北京市人大附中届高三2月内部特供卷理科数学(二)Word版含答案.docx
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届高三2月份内部特供卷
高三理科数学
（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
p1pp1p1B．+1C．+D．++6312123436．世界数学名题“3x+1问题”：
任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：
反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的N=5，则输出i=（）
封
座位号
A．
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）考场号准考证号
装
订
不
密
A．1-
p4
B．
p-12
C．2-）
p2
D．
p4
A．3
B．5
C．6
D．7
132．已知复数z=--i，则z+|z|=（2213A．--i2213B．-+i22
只
7．已知函数f（x）=Asin（wx+j）（A>0,w>0,|f| g（x）=Acos（wx+j）图象的一个对称中心可能为（）
卷
13C．+i22
13D．-i22
姓名
p1p3．若cos（a+）=，aÎ（0,），则sina的值为（432）D．
23
此
A．
4-26
B．
4+26
C．
718
A．（-2,0））
B．（1,0）
C．（10,0））
D．（14,0）
4．集合A={x|x2-1>0}，B={y|y=3x,xÎR}，则AIB=（班级A．（-¥,-1）B．（-¥,-1]C．（1,+¥）
D．[1,+¥））
8．函数y=esinx（-p≤x≤p）的大致图象为（（x-2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范
围是A．B．
．
C．
D．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设Sn为数列{an}的前n项和，且a1=1，nan+1=（n+2）Sn+n（n+1），nÎN*．
（1）证明：
数列{Sn+1}为等比数列；
n
9．已知点A，B，若四面体ABCDC，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，的体积为A．
25p4
23，球心O恰好在棱DA上，则这个球的表面积为（3）
B．4p
C．8p
D．16p
（2）求Tn=S1+S2+L+Sn．
10．F为双曲线
x2y2四边形OFMN-=1（a>0,b>0）右焦点，M，N为双曲线上的点，a2b2）18．如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB=2a，ÐABC=120°，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE//BF，BD^DE，DE=2BF=22a，平面BDEF^底面ABCD．
为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（A．2B．22C．2D．3
ìx-y+k≥0ï11．已知不等式组í3x-y-6≤0表示的平面区域恰好被圆C:
（x-3）2+（y-3）2=r2所覆ïx+y+6≥0î
盖，则实数k的值是（）A．3B．4C．5D．6）
12．已知x0是方程2x2e2x+lnx=0的实根，则关于实数x0的判断正确的是（A．x0≥ln2B．x0<
1e
C．2x0+lnx0=0
D．2ex0+lnx0=0
（1）证明：
平面AEF^平面AFC；
（2）求二面角E-AC-F的余弦值．
第Ⅱ卷
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分．13．（x+1）
（x-1）5展开式中含x3项的系数为．（用数字表示）19．为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与，志愿者的工作内容有两项：
①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物，每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：
14．已知a=（1,l），b=（2,1），若向量2a+b与c=（8,6）共线，则a在b方向上的投影为．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB+btanA=-2ctanB，且a=8，△ABC的面积为43，则b+c的值为．
16．如图所示，点F是抛物线y2=8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2=8x及圆
（1）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？
（2）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X的分布列及其数学期望．1418+2≥．a+1b+17
2
x2y24020．已知椭圆C:
2+2=1（a>b>0）的长轴长为6，且椭圆C与圆M:
（x-2）2+y2=ab9
的公共弦长为
410．3
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（0,2）作斜率为k（k>0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）=
ex-a（x-lnx）．x
（1）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（0,1）内有极值，试求a的取值范围．
