a3+...+an-1+an；其次要能够清晰的判断出an与Sn符合什么关系:

当n=1时,an=Sn，当n≥2时,an=Sn-Sn-1。

因此，此题在解答过程中需要对n的取值进行讨论并应用an与Sn的关系。

当n=1时，a1=S1=2/3a1+1/3，解得a1=1

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2/3an+1/3）-（2/3an-1+1/3），即an=-2an-1。

所以{an}是首项为1，公比为-2的等比数列。

故an=（-2）n-1

例4（2010文全国卷一15）：

某学校开设三门A类选修课，四门B类选修课，一位同学要从中共选三门，要求两类课程中各至少选一门，共有多少种不同的选法？

（用数字作答）

排列组合可以说历届高考中必考的一类题型，出现次数较多，而这类型题目往往有多种解题思路，学生在做题时，可以选择更为简便的方法，这样才能准确把握题意，避免出现遗漏等情况，本题应用分类讨论的方法，给出解决这个问题的一个有效方法。

由题意，可分为以下两种情况：

（1）假设该同学A类只选择一个，那么B类肯定得选两个，则选择方法便有C13C24种；

（2）假设该同学A类选择两个，那么B类则只能选一个，则选择方法便有C23C14种；

结合上述分析，将其结果相加，选择方式共有C23C14+C13C24=18+12=30种。

例5（2012理全国卷二20）：

设函数f（x）=ax+cosx，0≤x≤π

（1）讨论f（x）单调性；

该题重点在于探a值，参数取值变化将会影响结果，因此，重点对参数a展开分类探讨。

同时，该题考察导数的正负影响单调性这一在高考中必考的考点。

f,（x）=a+sinx，0≤x≤π；当0≤x≤π时，0≤sinx≤1；

（1）当a≥0时，f,（x）=a+sinx≥0，0≤x≤π恒成立，f（x）=ax+cosx在0≤x≤π恒单调递增。

（2）当-1

故f（x）=ax+cosx在x1≤x≤x2单调递增，在0≤x

（3）当a≤-1时，f,（x）=a+sinx≤0，0≤x≤π恒成立，故f（x）=ax+cosx在0≤x≤π单调递减。

第三章分类讨论适用题型及意义

3.1适合应用分类讨论的数学题型

3.1.1高中数学适合此方法的几类题型

高中数学中，经常会使用到分类方法来作为题目探讨得对象，其情形有如下四种：

（1）根据概念意义划分，可以将函数归纳为绝对值函数、指数对数函数等等。

（2）根据参数值不同而进行得分类划分，参数取值范围不同，将会造成不同得结果或是不一样得解题思路，将结合实际问题情境，参与参数值取值讨论，最终得出最为准确的答案。

（3）根据相关公式所包含的条件类型不同，将其实施分类，如极限值计算、等比树立等等。

（4）根据理论的实际含义进行划分，一般在概率问题中、排列组合问题中使用得比较多。

3.2应用分类讨论的优点与意义

3.2.1培养数学思维，提高数学素养

思维是数学思想得一种重要体现，数学思想得展开都是围绕思维活动进行得，对此，应该将思维纳入思想方法探讨中来，尤其是在分类讨论法得运用中，更是需要借助大脑思维活动来解决实际问题，学生可以在这一过程中学会分类讨论，培养数学思维并提高数学素养。

