“点差法”的应用(高考数学专题复习)资料下载.pdf

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2222121202xxyy，1212121202xxyyyyxx.又121212122,2,2yyxxxyyyxx，40xy.弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为40xy（在已知椭圆内）.例2直线:

50laxya（a是参数）与抛物线2:

1fyx的相交弦是AB，则弦AB的中点轨迹方程是.解设1122,AxyBxy、，AB中点,Mxy，则122xxx.:

150laxy，l过定点1,5N，51ABMNykkx.又2111yx，

（1）2221yx，

（2）12得：

2212121212112yyxxxxxx，1212122AByykxxxx.于是5221yxx，即227yx.弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为227yx（在已知抛物线内）.2求曲线方程例3已知ABC的三个顶点都在抛物线232yx上，其中2,8A，且ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.解由已知抛物线方程得8,0G.设BC的中点为00,Mxy，则AGM、三点共线，且2AGGM，G分AM所成比为2，于是002281282012xy，解得00114xy，11,4M.设1122,BxyCxy，则128yy.又21132yx，

（1）22232yx，

（2）12得：

22121232yyxx，121212323248BCyykxxyy.BC所在直线方程为4411yx，即4400xy.例4已知椭圆222210xyabab的一条准线方程是1x，有一条倾斜角为4的直线交椭圆于AB、两点，若AB的中点为11,24C，求椭圆方程.解设1122,AxyBxy、，则121211,2xxyy，且2211221xyab，

（1）2222221xyab，

（2）12得：

2222121222xxyyab，221212221212112bxxyybxxayya，21221221AByybkxxa，222ab，（3）又21ac，2ac，（4）而222abc，（5）由（3），（4），（5）可得2211,24ab，所求椭圆方程为2211124xy.3求直线的斜率例5已知椭圆221259xy上不同的三点11229,4,5AxyBCxy与焦点4,0F的距离成等差数列.

（1）求证：

128xx；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.

（1）证略.

（2）解128xx，设线段AC的中点为04,Dy.又AC、在椭圆上，22111259xy，

（1）22221259xy，

（2）12得：

22221212259xxyy，1212121200998362525225xxyyxxyyyy.直线DT的斜率02536DTyk，直线DT的方程为0025436yyyx.令0y，得6425x，即64,025T，直线BT的斜率9055644425k.4确定参数的范围例6若抛物线2:

Cyx上存在不同的两点关于直线:

3lymx对称，求实数m的取值范围.解当0m时，显然满足.当0m时，设抛物线C上关于直线:

3lymx对称的两点分别为1122,PxyQxy、，且PQ的中点为00,Mxy，则211yx，

（1）222yx，

（2）12得：

221212yyxx，1212120112PQyykxxyyy，又1PQkm，02my.中点00,Mxy在直线:

3lymx上，003ymx，于是052x.中点在抛物线2yx区域内M200yx，即2522m，解得1010m.综上可知，所求实数m的取值范围是10,10.5证明定值问题例7已知AB是椭圆222210xyabab不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中心.求证：

直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明设1122,AxyBxy且12xx，则2211221xyab，

（1）2222221xyab，

（2）12得：

2222121222xxyyab，2121221212bxxyyxxayy，2121221212ABbxxyykxxayy.又1212OPyykxx，221ABOPbkka，22ABOPbkka（定值）.6处理存在性问题例8已知双曲线22112xy，过1,1B能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；

如果不存在，说明理由.解假设这样的直线存在，设,PQ的坐标分别为1122,xyxy，则122xx，122yy，又2211112xy，

（1）2222112xy，

（2）12得：

12121212102xxxxyyyy，121220xxyyPQ的斜率12122yykxx又直线l过,PQB三点，l的方程为121yx，即21yx.但若将21yx代入22112xy整理得方程22430xx，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.7其它。

看上去不是中点弦问题，但与之有关，也可应用。

例9，过抛物线）0（22ppxy上一定点P（xy00,）（y00），作两条直线分别交抛物线于A（xy11,），B（22,yx）

（1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F的距离；

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求021yyy的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.解答从略