请考生在
22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：
坐标系与参数方程已知曲线C：
r=
ìx=tcosa2，直线l:
í（t为参数，0≤a
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A,B两点（A在第一象限），当OA+3OB=0时，求a的值．
23．选修4-5：
不等式选讲已知函数f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若函数y=f（x）的最小值记为m，设a，bÎR，且有a2+b2=m，试证明：
2018届高三2月份内部特供卷
高三文科数学
（二）答案
一、选择题1．
【答案】A
【解析】几何概型2．
【答案】C1313
【解析】z=-+i，z=1，\z+z=+i．故选C．22223．
【答案】A
pö22éæpöpù4-2ææpö
【解析】aÎç0,÷，\sinça+÷=，\sina=sinêça+÷-ú=，4ø34ø4û6èè2øëè故选A．4．
【答案】C
【解析】A={xx>1或x<-1}，B={yy>0}，\AB={xx>1}，选C．．
5．
【答案】C
【解析】由三视图可知：
该几何体是由一个三棱锥和一个圆锥的C．6．
【答案】C7．
【答案】C
【解析】由题知A=23，2p1组成的，故选4
j=-
3p，4
w
=2（6+2），w=
p，再把点2,-23代入可得8
（
）
3pöæp\g（x）=23cosçx-÷，故选C．4øè88．
【答案】D
【解析】由函数y=e
ppù,时，ë22úûsinxxy=sinx为单调递增函数，而外层函数y=e也是增函数，所以y=e（-p≤x≤p）
sinx
（-p≤x≤p）不是偶函数，排除
A、C，当xÎéê-
éppù在xÎê-,ú上为增函数．故选D．ë22û9．
【答案】D
【解析】根据条件可知球心O在侧棱DA中点，从而有AC垂直CD，AD=4，所以球的半径为2，故球的表面积为16p．10．
【答案】Bc
【解析】设M（x0，y0），∵四边形OFMN为平行四边形，∴x0=，∵四边形2æcöOFMN的面积为bc，∴y0c=bc，即y0=b，∴Mç，b÷，代入双曲线方程得è2øe2-1=1，∵e>1，∴e=22．选B．411．
【答案】D
【解析】由于圆心（3,3）在直线3x-y-6=0上，又由于直线x-y+k=0与直线
k+6ìx=-ïï2x+y+6=0互相垂直其交点为í，直线3x-y-6=0与x+y+6=0的交ïy=k-6ïî2
点为（0,-6）．由于可行域恰好被圆所覆盖，及三角形为圆的内接三角形圆的半径为r=（3-0）2+（3+6）2=310，解得k=6或k=-6（舍去）．故选D．
12．
【答案】C
【解析】方程即为2x02e2x0=-lnx0，即2x0e2x0=e-lnx0（-lnx0），令f（x）=xex，\f（2x0）=f（-lnx0），则f¢（x）=ex（x+1）>0，函数f（x）在定义域内单调递增，结合函数的单调性有：
2x0=-lnx0，故选C．
二、填空题13．
【答案】033
【解析】（x-1）5展开式中含x3项的系数为C5=10，含x2项的系数为-C5=-10，所以（x+1）（x-1）展开式中含x3项的系数为10-10=0．
5
14．
【答案】
355
【解析】由题知l=1，所以投影为15．
【答案】45
【解析】
35．5
12pbtanB+btanA=-2ctanB，\由正弦定理cosA=-，A=，23
2
a=8，由余弦定理可得：
64=b2+c2+bc=（b+c）-bc，又因为△ABC面积
131bc，bc=16，b+c=45．43=bcsinA=´222（8,12）16．
【答案】
【解析】易知圆（x-2）+y2=16的圆心为（2，0），正好是抛物线y2=8x的焦点，2
4），过点A作抛物线准圆（x-2）+y2=16与抛物线y2=8x在第一象限交于点C（2，2
线的垂线，垂足为点D，则AF=AD，则AF+AB=AD+AB=BD，当点B位于圆（x-2）+y2=16与x轴的交点（6，0）时，BD取最大值8，由于点B在实线上
2
运动，因此当点B与点C重合时，BD取最小值4，此时A与B重合，由于
F、A、B构成三角形，因此4 三、解答题17．
【答案】
（1）因为an+1=Sn+1-Sn，所以n（Sn+1-Sn）=（n+2）Sn+n（n+1），即nSn+1=2（n+1）Sn+n（n+1），则所以
Sn+1S=2´n+1，n+1n
Sn+1SS+1=2（n+1），又1+1=2，n+1n1S故数列{n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．nSS
（2）由
（1）知n+1=（1+1）×2n-1=2n，n1
所以Sn=n×2n-n，故Tn=（1´2+2´22+设M=1´2+2´22+则2M=1´22+2´23+所以-M=2+22+
+n×2n）-（1+2+
+n×2n，+n×2n+1，+n）．
+2n-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1，所以M=（n-1）×2n+1+2，n（n+1）．218．
【答案】
（1）因为底面ABCD为菱形，所以AC^BD，所以Tn=（n-1）×2n+1+2-
又平面BDEF^底面ABCD，平面BDEF因此AC^平面BDEF，从而AC^EF．又BD^DE，所以DE^平面ABCD，平面ABCD=BD，由AB=2a，DE=2BF=22a，ÐABC=120°，可知AF=4a2+2a2=6a，BD=2a，EF=4a2+2a2=6a，AE=4a2+8a2=23a，从而AF2+FE2=AE2，故EF^AF．又AF
AC=A，所以EF^平面AFC．
又EFÌ平面AEF，所以平面AEF^平面AFC．
