最新金版教程高考数学文二轮复习讲义第二编 专题整合突破 专题一集合常用逻辑用语 第一讲 集合与常.docx
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最新金版教程高考数学文二轮复习讲义第二编专题整合突破专题一集合常用逻辑用语第一讲集合与常
专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、
算法、合情推理、不等式及线性规划
第一讲 集合与常用逻辑用语
必记公式]
1．A∩B＝A⇔A⊆B.
2．A∪B＝A⇔B⊆A.
3．若集合A的元素有n个，则A的子集个数是2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
重要结论]
1．四种命题间的关系
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；
（2）一个命题的逆命题与它的否命题同真同假．
2．充分、必要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
从逻辑观点看
从集合观点看
p是q的充分不必要条件（p⇒q，qp）
AB
p是q的必要不充分条件（q⇒p，pq）
BA
p是q的充要条件（p⇔q）
A＝B
p是q的既不充分也不必要条件
（pq，qp）
A与B互不包含
3.简单的逻辑联结词
（1）命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．
（2）命题p∨q的否定是（綈p）∧（綈q）；命题p∧q的否定是（綈p）∨（綈q）．
4．全称命题与特称命题
（1）全称命题p：
∀x∈M，p（x），它的否定綈p：
∃x0∈M，綈p（x0）．
（2）特称命题p：
∃x0∈M，p（x0），它的否定綈p：
∀x∈M，綈p（x）．
失分警示]
1．忽略空集：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分类讨论时要注意“∅优先”的原则．
2．集合含义理解错误：
集合{x|y＝f（x）}，{y|y＝f（x）}，{（x，y）|y＝f（x）}中代表元素意义不同，前两个是数集，第三个是点集．
3．判断充分条件和必要条件时，不能准确判断哪个是“条件”，哪个是“结论”．
4．对全称命题和特称命题进行否定时，忘记“∀”与“∃”的变化；混淆命题的否定与否命题．
考点
集合的概念及运算
典例示法
题型1 集合的交、并、补运算
典例1
（1）20xx·四川高考]设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．3B．4
C．5D．6
解析] 由集合A＝{x|－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1，0,1,2}，故选C.
答案] C
（2）20xx·浙江高考]已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1A．0,1）B．（0,2]
C．（1,2）D．1,2]
解析] ∁RP＝{x|0答案] C
题型2 集合中的新定义问题
典例2 20xx·湖北高考]已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）
A．77B．49
C．45D．30
解析] 集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素（即5个点），即图中圆内及圆上的整点．集合B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素（即25个点），即图中正方形ABCD内及正方形ABCD上的整点．集合A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}中的元素可看作正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．故选C.
答案] C
解答集合问题的策略
（1）先正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的策略为：
①若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解．
②若给定的集合是点集，用图象法求解．
③若给定的集合是抽象集合，常用Venn图求解．
提醒：
忽视空集的讨论，若遇到A⊆B，A∩B＝A时，要考虑A为空集的可能性．
（2）解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
①紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；
②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
考点
命题及逻辑联结词
典例示法
典例3
（1）20xx·陕西高考]原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A．真，假，真B．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
解析] 先证原命题为真：
当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi（a，b∈R），则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：
取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不是共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假．故选B.
答案] B
（2）20xx·河南统考]已知命题p：
∃x0∈R，使sinx0＝；命题q：
∀x∈R，都有x2＋x＋1>0，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧（綈q）”是假命题；③命题“（綈p）∨q”是真命题；④命题“（綈p）∨（綈q）”是假命题．
其中正确的结论是（ ）
A．②③B．②④
C．③④D．①②③
解析] ∵>1，∴命题p是假命题．
∵x2＋x＋1＝2＋≥>0，∴命题q是真命题，由真值表可以判断“p∧q”为假，“p∧（綈q）”为假，“（綈p）∨q”为真，“（綈p）∨（綈q）”为真，所以只有②③正确，故选A.
答案] A
命题真假的判定方法
（1）一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．
（2）四种命题真假的判断依据：
一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关．
（3）形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定．
（4）全称命题与特称（存在性）命题真假的判定：
①全称命题：
要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p（x）成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；
②特称（存在性）命题：
要判定一个特称（存在性）命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p（x0）成立即可，否则，这一特称（存在性）命题就是假命题．
针对训练
1．20xx·辽宁高考]设a，b，c是非零向量．已知命题p：
若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：
若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（ ）
A．p∨qB．p∧q
C．（綈p）∧（綈q）D．p∨（綈q）
答案 A
解析 由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A.
