第七章线性系统状态空间分析自动控制原理.docx
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第七章线性系统状态空间分析自动控制原理
第七章线性系统状态空间分析
例1 已知实际力学模型的状态方程为
求其系统的状态空间表达式。
程序代码：
num=[121];
den=[1321];
G=tf（num,den）;
Gss=ss（G）
由结果显示可知，系统的状态空间表达式
：
例2已知控制系统的状态空间表达式为
试绘制系统的单位阶跃输出轨线和脉冲输出轨线。
绘制系统的单位阶跃输出轨线，程序代码如下：
A=[-5-1;3-1];
B=[25]';
C=[12];
D=0;
G=ss（A,B,C,D）;
[y,t,x]=step（G）;
plot（t,x,'r',t,y,'b'）;
grid;
text（2,-0.1,'x_2（t）'）;
text（2,4.2,'x_1（t）'）;
text（2,7.6,'y（t）'）;
绘制系统的脉冲信号输出轨线，程序代码如下：
A=[-5-1;3-1];
B=[25]';
C=[12];
D=0;
G=ss（A,B,C,D）;
[y,t,x]=impulse（G）;
plot（t,x,'r',t,y,'b'）;
axis（[-0.13-213]）;
grid;
text（0.52,0.1,'x_2（t）'）;
text（0.52,3.2,'x_1（t）'）;
text（0.52,6,'y（t）'）;
例3 已知缠绕装置张力控制系统的传递函数的状态空间表达式为
绘制状态响应
其中输入信号为
初始条件为
。
绘制状态响应曲线，程序代码如下：
A=[-2-2.5-0.5;100;010];
B=[1;0;0];
C=[01.51];
D=0;
G=ss（A,B,C,D）;
t=[0:
0.1:
20]';
x0=[102];%非零初始条件
u（1:
21）=2*ones（21,1）;%输入0u（21:
201）=0.5*ones（181,1）;%输入t>2
[y,t,x]=lsim（G,u,t,x0）;%初始条件引起的响应
plot（t,x（:
1）,'-r',t,x（:
2）,'-b',t,x（:
3）,'-m'）;%用不同的线条和颜色
绘制状态响应轨线
gridon;
text（6,0.25,'x_1（t）'）;%标识曲线，用“_”表示下标
text（6,-0.5,'x_2（t）'）;
text（8,1.7,'x_3（t）'）;
title（'状态响应轨线'）;
xlabel（'t（s）'）;
ylabel（'x（t）'）;
例4 已知某自动装置的控制系统的状态方程为：
试确定其系统的稳定性。
程序代码如下：
a=[12-12;2630;47-8-5;7216];
b=[-1001]';
c=[-2561];
d=7;
[z,p,k]=ss2zp（a,b,c,d）
ii=find（real（z）>0）%检验零点的实部；求取零点实部大于零的个数
n1=length（ii）;
jj=find（real（p）>0）%检验极点的实部；求取极点实部大于零的个数
n2=length（jj）;
%判断系统是否稳定
if（n2>0）
disp（'此系统不稳定极点是：
'）
disp（p（jj））
else
disp（'系统是稳定的！
'）
end
%判断系统是否为最小相位系统
if（n1>0）
disp（'此系统不是最小相位系统！
'）
else
disp（'此系统是最小相位系统！
'）
end
%绘制零极点图pzmap（p,z）
例4试用李雅普诺夫第二方法确定系统
的稳定性。
程序代码如下：
symsx1x2v;
A=[-1-1;1-4];%设置系统矩阵A
v=x1^2+x2^2;%选取李雅普诺夫函数
v1=A（1,1）*x1+A（1,2）*x2;%计算状态方程导数项
v2=A（2,1）*x1+A（2,2）*x2;%计算状态方程导数项
vder=simplify（jacobian（[v],[x1]）*v1+jacobian（[v],[x2]）*v2）%计算李雅
普诺夫函数的导数
即，表明系统是渐近稳定的。
例5判定下述实际控制系统的状态可控性。
（1）
（2）
（3）
判断可控性，子程序代码如下：
functionstr=pdctrb（A,B）
S=ctrb（A,B）;
r=rank（S）;
l=length（A）;
ifr==1
str='系统是状态完全可控的！
';
else
