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行列式的计算技巧与方法汇总修改版

行列式的计算技巧与方法汇总（修改版）

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行列式的若干计算技巧与方法

内容摘要

1.行列式的性质

2.行列式计算的几种常见技巧和方法

2.1定义法

22利用行列式的性质

2.3降阶法

2.4升阶法（加边法）

2.5数学归纳法

2.6递推法

3.行列式计算的几种特殊技巧和方法

3.1

拆行（列）法

3.2

构造法

3.3

特征值法

几类特殊行列式的计算技巧和方法

4.1

三角形行列式

4.2

“爪”字型行列式

4.3

“么”字型行列式

4.4

“两线”型行列式

4.5

“三对角”型行列式

4.6

范德蒙德行列式

行列式的计算方法的综合运用

5.1

降阶法和递推法

5.2

逐行相加减和套用范德蒙德行列式

5.3

构造法和套用范德蒙德行列式

1.2行列式的性质

性质1

行列互换，行列式不变•即

性质2一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式•即

a11

a12

a1n

a11

a12

a1n

kaM

kai2

ka^

ai2

ain

an1

an2

ann

an1

an2

ann

性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）

一样•即

性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零•即

性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即

a11

a12

a1n

a11

a12

a1n

ai1cak1

ai2cak2

aincakn

ai1

ai2

ain

ak1

ak2

akn

ak1

ak2

akn

an1

an2

ann

an1

an2

ann

性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号•即

a11

a12

a1n

a11

a12

a1n

ai1

ai2

ain

ak1

ak2

akn

ak1

ak2

akn

=—

ai1

ai2

ain

an1

an2

ann

an1

an2

ann

性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零•即

anai2ai』-iain

00000.

an1an2an,n-1ann

2、行列式的几种常见计算技巧和方法

2.1定义法

适用于任何类型行列式的计算,

例1计算行列式

解析：

这是一个四级行列式，在展开式中应该有4!

24项，但由于出现很多的零，所以不

等于零的项数就大大减少•具体的说，展开式中的项的一般形式是a1jla2j2a3j3a4j4•显然，如

果ji4，那么ani0,从而这个项就等于零•因此只须考虑ji4的项，同理只须考虑

j23,j32,j41的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有ai4a23a32a4i，而

43216，所以此项取正号•故

000i

0020

0300

4000

432i

ai4a23a32a4i

24.

2.2利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形

.该方法适用于低阶行列式.

2.2.i化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:

aii

ai2

ai3

ain

a22

a23

a2n

a33

a3n

aiia22ann，

ann

iaia2

aii

a2i

a22

a3i

a32

a33

aiia22ann

ani

an2

an3

ann

例2计算行列式Dni

iaibia2

iaia2

anbn

解析：

观察行列式的特点,

主对角线下方的元素与第一行元素对应相同,

故用第一行的i

倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零•即：

化为上三角形.

解：

将该行列式第一行的

i倍分别加到第2,3•••（ni）行上去，可得

EEKbn

2.2.2连加法

这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素

均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算•这类计算行列式的方法称为连加法.

x2m

Xnm

XimX2

mXim

2.2.3滚动消去法

当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，

这种方法叫滚动消去法.

n1n

n2n1

n3n2n2.

解：

从最后一行开始每行减去上一行，有

2.2.4逐行相加减

对于有些行列式，虽然前尝试用逐行相加减的方法.

n行的和全相同,

但却为零.

用连加法明显不行，这是我们可以

例5计算行列式D

解:

将第一列加到第二列,

新的第二列加到第三列，

以此类推，得:

2n2

a1a2an

a1a2an.

2.3

降阶法

将高阶行列式化为低阶行列式再求解.

展开

2.3.1按某一行（或列）

例6解行列式Dn

解：

按最后一行展开，得

Dna1x

a2x

232按拉普拉斯公式展开

拉普拉斯定理如下：

设在行列式D中任意选定了k1kn-1个行.由这k行元素所组成

D.即

的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式

例7解行列式Dn

解：

从第三行开始，每行都减去上一行;

再从第三列开始，每列都加到第二列，得

2.4升阶法

就是把n阶行列式增加一行一列变成

n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算

那么升

行列式的方法叫做升阶法或加边法.升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子

0,这样就达到简化计算的效果.首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一

阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为其中，添加行与列的方式一般有五种：

般行列的位置.

例8解行列式D=

解：

使行列式

再将第一行的

D变成

1阶行列式，即

倍加到其他各行，得:

从第二列开始，每列乘以

1）

加到第一列，得:

2.5数学归纳法

有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明•对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法.

COS

2cos

例9计算行列式Dn

2cos

解：

用数学归纳法证明•

1时，D1cos

cos

2cos

k1时，Dk1

2cos

2cosDkDki.

因为

coskcossinksin

Dkcosk,Dk1cosk1cosk

所以

Dk12cosDkDk1

2coscoskcoskcossinksincoskcossinksin

cosk1.

