依托问题情境回归计算本质.docx

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依托问题情境回归计算本质

依托问题情境回归计算本质

——《乘法分配律》教学案例分析

大悟县滨河学校郭华

一、研究背景

2010年，我校开始围绕“数与代数领域中数的运算教学的有效性”进行了研究，我们重点对“合理处理算法多样和算法优化关系及策略研究”进行了一系列的探索。

结合前阶段的研究成果，我们以《乘法分配律》为案例从学习内容、学生、教学活动几个方面进行了分析和探讨，以期待完善和形成合理处理算法多样和算法优化关系的有效策略，实现运算教学的有效性。

二、实施策略

1、以现实情境呈现学习任务。

2、引导学生活动自主建构模型。

3、巩固练习提升学生应用实践能力。

针对以上实施策略，我们进一步思考：

1、怎样的情境能更有效地促进学生的学习？

2、设计怎样的数学活动才能帮助学生自主建构数学模型？

3、怎样考虑应用与实践的内容，确保学生的素养得到发展？

三、案例分析

1、关于学习内容。

《乘法分配律》是人教版义务教育课程标准实验教科书数学四年级下册第三单元《运算定律与简便计算》中的第5小节的学习内容。

五条运算定律在数学中具有重要的地位和作用，被誉为“数学大厦的基石”，乘法分配律即为其中之一，也是学生最难学，老师最难教的一个内容。

（1）本节课对于学生数学学习的作用、价值。

乘法分配律是运算教学中一个非常重要的内容，学习乘法分配律有利于学生积累探索数学规律的经验、感受不完全归纳法，又有利于学生发展符号感，进一步感受数学表达的严谨与简练，学习乘法分配律，有利于提高学生的观察能力，比较能力和概括能力；学习乘法分配律是学生以后进行简便计算的前提和依据，对提高学生的计算能力有着重要的作用；学习乘法分配律还是学生后续学习知识的重要基础。

（2）本节课在相应知识体系中的地位。

a、乘法分配律与“数与代数”领域间的关系；

b、知识的纵向比较：

教材把乘法分配律这一节内容编排在《运算定律与简便计算》这一单元第5小节，便于学生感悟知识之间的内在联系与区别，有利于学生通过系统学习，建构比较完整的知识结构，在以前学生学习的过程中，有许多地方体会过乘法分配律，如：

计算长方形的周长；应用题的解答中，要求学生用两种方法解答；在笔算乘法中,把乘法转化成几个乘积相加的和……在这些知识的学习过程中，都向学生孕伏了乘法分配律的思想，乘法分配律也为整数、小数、分数的简便计算、解方程、求环形面积、合并同类项，代数式化简，复杂的代数运算等等提供了理论支持，因此，学习乘法配律是至关重要的，当然这时乘法分配律已到呼之欲出的阶段。

C、知识的横向比较

在五条运算定律中，乘法的交换律、结合律、与加法的交换律、结合律一样，都是同一种运算的规律，只有乘法分配律，沟通了乘法与加、减法之间的联系，因而更加复杂，是运算教学的一大难点。

运算定律

加法

交换律

a+b=b+a

结合律

（a+b）+c=a+（b+c）

乘法

交换律

a×b=b×a

结合律

（a×b）×c=a×（b×c）

分配律

（a±b）×c=a×c±b×c

（3）本节课的数学内涵、相应的知识技能、所承载的数学思想与方法。

数学中，研究数的运算，在给出运算的定义后，最主要的基础工作就是研究该运算的性质，在运算各种性质中，最基本的几条性质，通常称为“运算定律”，也就是说，运算定律是运算体系中具有普遍意义的规律，是运算的基本性质，可作为推理的依据，如根据运算定律来证明运算的其他性质，根据运算定律和性质来证明运算法则的正确性等等。

