版 第1章 第1节 集 合.docx

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版第1章第1节集合

第

章　集合与常用逻辑用语

第一节　集　合

[考纲传真]　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．（3）能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．

1．元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系：

属于或不属于，分别记为∈和∉.

（3）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、Venn图法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

表示

关系

文字语言

符号语言

记法

基本关系

子集

集合A的元素都是集合B的元素

x∈A⇒x∈B

A⊆B或B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A

A⊆B，∃x0∈B，x0∉A

A

B或BA

相等

集合A，B的元素完全相同

A⊆B，B⊆A⇒A＝B

A＝B

空集

不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集

∀x，x∉∅，∅⊆A

∅

3.集合的基本运算

表示

运算　　

文字语言

符号语言

图形语言

记法

交集

属于A且属于B的元素组成的集合

{x|x∈A且x∈B}

A∩B

并集

属于A或属于B的元素组成的集合

{x|x∈A或x∈B}

A∪B

补集

全集U中不属于A的元素组成的集合

{x|x∈U，x∉A}

∁UA

1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.

2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3．A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U（∁UA）＝A.

[基础自测]

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）任何集合都至少有两个子集．（　　）

（2）已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{（x，y）|y＝x2}，则A＝B＝C.（　　）

（3）若{x2，x}＝{－1,1}，则x＝－1.（　　）

（4）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

[解析]　

（1）错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．

（2）错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝（－∞，＋∞）；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞）；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．

（3）正确．

（4）错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×

2．（教材改编）若集合A＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则下列结论正确的是（　　）

A．{a}⊆A　　　　　　B．a⊆A

C．{a}∈AD．a∉A

D　[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2

知，a∉A.]

3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝（　　）

A．{1,2,3,4}B．{1,2,3}

C．{2,3,4}D．{1,3,4}

A　[A∪B＝{1,2,3,4}．]

4．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝（　　）

A．{4,8}B．{0,2,6}

C．{0,2,6,10}D．{0,2,4,6,8,10}

C　[∁AB＝{0,2,6,10}．]

5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝（　　）

A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－2＜x＜3}

C．{x|－1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3}

A　[∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，

∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]

集合的含义与表示

1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为（　　）

A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6

B　[因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3时，x＝5,6,7.

当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8.

由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8.

即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．]

2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A.

B.

C．0D．0或

D　[若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a＝0时，x＝

，符合题意；

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0得a＝

，

所以a的取值为0或

.]

3．已知a，b∈R，若

＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019为（　　）

A．1B．0C．－1D．±1

C　[由已知得a≠0，则

＝0，

所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2019＋b2019＝（－1）2019＋02019＝－1.]

4．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.

1　[由A∩B＝{3}知a＋2＝3或a2＋4＝3.

解得a＝1.]

[规律方法]　与集合中的元素有关的问题的求解策略

（1）确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集.

（2）看这些元素满足什么限制条件.

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性.

集合间的基本关系

【例1】　

（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则（　　）

A．B⊆AB．A＝B

C．ABD．BA

（2）（2019·大庆模拟）集合A＝

，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则集合B的子集个数为（　　）

A．5B．8C．3D．2

（3）已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为________．

（1）C　

（2）B　（3）

　[

（1）A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，则A

B，故选C.

（2）由

≤0得－1≤x＜3，则A＝{－1,0,1,2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}＝{1,2,5}，其子集的个数为23＝8个．

（3）A＝{－3,2}，若a＝0，则B＝∅，满足B⊆A，

若a≠0，则B＝

，由B⊆A知，

＝－3或

＝2，故a＝－

或a＝

，因此a的取值集合为

.]

[规律方法]　1.集合间基本关系的两种判定方法

（1）化简集合，从表达式中寻找两集合的关系.

（2）用列举法（或图示法等）表示各个集合，从元素（或图形）中寻找关系.

2.根据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.

易错警示：

B⊆A（A≠∅），应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.

（1）（2018·长沙模拟）已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为（　　）

A．1B．2C．4D．8

（2）已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．

（1）C　

（2）[2，＋∞）　[

（1）由A⊆C⊆B得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C.

（2）A＝{x|0≤x≤2}，要使A⊆B，则a≥2.]

集合的基本运算

►考法1　集合的运算

【例2】　

（1）（2018·全国卷Ⅲ）已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝（　　）

A．{0}　　　　　　　　　B．{1}

C．{1,2}D．{0,1,2}

（2）（2018·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝（　　）

A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

（3）（2019·桂林模拟）已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，则下列关系正确的是（　　）

A．M∪N＝{－1,1,3}B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}

C．M∩N＝{－1}D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}

（1）C　

（2）B　（3）B　[

（1）由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．

（2）法一：

A＝{x|（x－2）（x＋1）＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.

法二：

因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.

（3）M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]

►考法2　利用集合的运算求参数

【例3】　

（1）设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（　　）

A．－1＜a≤2B．a＞2

C．a≥－1D．a＞－1

（2）集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为（　　）

A．0　　　　B．1C．2　　　　D．4

（3）（2019·厦门模拟）已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤1B．a＜1

C．a≥2D．a＞2

（1）D　

（2）D　（3）C　[

（1）由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：

易知a＞－1，故选D.

（2）由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.

（3）B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.]

[规律方法]　解决集合运算问题需注意以下三点：

（1）看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.

（2）看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.

（3）要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍.

（1）（2019·东北三省四市联考）设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x（x－3）＜0}，则A∪B＝（　　）

A．（－1,0）B．（0,1）

C．（－1,3）D．（1,3）

（2）（2019·西安模拟）设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则（∁RA）∩B＝（　　）

A．{1}　　　B．{2}C．{1,2}　　　D．∅

（3）（2017·全国卷Ⅱ）设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（　　）

A．{1，－3}B．{1,0}

C．{1,3}D．{1,5}

（4）（2019·长沙模拟）已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B＝（　　）

A．{1,3}B．{1,3,9}

C．{3,9,27}D．{1,3,9,27}

（1）C　

（2）D　（3）C　（4）A　[

（1）A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.

（2）A＝{x|x≤1或x≥2}，则∁RA＝{x|1＜x＜2}．

又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以（∁RA）∩B＝∅，故选D.

（3）∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.

（4）因为A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}＝{0,1,2,3}，

所以A∩B＝{1,3}．]

1．（2018·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝（　　）

A．{0,2}　　　　　　　B．{1,2}

C．{0}D．{－2，－1,0,1,2}

A　[由题意知A∩B＝{0,2}．]

2．（2018·全国卷Ⅱ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A．9　　　　B．8　　　　C．5　　　　D．4

A　[由x2＋y2≤3知，－

≤x≤

，－

≤y≤

.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为9，故选A.]

3．（2017·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则（　　）

A．A∩B＝

B．A∩B＝∅

C．A∪B＝

D．A∪B＝R

A　[因为B＝{x|3－2x＞0}＝

，A＝{x|x＜2}，所以A∩B＝

，A∪B＝{x|x＜2}．

故选A.]

4．（2015·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）

A．5B．4C．3D．2

D　[分析集合A中元素的特点，然后找出集合B中满足集合A中条件的元素个数即可．

集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.]