2．20xx·贵州七校联考]以下四个命题中，真命题的个数是（ ）
①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；
②存在正实数a，b，使得lg（a＋b）＝lga＋lgb；
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；
④在△ABC中，AA．0B．1
C．2D．3
答案 C
解析 对于①，原命题的逆命题为：
若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg（a＋b）＝lga＋lgb，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A考点
充要条件的判定
典例示法
典例4
（1）20xx·四川高考]设p：
实数x，y满足（x－1）2＋（y－1）2≤2，q：
实数x，y满足则p是q的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析] 取x＝y＝0满足条件p，但不满足条件q，反之，对于任意的x，y满足条件q，显然必满足条件p，所以p是q的必要不充分条件，选A.
答案] A
（2）20xx·唐山统考]“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析] ∵方程＋＝1表示双曲线，∴（25－k）（k－9）<0，∴k<9或k>25，∴“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
答案] A
（2）题中将“k<9”改为“k>9”，将“双曲线”改为“椭圆”，那么正确答案是（ ）
答案 B
解析 方程＋＝1表示椭圆，
则即99是方程＋＝1为椭圆的必要不充分条件，故选B.
判断充分、必要条件的方法及关注点
（1）充分、必要条件的判断方法
先判断p⇒q与q⇒p是否成立，然后再确定p是q的什么条件．
（2）判断充分、必要条件时的关注点
①要弄清先后顺序：
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
②要善于举出反例：
如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，可以尝试通过举出恰当的反例来说明．
③要注意转化：
若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，那么p是q的充要条件．
针对训练
1．20xx·天津高考]设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 |x－2|<1⇔－1x2＋x－2>0⇔x<－2或x>1.
由于（1,3）（－∞，－2）∪（1，＋∞），
所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．
2．20xx·北京高考]设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
全国卷高考真题调研]
1．20xx·全国卷Ⅰ]设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝（ ）
A.B.
C.D.
答案 D
解析 由题意得A＝{x|12．20xx·全国卷Ⅰ]设命题p：
∃n∈N，n2>2n，则綈p为（ ）
A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n
答案 C
解析 命题p是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.
3．20xx·全国卷Ⅰ]不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1：
∀（x，y）∈D，x＋2y≥－2；
p2：
∃（x，y）∈D，x＋2y≥2；
p3：
∀（x，y）∈D，x＋2y≤3；
p4：
∃（x，y）∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是（ ）
A．p2，p3B．p1，p2
C．p1，p4D．p1，p3
答案 B
解析 不等式组表示的平面区域D如下图阴影区域所示．
设z＝x＋2y，作出基本直线l0：
x＋2y＝0，经平移可知直线l：
z＝x＋2y经过点A（2，－1）时z取得最小值0，无最大值．对于命题p1：
由于z的最小值为0，所以∀（x，y）∈D，x＋2y≥0恒成立，故x＋2y≥－2恒成立，因此命题p1为真命题；由于∀（x，y）∈D，x＋2y≥0，故∃（x，y）∈D，x＋2y≥2，因此命题p2为真命题；由于z＝x＋2y的最小值为0，无最大值，故命题p3与p4错误，故选B.
其它省市高考题借鉴]
4．20xx·浙江高考]命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得nB．∀x∈R，∀n∈N*，使得nC．∃x∈R，∃n∈N*，使得nD．∃x∈R，∀n∈N*，使得n答案 D
解析 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.
5．20xx·天津高考]已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁UB＝（ ）
A．{2,5}B．{3,6}
C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}
答案 A
解析 由已知得∁UB＝{2,5,8}，∴A∩∁UB＝{2,5}，故选A.
6．20xx·安徽高考]设p：
12x>1，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 q：
2x>1⇔x>0，且（1,2）⊆（0，＋∞），所以p是q的充分不必要条件．
一、选择题
1．20xx·郑州质检]设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U（A∩B）＝（ ）
A．{1,2,3}B．{1,2,4}
C．{1,3,4}D．{2,3,4}
答案 A
解析 因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U（A∩B）＝{1,2,3}，故选A.
2．20xx·沈阳质检]设全集U＝R，集合A＝{x|y＝lgx}，B＝{－1,1}，则下列结论正确的是（ ）
A．A∩B＝{－1}B．（∁RA）∪B＝（－∞，0）
C．A∪B＝（0，＋∞）D．（∁RA）∩B＝{－1}
答案 D
解析 集合A＝{x|x>0}，从而A、C错，∁RA＝{x|x≤0}，则（∁RA）∩B＝{－1}，故选D.
3．20xx·福建高考]若集合A＝{i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B＝{1，－1}，则A∩B等于（ ）
A．{－1}B．{1}
C．{1，－1}D．∅
答案 C
解析 因为A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}，故选C.
4．20xx·辽宁五校联考]设集合M＝{x|x2＋3x＋2<0}，集合N＝，则M∪N＝（ ）
A．{x|x≥－2}B．{x|x>－1}
C．{x|x<－1}D．{x|x≤－2}
答案 A
解析 因为M＝{x|x2＋3x＋2<0}＝{x|－25．20xx·合肥质检]“x≥1”是“x＋≥2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 本题主要考查函数的性质与充分必要条件．由题意得，x＋≥2⇔x>0，∴“x≥1”是“x＋≥2”的充分不必要条件，故选A.