str='系统是状态不完全可控的！
';
end
主程序代码如下：
A1=[110;010;011];
B1=[010]';
str=pdctrb（A1,B1）
A2=[132;020;012];
B2=[21;11;-1-1];
str=pdctrb（A2,B2）
G=[-210;0-20;00-3];
H=[103;200]';
str=pdctrb（G,H）
例6已知系统的状态空间表达式为
，当采样时间T=5s,10.5s时，确定离散化后系统的可控性。
程序代码如下：
a=[11;2-1];
b=[1;2];
c=[11];
d=0;
str=pdctrb（a,b）
G=ss（a,b,c,d）;
T=5;
Gd1=c2d（G,T）;
g=Gd1.a;h=Gd1.b;
str=pdctrb（g,h）
T=10.5;
Gd2=c2d（G,T）;
g=Gd2.a;h=Gd2.b;
str=pdctrb（g,h）
由运行结果可知，此连续系统是状态完全可控的；当采样时间T=5s时，此离
散系统是状态完全可控的；当采样时间T=10.5s时，此离散系统不是状态完
全可控的。
因此，离散系统不同的采样时间影响着系统状态可控性。
例7已知系统的系数矩阵如下：
试判断该系统的可观性。
判断该系统的可观性，子函数代码如下：
functionstr=pdobsv（A,C）
s=obsv（A,C）;
r=rank（s）;
l=size（A,1）;
ifr==1
str='此系统是状态完全可观的！
';
else
str='此系统不是状态完全可观的！
';
end
主程序代码：
a=[010;001;-6-11-6];
c=[451];
pdobsv（a,c）
系统是状态不完全可观的，输出可以观测二维状态
例8已知控制系统的状态状态空间表达式为
试判断其状态可观性、可控性和传递函数之间的关系。
程序代码如下：
a=[-3-4;-10];
b=[41]';
c=[-1-1];
d=1;
G=ss（a,b,c,d）;
Gz=zpk（G）
str=pdctrb（a,b）
str=pdobsv（a,c）
[y,t,x]=step（G,36）;
plot（t,x,'r',t,y,'b'）;
gridon;
axis（[036-34]）;
title（'系统状态和单位阶跃输出曲线'）;
xlabel（'t（s）'）;
ylabel（'y（t）/x（t）'）;
由运行结果可知，该系统的传递函数为
，发生了s=1的零
极点对消。
因此，系统是不完全可控和不完全可观的。
由系统的单位阶跃输出
曲线可知，输出保持不变式，状态x1（t）和x2（t）却有很大变化，但正
、反正好相互抵消。
因此，不能从输出观测到系统状态的变化。
例9已知实际控制系统的系数矩阵
试判断它的可控性，并进行可控性分解。
程序代码如下：
A=[-22-1;0-20;1-40];
B=[001]';
C=[1-11];
pdctrb（A,B）
[Ab,Bb,Cb,T,K]=ctrbf（A,B,C）
例11 已知控制系统的传递函数为
，试求其
约当规范型。
程序代码如下：
num=[21];
den=[17148];
[r,p,k]=residue（num,den）;
A=diag（p）
B=ones（length（r）,1）
C=rat（r）
D=0
由运行结果可得到状态空间表达式的约当规范型：
例12 已知系统系数矩阵：
，试判断它的可控性。
如果完全可控将它化为可控规范型；如果不完全可
控找出它的可控子系统。
程序代码如下：
a=[200;041;004];
b=[1;0;1];
c=[110];
str=pdctrb（a,b）
由运行结果可知，系统是状态完全可控的，故可将它规范型。
T1=ctrb（a,b）
symss
dets=det（s*diag（diag（ones（size（a））））-a）;
dets=expand（dets）
计算第一可控规范型，程序代码如下：
Ac1=inv（T1）*a*T1
Bc1=inv（T1）*b
Cc1=c*T1
计算第二可控规范型，程序代码如下：
m=[100;-1010;32-101];
n=fliplr（T1）;
T2=n*m;
Ac2=inv（T2）*a*T2
Bc2=inv（T2）*b
Cc2=c*T2
由运行结果可知，控制器规范Ⅰ型为：
由运行结果可知，控制器规范Ⅱ型为：
习题1 已知某伺服控制系统的传递函数为
，求
其系统的状态空间表达式。
程序代码如下：
z=[-2-5];