乘法分配律建立了乘法与加减法运算之间的联系

能由（a±b）×c转化成a×c±b×c

也能由a×c±b×c转化成（a±b）×c

向学生渗透了互化、转化的数学思想，在学生自主建构模型过程中所经历的猜想、验证，不完全归纳法等等都是今后学生学习数学基本的思想与方法。

2、关于学生

（1）学生对该学习内容、在知识及生活等方面有

一定的经验。

a、初步理解四则运算的意义。

b、知道四则混合运算的运算顺序。

c、学习了交换律、结合律，经历了用字母表示运

算定律的过程。

d、能用两种方法解决实际问题。

e、在以前学习过程中有一些零碎的乘法分配律的表象认识。

前测试题

正确率

错误情况

一件上衣60元，一条裤子50元，买5套衣服一共花多少钱？

（用多种方法解答）

95%

只会用一种方法

5%

有2件不同的上衣，2条不同的裤子，搭配成一套衣服，有几种搭配的方案？

90%

不能说出所有搭配方法

10%

37×29+37×71

95%

计算正确但没有使用简便算法

90%

25×（40+4）

87.5%

计算正确但没有使用简便算法

97.5%

（2）学生学习该内容可能存在的困难

根据我们对教材的研读和对学生的研究，我们进行了第一次实践。

老师向学生展示了植树情境图，25个小组，每组里4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇水。

一共有多少名同学参加这次植树活动？

让学生找出图中相关信息，独立列式并交流不同算法的解题思路。

在理解的基础上用等号连接两个算式，并引导学生比较等号两边的算式有什么相同点和不同点。

接着让学生总结规律，知道这就是乘法分配律，然后做课后习题。

通过第一次试教，我们发现学生学习乘法分配律的困难如下：

a、学习迁移上的困难：

从学生学习过程看，大部分学生都能用两种方法列出算式并计算，但学生观察算式发现规律时，大多数学生感到困难，无法建立起两种运算之间的完整联系。

b、学生表达上的困难：

通过教师引导，学生发现了规律，但表达起来比较费劲，不能表述出规律的关键。

c、学生互化上的困难：

（a±b）×c=a×c±b×c

a×（b±c）=a×b±a×c

学生容易接受。

a×c±b×c=（a±b）×c

a×b±a×c=a×（b±c）

学生却不易接受。

d、学生应用上的困难。

学生能用两种方法解决实际问题，

实现了算法多样化的目的，但要选择算法优化学生有一定困难。

后期测试题目

正确率

错误情况

25×（40+4）

90%

没有使用简便算法

10%

35×201

75%

没有使用简便算法

25%

125×88－125×8

67.5%

没有使用简便算法

32.5%

39×8+6×39－39×4

25%

没有使用简便算法

50%

从学生的学习结果来看，学生对乘法分配律的错误主要有以下几种情况，没有形成简算的意识，用错乘法分配律。

（3）对学生学习困难的分析与思考：

a、无论是将乘法分配律用错，还是没有使用乘法分配律，都反映出学生对这一内容没有理解透彻。

b、没有理解透彻的原因又是什么？

我们是不是过分依靠教材，只注重了外在形式的观察，而忽视了对本质的理解？

所谓理解，就应该是将新知识与已有知识经验发生联系，并且用已有知识经验来解释新知的过程，那么，怎样唤起学生的已有经验，为新知的学习架起一座桥梁呢？

3、关于教学活动：

（1）第一次试教后，我们对学生进行了后期测试，发现90%以上的学生没有植树经历。

在第一次教学与反思的基础上，我们进行了第二次教学尝试。

从情境入手，基本思路是：

情境——表象——规律。

一件上衣60元，一条裤子50元，买5套衣服一共花多少钱？

（60+50）×560×5+50×5

=110×5=300+250

=550（元）=550

通过买衣服的情境建立等式两边的联系，买衣服的经历，情境帮助学生理解了抽象的教学内容，使学生对乘法分配律不再是机械地认识。

但是，在教学中仍发现，在经历了感知后，学生对乘法分配律的理解仍然只是一个表象的认识，在后期测试中，和第一次教学实践相比，学生掌握知识情况有所好转，但不明显。

那么究竟怎样才能突破让学生尝试从乘法的意义角度理解乘法分配律这一教学难点呢？

（2）我们尝试了第三次教学。

基本思路是：

情境——表象——算理——规律——实践。

