著名机构七年级数学春季班讲义第11讲全等三角形的概念和性质及判定一马秋燕.docx
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著名机构七年级数学春季班讲义第11讲全等三角形的概念和性质及判定一马秋燕
本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单．
全等形、全等三角形及其相关的概念
（1）全等形：
能够重合的两个图形叫做全等形.
（2）
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．
如下图所示：
已知：
△ABC≌DFE，A与D，B与F是对应顶点，则：
（C与E是对应顶点）
对应边有：
AB与DF，AC与DE，BC与FE．
对应角有：
．
全等三角形的数学语言：
三角形ABC与三角形A′B′C′全等，记作△ABC≌△A′B′C′，读作“三角形ABC全等于三角形A′B′C′”．
全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的面积相等，周长相等；
（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等．
全等三角形中应注意的问题：
（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；
（2）符号“≌”表示的双重含义：
①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等；
（3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上；
画三角形：
确定三角形形状、大小的条件：
六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素：
两角及其夹边；两边及其夹角；三边.
【例1】下列说法正确的是（）
A．全等三角形是指形状相同的三角形
B．全等三角形是指面积相等的三角形
C．全等三角形的周长和面积都相等
D．所有的等边三角形都全等
【难度】★
【答案】
【解析】
【例2】直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）
A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等
【难度】★
【答案】
【解析】
【例3】如图所示，△ABC≌△CDA，且AB＝CD，则下列结论错误的是（）
A．∠1＝∠2B．AC＝CAC．∠B＝∠DD．AC＝BC
【难度】★
【答案】
【解析】
【例4】下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（）
A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边
【难度】★
【答案】
【解析】
【例5】练习画出下列条件的三角形：
（1）画
使
；
（2）画
使
；
（3）画
使
；
（4）画
使
．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例6】下列说法：
①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等
三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB=DE，BC=EF，AC=DF，则两个三角形的关系，可记作△ABC≌△DEF，其中说法正确的是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例7】下列说法中错误的是（）
A．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角
B．全等三角形的公共边也是对应边
C．全等三角形的公共顶点是对应顶点
D．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例8】如图所示，
分别沿着
边翻折形成的，
若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（）
A．80°B．100°C．60°D．45°
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例9】如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE
交AD于F.
（1）∠DEF和∠CBE相等吗?
请说明理由；
（2）请找出图中与ED相等的线段（不另添加辅助线和字母），并说明理由.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例10】如图所示，
，
．求：
（1）
的度数；
（2）
的长．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例11】如图，在△ABC中，∠A：
∠B：
∠ACB=2:
5:
11，若将△ABC绕点C逆时针旋
转，试旋转前后的△A’B’C’中的顶点B’在原三角形的边AC的延长线上，求∠BCA’的度数．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例12】如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，交AE的延长线于G，
∠ACB=1050，∠CAD=100，∠ADE=250，求∠DFB和∠AGB的度数．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例13】
如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时.
（1）写出
图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少?
（用含有x或y的代数式表示）（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例14】如图
（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD
的位置；如图
（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换.在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换，问题：
如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
本模块复习了全等三角形的4个判定定理，主要是已知条件为“两边及夹角对应
相等（SAS）”，“两角及夹边对应相等（ASA）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS）”“三边对应相等（SSS）”的两个三角形全等．
【例15】
如图，已知∠B=∠D，∠1=∠2，AC=AE，说明△ABC≌△ADE的理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例16】如图，已知∠C=∠E，BE=CD，说明△ABE与△ADC全等的理由，AB与AD
相等吗?
为什么?
【难度】★
【答案】
【解析】
【例17】
如图，已知AD=BC，AE=BE．说明AC=BD，∠C=∠D的理由．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例18】如图，已知AB=CD，AD=BC，说明∠A=∠C的理由．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例19】如图，已知BD是△ABC的中线，B、D、E、F在一条直线上，且AE∥CF，
说明△ADE与△CDF全等的理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例20】
如图，已知AC∥BD，AC=BD，
（1）说明△AOC与△BOD全等的理由；
（2）说明EO=FO的理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例21】
如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，OD=OE，说明AB=AC的理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例22】如图，已知AD∥BC，BF∥DE，AE=CF．
（1）
△ADE与△CBF全等吗，为什么?
（2）说明AB=CD的理由；
（3）图中有哪几对全等三角形?