p=[0-1-8];
k=1;
Gz=zpk（z,p,k）;
Gs=ss（Gz）
由结果显示可知，系统的状态空间表达式为：
习题2 已知采样控制系统的状态空间表达式为
试绘制系统的单位阶跃输出轨线。
绘制系统的单位阶跃输出轨线，程序代码如下：
a=[132;020;013];
b=[21;11;-11];
c=[100];
d=0;
G=ss（a,b,c,d）;
figure
（1）
step（G）
[y,t,x]=step（G）;
figure
（2）
plot（t,x（:
:
1）,'r',t,y（:
:
1）,'b'）;
grid;
figure（3）
plot（t,x（:
:
2）,'r',t,y（:
:
2）,'b'）;
gridon;
习题3 已知采样控制系统的状态方程为
试求其离散系统的传递函数矩阵。
程序代码如下：
G=[-1-3-2;020;012];
H=[2;1;-1];
C=[100];
symszn;
Gd=inv（z*eye（size（G））-G）*z
传递函数矩阵为：
习题4 已知控制系统的系统矩阵，确定其系统的稳定性。
（1）;
（2）
判定系统稳定性的子函数代码如下：
functionstr=pdwdx（A）
sys_root=eig（A）;
i=find（real（sys_root）>0）;
if~isempty（i）
str='此系统是不稳定！
';break;
else
str='此系统是稳定的！
';
end
主程序代码如下：
A1=[-2-2.5-0.5;100;010];
str=pdwdx（A1）
A2=[01;-35];
str=pdwdx（A2）
习题5 已知系统状态方程
，确定其李雅普诺夫函数。
程序代码如下：
symsx1x2v;
A=[-11;23];
a11=A（1,1）;
a12=A（1,2）;
a21=A（2,1）;
a22=A（2,2）;
H=[2*a11a21a210;0a12a122*a22;...
a12a22+a110a21;a120a11a22+a21];%计算矩阵H
B=[-1-100]';
p=inv（H）*B;%计算矩阵B
P=[p（1,1）p（2,1）;p（3,1）p（4,1）];
v=P（1,1）*x1^2+P（2,2）*x2^2+（P（1,2）+P（2,1））*x1*x2;%设置李雅普诺夫函数
v1=A（1,1）*x1+A（1,2）*x2;%计算状态导数项
v2=A（2,1）*x1+A（2,2）*x2;%计算状态导数项
vder=simplify（jacobian（[v],[x1]）*v1+jacobian（[v],[x2]）*v2）
由运行结果可知，
，不是正定函数，由李雅普诺夫
第二方法可知，此系统不是稳定的。
习题6 已知实际控制系统的系数矩阵为
试判断它的可观性，并进行其可观测性分解，找出它的可观测子系统。
程序代码如下：
A=[12-1;010;1-43];
B=[001]';
C=[1-11];
pdobsv（A,C）
[Ab,Bb,Cb,T,K]=obsvf（A,B,C）
习题7已知系统的状态空间表达式为
当采样时间T=5s,20s时，确定离散化后系统的可观性。
程序代码如下：
a=[11;2-1];
b=[1;2];
c=[11];
d=0;
str=pdobsv（a,c）
G=ss（a,b,c,d）;
T=5;
Gd1=c2d（G,T）;
g=Gd1.a;c=Gd1.c;
str=pdobsv（g,c）
T=20;
Gd2=c2d（G,T）;
g=Gd2.a;c=Gd2.c;
str=pdobsv（g,c）
由运行结果可知，离散系统不同的采样时间影响着系统状态可观性
习题8 已知控制系统的传递函数为
，试求其的约当规范型。
程序代码如下：
num=1;
den=conv（[1331],[169]）;
G=tf（num,den）;
G=ss（G）;
a=G.a
A=jordan（a）
习题9 已知控制系统的传递函数为
，将此系统
转换为观测器规范型。
程序代码如下：
num=[135];
den=[1794];
a=flipud（rot90（compan（den）））%求分母多项式的伴随阵，旋转九十度后将其
上、下反转
b=num'
c=zeros（1,length（a））;
c（1,1）=1
d=0
由运行结果可知，观测器规范型如下：
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