①我们对情境导入这样思考，什么样的情境更具现实性，更富有挑战性，什么样的情境更有利于学生主动地进行观察、比较、猜想、验证、推理、交流等数学活动呢？

我们是这样选择情境导入的：

（播放课堂实录）（45+15）×5=45×5+15×5

（45+10）×5=45×5+10×5

（45+20）×5=45×5+20×5

（20+15）×5=20×5+15×5

（20+10）×5=20×5+10×5

（10+15）×5=10×5+15×5

从一件上衣一条裤子到三件上衣，二条裙子的改编，更有利于学生进行自主选择，从原来的单一的一个等式到六个等式，拓宽了学生的解题思路，发展了学生思维，学生通过选择喜欢的方案，用多种方法解答，体验了解决问题的多样性，体现了学生的个性发展，同时建立了等式之间的联系，在汇报的过程中，要求学生说出算理，灵活的引导学生发现了乘法分配律的内在规律，帮助他们理解了乘法分配律概念的内涵。

从而提高了教学效率。

②在学生经历了大量感知后，我们设计了第二个教学活动。

活动要求：

a、写出三个这样的算式。

b、你怎么来说明你写的算式左右两边是相等的。

c、汇报不同的算式。

在这个教学环节中，我们让学生探究、质疑，当学生交流时，我们又遇到了新的困惑,学生很难用语言说清楚等式左右两边为什么是相等的，还沉浸在具体情境中，老师还要从算理的高度对学生引导，如45×5+15×5=（45+15）×5左边45个5加15个5是60个5，右边也是60个5，让学生从乘法的意义的角度来理解。

帮助学生把零散的感性认识上升为理性认识，从具体到抽象，从现象到本质，让学生自主建构乘法分配律定律，达到了一个更高的数学层次。

③最后一个教学环节，应用算理，回归计算本质。

对小学生来说，乘法分配律的运用具有一定的灵活性，对数学能力的要求较高，这是问题的一个方面。

另一方面，乘法分配律的运用也为培养和发展学生思维的灵活性提供了极好的机会，应用乘法分配律时，应注意体现算法多样化、个性化的数学课程改革精神，培养学生灵活、合理选择算法的能力。

解决实际问题

1、师徒两人合做一批零件，师傅每小时做30个，徒弟每小时做25个，4小时共做多少个零件？

（用多种方法解答）

2、一辆小汽车和一辆货车在甲、乙两地同时相向而行，小汽车每小时行66千米，货车每小时行34千米，8小时它们相遇。

甲乙两地相距多少千米？

（用简便算法）

3、在（）填上适当的数.

（15+20）×12=（）×12+（）×12

25×（4+9）=（）×4+（）×9

8×（10+5）=（）×（）+（）×（）

75×24=75×（）+75×（）

4、连线

48×12+52×1215×18+26×18

（15+18）×2625×40+25×4

25×（40+4）（48+52）×12

14×（45-5）11×4+25×4

（11×25）×414×45-14×5

相比前几次教学，教学效果有了显著改善。

后期测试题目

正确率

错误情况

25×（40+4）

97.5%

没有使用简便算法

2.5%

35×201

92.5%

没有使用简便算法

7.5%

125×88－125×8

85%

没有使用简便算法

15%

39×8+6×39－39×4

82.5%

没有使用简便算法

17.5%

通过我们对《乘法分配律》的研讨，我们发现在数的运算教学中：

1、依托问题情境，内化新知。

新课标鼓励老师要创造性地使用教材，这给我们很大的自主权，我们在认真研读教材、分析学情的情况下，选择学生熟知的生活情景导入，激活了学生已有的知识经验，为新知的学习扫除了思维上的障碍，为学生有效建构提供了认知基础。

最大限度地发挥了学习材料的有效性。

2、优化数学活动，有效建构。

优化数学活动不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探究、合作交流是学生学习数学的重要方式。

因此，我们在组织、设计教学活动时，从学生“学”的角度出发，充分挖掘，拓展学生的探索过程，力求让学生像科学家一样去研究、发现，让学生自主建构数学模型，使他们在获得数学知识的同时，思维能力、情感态度与价值观等诸多方面得到进步和发展。

3、实践解决问题，回归本质。

计算的本质就是解决问题。

教学时我们充分提供学生参与实践的机会，培养学生自觉地把数学知识应用于实践的意识。

引导学生运用所学的知识和生活经验，主动探索解决实际问题，有效地提高了学生的应用意识。

让学生体验到数学知识的内在魅力，老师把学生引入更广阔的数学探索空间。