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例23】如图，已知AB=CD，BM=CM，AC=BD，说明AM=DM的理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例24】如图，∠1=∠2，AC=BD，E、A、B、F在同一条直线上，
说明：
∠CAD=∠DBC的理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例25】如图所示，AB=AC，CE=BE，连结AE并延长交BC于D，说明AD⊥BC的理
由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例26】
如图所示，BE、CD相交于O，AB=AC，AD=AE，说明OD=OE的理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例27】如图，已知AB⊥BD，DE⊥BD，AB=CD，BC=DE．试说明：
AC⊥CE，若将
CD沿CB方向平移得到图
（2）（3）（4）（5）的情形，其余的条件不变，
结论AC1⊥C2E还成立吗?
请说明理由．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例28】如图，线段BE上有一点C,以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边三角形
ABC、DCE，连结AE、BD，分别交CD、CA于Q、P．
（1）找出图中的一组相等的线段（等边三角形的边长相等除外），并说明你的理由；
（2）取AE的中点M、BD的中点N，连结MN，试判断△CMN的形状．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例29】如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连
接AF、BD．
（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题
（1）中猜想的结论是否仍然成立?
若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【习题1】下列命题中正确的是（）
A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等
C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题2】如图，△ABD≌△CDB，且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是（）
A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD．AD∥BC，且AD=BC
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题3】如图，折叠长方形ABCD，使顶点D与BC边上的N点重合，如果AD=7厘
米，DM=5厘米，∠DAM=390，则AN=厘米，NM=____________厘米，
∠NAB=．
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题4】
尺规作图作
的平分线方法如下：
以
为圆心，任意长为半径画弧交
、
于
、
，再分别以点
、
为圆心，以大于
长为半径画弧，两弧交于点
，作射线
由作法得
的根据是（）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题5】如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据__________；
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据__________；
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据__________；
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF．则△ACE≌△BDF，根据__________．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题6】如图，已知△ABC≌△ADE,∠CAD=150，∠DFB=900，∠B=250．
求∠E和∠DGB的度数．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题7】如图：
A、E、F、C四点在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作BE⊥AC、
DF⊥AC，且AB∥CD，AB=CD．试说明：
BD平分EF．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题8】如图所示，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B＝40°，∠C＝30°，
（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B和A在同一直线上?
（原△ABC是指开始位置）
（2）再继续旋转多少度时，点C、A、C'在同一直线上?
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题9】已知：
如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC
于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连结AE、CD．
试说明：
△AGE≌△DAC．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题10】在∠O的两边上分别取点A、D和B、C，连接AC、BD相交于P．
（1）若∠A＝∠B，PA＝PB，试说明OA＝OB的理由；
（2）若OA＝OB，PA＝PB，试说明PC＝PD的理由．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【习题11】如图，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，绕着顶点A旋转后位置如下：
（1）当C、A、D在同一直线上，说明CE与BD有何关系?
为什么?
（2）当△ADE再继续旋转到
（2）、（3）、（4）的位置后，CE与BD又有何关系．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【作业1】
如图，△ABC≌△ABD，C和D是对应顶点，若AB=6cm，AC=5cm，BC=4cm，
则AD的长为_________cm．
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业2】如图，给出下列四组条件：
①
；
②
；
③
；
④
．
其中，能使
的条件共有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业3】下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（）
A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业4】已知△ABC≌△DEF,若△ABC的周长为32，AB=8，BC=12，则DE=_______，
DF=_______，EF=_______．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业5】
如图△ACE≌△DBF，AE=DF，CE=BF，AD=8，BC=2．
（1）求AC的长度；
（2）说明CE∥BF的理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业6】
如图，已知△ABC≌△AED，AE=AB，AD=AC，∠D-∠E=200，∠BAC=600，
求∠C的度数．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业7】如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，点C在线段AB上，AE、BD分别
与CD、CE交于点
M、N，有如下结论①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中正确的结论是_______________，证明正确的结论．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业8】
如图，AD⊥AB，AC⊥AE，且AD＝AB，AC＝AE．
试说明：
DC＝BE，DC⊥BE．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业9】如图，已知AE=CF，∠DAF=∠BCE，AD=CB．
（1）问△ADF与△CBE全等吗?
请说明理由；
（2）如果将△BEC沿CA边方向平行移动，可有图中3幅图，如上面的条件不变，
结论仍成立吗?
请选择一幅图说明理由．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业10】
如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，BE
与CD相交于点F．
（1）请说明△ABE≌△ADC的理由；
（2）求∠1的度数．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
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