（2）取EF中点G，由题可知OG∥DE，所以OG^平面ABCD，又在菱形ABCD中，OA^OB，所以分别以OA，OB，OG的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示），则O（0,0,0），A（3a,0,0），C（-3a,0,0），E（0,-a,22a），F（0,a,2a），所以
AE=（0,-a,22a）-（3a,0,0）=（-3a,-a,22a），，AC=（-3a,0,0）-（3a,0,0）=
EF=（0,a,2a）-（0,-a,22a）=（0,2a,-2a）．
（-23a,0,0）
由
（1）可知EF^平面AFC，所以平面AFC的法向量可取为EF=（0,2a,-2a）．设平面AEC的法向量为n=（x,y,z），ìì-3x-y+22z=0,ìy=22z,ïn×AE=0,ïï则í，即í，即í，令z=2，得y=4，x=0,ïïïîîx=0,în×AC=0,所以n=（0,4,2）．从而cos=
n×EF6a3．==3|n|×|EF|63a
3．3
故所求的二面角E-AC-F的余弦值为19．
【答案】
（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有20×参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有30×
1=2人，10
51=，5010
1=3人，10
C327故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是P=1-2=．C510
（2）女生志愿者人数X=0,1,2，则P（X=0）=
112C12C8C123348，，=P（X=1）==22C2095C2095
P（X=2）=
C8214=．2C2095
X
∴X的分布列为012334814P95959533481476∴X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×=．9595959520．
【答案】
（1）由题意可得2a=6，所以a=3．由椭圆C与圆M：
（x-2）2+y2=
41040的公共弦长为，恰为圆M的直径，39
可得椭圆C经过点（2,±
210440），所以+2=1，解得b2=8．399b
所以椭圆C的方程为
x2y2+=1．98
（2）直线l的解析式为y=kx+2，设A（x1,y1），假B（x2,y2），AB的中点为E（x0,y0）．设存在点D（m,0），使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，则DE^AB．由
ìy=kx+236k-18kï2得（8+9k2）x2+36kx-36=0，故x1+x2=-2，所以x0=2，íxy29k+89k+8=1ï+8î9
y0=kx0+2=16．9k2+8因为DE^AB，所以kDE
16-021-2k-21．=-，所以m=2==-，即9k+8-18k8kk9k+8-m9k+9k2+8k
28当k>0时，9k+≥29´8=122，所以-≤m<0．12k
综上所述，在x轴上存在满足题目条件的点D，且点D的横坐标的取值范围为
-2≤m<0．12
ex（x-1）1ex（x-1）-ax（x-1）（ex-ax）
（x-1）21．
【答案】
（1）f¢（x）=．-a（1-）==x2xx2x2当a≤0时，对于"xÎ（0,+¥），ex-ax>0恒成立，所以f¢（x）>0，x>1；
f¢（x）<0，0 所以单调增区间为（1,+¥），单调减区间为（0,1）．
（2）若f（x）在（0,1）内有极值，则f¢（x）在xÎ（0,1）内有解．令f¢（x）=设g（x）=
（ex-ax）
（x-1）exx，，．=0e-ax=0a=xx2
exxÎ（0,1），xex（x-1）所以g¢（x）=，当xÎ（0,1）时，g¢（x）<0恒成立，x所以g（x）单调递减．又因为g
（1）=e，又当x®0时，g（x）®+¥，即g（x）在xÎ（0,1）上的值域为（e,+¥），（ex-ax）
（x-1）=0有解．x2设H（x）=ex-ax，则H¢（x）=ex-a<0xÎ（0,1），所以H（x）在xÎ（0,1）单调递减．因为H
（0）=1>0，H
（1）=e-a<0，所以H（x）=ex-ax在xÎ（0,1）有唯一解x0．所以有：
（0,x0）x0（x0,1）xH（x）0+-¢f（x）0+-f（x）Z]极小值所以当a>e时，f（x）在（0,1）内有极值且唯一．当a≤e时，当xÎ（0,1）时，f¢（x）≥0恒成立，f（x）单调递增，不成立．
所以当a>e时，f¢（x）=综上，a的取值范围为（e,+¥）．请考生在
22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4—4：
坐标系与参数方程2
【答案】
（1）由r=，得r=rsinq+2，1-sinq所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y+4；
æpö
（2）设A（r1,a），则B（r2,p+a），aÎç0,÷，OA+3OB=0Ûr1=3r2，è2ø
Û
1p22æö=3ç÷Ûsina=，∴a=．261-sinaè1+sinaø
23．选修4-5：
不等式选讲．
ìï-3x,x<-1,ï1ï
【答案】
（1）因为f（x）=|2x-1|+|x+1|=í-x+2,-1≤x≤,2ï1ï3x,x>.ïî2
从图可知满足不等式f（x）≤3的解集为[-1,1]．
（2）证明：
由图可知函数y=f（x）的最小值为所以a2+b2=
33，即m=．22
37，从而a2+1+b2+1=，2214214从而2+2=[（a2+1）+（b2+1）]
（2+2）=a+1b+17a+1b+1
2b2+14（a2+1）182b2+14（a2+1）×]=．[5+（2+2）]≥[5+227a+1b2+177a+1b+1
b
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