3.2.2切实做到高效解题，提高学生数学成绩

高考数学中考试时间有限且题型多变，因此如何高效解题成为了提高成绩的关键。

针对适用题型，此方法的运用会能使错综复杂的问题变的简单，解题思路变的清晰，步骤变的明了以完美的呈现在答题卡中，提高高考数学成绩。

第四章针对高考分类讨论思想的教学研究

4.1高中数学教学现状

4.1.1高中数学教学现阶段存在问题

现阶段，高中数学教学效果并不十分理想，还存在较多问题有待解决。

例如，在教学中，忽视学生主体地位，促使学生主观能动性难以发挥，不利于学生自学能力得形成及思维得发散。

教师疏忽必要引导；不能有效培养数学学习兴趣而导致对学生的学习信心与积极性产生消极影响等等。

作为高中数学教师，如果只是按部就班开展教学不重视数学思想的培养，学生容易在枯燥的教学中失去学习兴趣，导致教学实践失去平衡。

在这种情况下，数学思想方法在高中数学教学中的应用显得更为重要。

只有在课堂中融入数学思想方法，以锻炼学生独立思考能力，培养学生数学思维，提高数学素质方能在根本上解决此类问题。

4.1.2高中数学教学问题的解决

在高考竞争日益激烈的教学环境下，如何高效教学是需要探究的主要问题。

高中数学知识点相对较为枯燥且学习强度日益增大，此外数学学科不容易与生活实际产生直接联系，没有正确的学习方法是很难取得优异成绩的。

因此必须在高中数学教学中融入数学思想方法，培养出新课标下具有独立思考和学习能力的高素质人才。

分类讨论作为一种重要的数学思想方法，不仅在学生解题过程中提供科学的解题思路，亦在高中数学教学研究及教育理念中得到广泛应用，对提高教学质量起推动性作用。

4.2课堂教学中如何应用分类讨论

4.2.1逐步逐年渗透分类思维，培养分类意识

高中学生如果能吃透分类讨论法，掌握其指导思想，便能促进高中生解题效率提升。

因为该方法注重考量学生的实际综合思维运用能力，及其创造性思维发挥，在教学过程中，教师将分类讨论法有效渗透于解题过程中，有助于帮助学生真正意义上理解分类思维，加强分类思维认知，不仅能够提高学生解题能力，同时还能进一步促进学生数学素养得以提升。

对此，高中数学教师自身应树立分类意识，认可分类讨论法在教学中的作用，并采取科学、有效的举措落实到数学实际应用中。

4.2.2教学中注重分类思想，增强思维缜密性

高中数学问题解题过程中，经常出现“分情况”讨论的解题现象，分类讨论思想便能很好的让学生从多角度构建问题分析，以此提高学生逻辑思维缜密行。

通过应用分类讨论数学思想方法，可以提升教学的针对性和时效性，有效解决教学中存在的问题。

4.2.3引导学生分类讨论，提高有效解题的能力

目前，高中数学题目较为复杂，要求学生具备严谨的逻辑将题目各种情况考虑全面，做到不重不漏，然后针对每一种子情况进行求解，最后将条件与结果进行整合，使得解题思路与题目结果清晰明了展现在答题卡中，提高有效解题的能力。

4.3教学中应用此方法的意义与价值

4.3.1切实实施素质教育，培养学生创新精神与探索精神

在实际教学过程中，数学教师为帮助学生树立分类讨论思想认知，可以将其渗透于教学中的方方面面，逐步增加学生对该方法的使用频率，从而潜移默化中使得学生对数学学习越来越感兴趣。

因此数学教师在对具体内容实施备课的过程中，可以将其作为重点教学，这不仅符合素质教育要求，还有利于培养学生的创新精神与探索精神。

第五章结语

5.1课题研究的结论和存在的问题

5.1.1研究结论

（1）针对数学教师及准教师：

①教学中，应该更加有针对性的训练学生数学思维能力，提高教学效果。

②教师对学生的解题方法和要有充分的了解和合理的判断，教学方法是否对学生的未来发展起到基石作用。

③教师教学中要注意概念及定理的深刻与全面认识，让学生体会到分类思考和讨论的必要性。

（2）针对高中学生：

①能够培养数学理性思维，提高思维的缜密性。

②增强学习兴趣，更乐于探索题目背后渗透的数学思想，积极应用于日后解题过程中，达到有效解题的目的。

③减轻学习压力，提高学习成绩。

通过数学思想方法的训练，掌握正确的学习方法，提高学习效率，在减轻学习压力的同时提高高考数学成绩。

5.1.2研究存在的局限性问题

回顾前文论述，还存在着许多的不足

（1）研究方法较为单一，本文只采用了文献综述法和案例分析法，这导致了缺乏一定的数据调查分析来支撑论点论据。

（2）研究内容不够全面，本文只重点关注了数学思想方法中的分类讨论，而没有太过关注其他数学思想方法在高中数学中的应用。

（3）研究建议不够成熟，案例分析缺乏一定的代表性，得出的结论可能也较为片面，因此给出的课堂教学中的应用建议不够成熟和完善。

5.1.3对今后研究的期望

（1）研究方法多样化，例如访谈法、实验法、问卷调查法等，能够更加全面的了解学生数学解题过程中出现的问题，教师课堂教学时存在的不足。

（2）扩宽研究对象，能得到更科学准确的结果，使论据更有代表性和说服力。

（3）丰富充实自身的教育教学理论，重视实践教学经验，提出更科学的建议和策略，争取得到适应面更广、推广性更强的结论。

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