6．20xx·西安质检]已知命题p：
∃x∈R，log2（3x＋1）≤0，则（ ）
A．p是假命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）≤0
B．p是假命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）>0
C．p是真命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）≤0
D．p是真命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）>0
答案 B
解析 本题主要考查命题的真假判断、命题的否定．
∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2（3x＋1）>0，
∴p是假命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）>0.故应选B.
7．20xx·广州模拟]下列说法中正确的是（ ）
A．“f（0）＝0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件
B．若p：
∃x0∈R，x－x0－1>0，则綈p：
∀x∈R，x2－x－1<0
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若α＝，则sinα＝”的否命题是“若α≠，则sinα≠”
答案 D
解析 本题主要考查命题的相关知识及充要条件．f（0）＝0，函数f（x）不一定是奇函数，如f（x）＝x2，所以A错误；若p：
∃x0∈R，x－x0－1>0，则綈p：
∀x∈R，x2－x－1≤0，所以B错误；p，q只要有一个是假命题，则p∧q为假命题，所以C错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D正确．
8．下列四个命题中正确命题的个数是（ ）
①对于命题p：
∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：
∀x∈R，均有x2＋x＋1>0；
②m＝3是直线（m＋3）x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件；
③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4,5），则线性回归方程为＝1.23x＋0.08；
④若实数x，y∈－1,1]，则满足x2＋y2≥1的概率为.
A．1B．3
C．4D．5
答案 A
解析 ①错，应当是綈p：
∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0；②错，当m＝0时，两直线也垂直，所以m＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x，y∈－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x2＋y2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x2＋y2≥1的概率为.
9．给定下列四个命题：
命题p：
当x>0时，不等式lnx≤x－1与lnx≥1－等价；
命题q：
不等式ex≥x＋1与ln（x＋1）≤x等价；
命题r：
“b2－4ac≥0”是“函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）有极值点”的充要条件；
命题s：
若对任意的x∈，不等式a<恒成立，则a≤.
其中为假命题的是（ ）
A．（綈s）∧pB．（綈q）∧s
C．（綈r）∧pD．綈（q∧p）
答案 A
解析 由>0，lnx≤x－1，得ln≤－1，即lnx≥1－，故命题p为真命题；由于x的取值范围不同，故命题q是假命题；当b2－4ac＝0时，函数f（x）无极值点，故命题r是假命题；设h（x）＝，由于函数h（x）＝在上是减函数，故>，a≤，即命题s是真命题．根据复合命题的真值表可知选A.
10．20xx·武昌调研]“a≤0”是“函数f（x）＝|（ax－1）x|在区间（0，＋∞）上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 本题主要考查函数的单调性与充要条件．当a＝0时，f（x）＝|x|在区间（0，＋∞）上单调递增；当a<0时，f（x）＝（－ax＋1）x＝－ax，结合二次函数的图象可知f（x）＝|（ax－1）x|在区间（0，＋∞）上单调递增；
当a>0时，函数f（x）＝|（ax－1）x|的图象大致如图：
函数f（x）在区间（0，＋∞）上有增有减，从而a≤0是函数f（x）＝|（ax－1）x|在区间（0，＋∞）上单调递增的充要条件，故选C.
二、填空题
11．20xx·山东高考]若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案 1
解析 由已知可得m≥tanx恒成立．设f（x）＝tanx，显然该函数为增函数，故f（x）的最大值为f＝tan＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.
12．20xx·贵阳监测]已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：
①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.（用列举法表示）
答案 {a2，a3}
解析 若a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，假设不成立；若a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，a1∉A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．
13．已知命题p：
实数m满足m2＋12a2<7am（a>0），命题q：
实数m满足方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________．
答案
解析 由a>0，m2－7am＋12a2<0，得3a3a0.
由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2－m>m－1>0，解得1即命题q：
1因为p是q的充分不必要条件，
所以或
解得≤a≤，
所以实数a的取值范围是.
14．20xx·山东临沂高三模拟]已知命题p：
|x－1|＋|x＋1|≥3a恒成立，命题q：
y＝（2a－1）x为减函数，若“p且q”为真命题，则a的取值范围是________．
答案
解析 由绝对值不等式得|x－1|＋|x＋1|≥|（x－1）－（x＋1）|＝2，当且仅当－1≤x≤1时等号成立，即|x－1|＋|x＋1|的最小值为2.若不等式|x－1|＋|x＋1|≥3a恒成立，则3a≤2，即a≤.若函数y＝（2a－1）x为减函数，则0<2a－1<1，即
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