这就证明了当nk1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立.

即：

Dncosn.

2.6递推法

技巧分析：

若n阶行列式D满足关系式

aDnbDn1cDn20.

则作特征方程

ax2bxc0.

①若

0,则特征方程有两个不等根,

则

Ax；1Bx；1

②若

0，则特征方程有重根x1

X2，

则D

nAnBx；1

在①②中，

A，B均为待定系数，可令

1,n

2求出.

例10计算行列式Dn

解：

按第一列展开，得

Dn9Dn120Dn2•

即

Dn9Dn120Dn20-

作特征方程

x29x200.

解得

x14,x25.

则

DnA?

4n1B?

5n1.

当n1时，9AB；

当n2时，614A5B.

解得

A16,B25,

所以

Dn5n14n1.

3、行列式的几种特殊计算技巧和方法

3.1拆行（列）法

3.1.1概念及计算方法

拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和,

然后再求行列式的值•拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和.

3.1.2例题解析

1a1

1a2

例11计算行列式Dn

1a3

1an1

解：

把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得

1a3

an1

1an

1an1

1an

1a3

1an1

上面第

•个行列式的值为

1,所以

2a3

1an1

1an

1alDn1.

这个式子在对于任何nn2都成立，因此有

Dn1a1Dn1

11a2Dn2

1a〔a〔a2

1n1a1a2an

nii

11aj.

i1j1

3.2

构造法

3.2.1

概念及计算方法

有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原

行列式的值.

3.2.2

例题解析

例12

求行列式Dn

值.

构造n1阶的范德蒙德行列式，得

X2Xn

将

按第n

1列展开，得

其中，X的系数为

‘nn1

An,n11DnDn.

又根据范德蒙德行列式的结果知

fXX

X2XXn

XiXj

1jin

由上式可求得xn

1的系数为

XnX

Xj.

1jin

故有

XXj.

1ji

3.3特征值法

3.3.1概念及计算方法

设1?

2,n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式

故只要能求出矩阵

A的全部特征值，那么就可以计算出

A的行列式.

3.3.2例题解析

例13若1,2,

n是n级矩阵A的全部特征值，证明：

A可逆当且仅当它的特征值全不为

零.

证明：

因为A12

n，则

A可逆A0

12n0i0i1,2n

n・

即

A可逆当且仅当它的特征值全不为零.

4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法

4.1三角形行列式

4.1.1概念

a11a12

a13

a1n

a11

a22

a23

a2n

a21

a22

a33

a3n

a31

a32

a33

ann

an1

an2

an3

ann

形如

这样的行列式,

行列式.

“三角形”

形状像个三角形,

故称为

计算方法由行列式的定义可知,

4.1.2

a11

a12

a13

a1n

a11

a22

a23

a2n

a21

a22

a33

a3n

a11a22ann，

a31

a32

a33

ann

an1

an2

an3

ann

字型行列式

“爪”

a〔1a?

nn・

4.2

4.2.1

a。

概念

形如

这样的行列式,

形状像个

"爪”字，故称它们为

“爪”

字型行列式.

4.2.2

计算方法

a。

利用对角线消去行列式中的“横线”

或“竖线”

，均可把行列式化成“三角形”行列式•此

方法可归纳为：

“爪”字对角消竖横.

4.2.3例题解析

例14计算行列式

，其中ai0,i1,2,n.

i（i2,3,n.）列元素乘以

分析：

这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第

—后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式.ai

i2ai

4.3.1

a。

b1b2

a。

anCn

概念

形如

a。

hc2

a。

C1a。

a1b1

这样的行列式

形状像个

“么

a。

字型行列式.

称它们为

“么”

”字，因此常

4.3.2计算方法

利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式•此方法可以归纳为：

“么”字两撇相互消.

an消去Cn,然后再用an1消

注意：

消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，禾U用去Cn1，依次类推.

433例题解析

11b1

例15计算n1阶行列式Dn1

解：

从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得

・4n1

bn1

对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明.

4.5.3例题解析

例17求行列式Dn

解：

按第一列展开，得

ab00000

1abab000

Dna

bDn1

abDn1abDn2

变形，得

naDn

1bDn1

aDn

由于D1

ab,D2

b2,

从而利用上述递推公式得

an1b

abn1

bn.

4.6Vandermonde

行列式

4.6.1

概念

a〔a?

形如

a〔a?

a；

这样的

行列式，成为

n级的范德蒙德行列式

n1n1

a〔a?

4.6.2

计算方法

aiaj

通过数学归纳法证明

月，可得

1ji1

务

463例题解析

例18求行列式Dn

n1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的

解：

虽然Dn不是范德蒙德行列式，

值.

构造n1阶的范德蒙德行列式，得

将fX

按第

n1列展开,

得

A1,n1

A2,n1X

八n

An,n1X

1An

其中，Xn1的系数为

An,n1

又根据范德蒙德行列式的结果知

XX-1

XX2

由上式可求得

Xn1的系数为

X2X

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