广东省中考数学疑难问题突破代数综合题.docx
《广东省中考数学疑难问题突破代数综合题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省中考数学疑难问题突破代数综合题.docx（21页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
广东省中考数学疑难问题突破代数综合题
广东省中考数学疑难问题突破——代数综合题
一、题型分析
代数综合题是广东中考数学第23题的内容，主要考查一次函数、反比例函数、二次函数以及三角函数的相关知识，突出考查待定系数法和方程思想的运用能力，数形结合和分类讨论的数学思想方法。
本题一般有三个小问，第
（1）小问不会太难，起点低、入口宽，考生容易上手，在解答时此小问的分数要一定拿到；第
（2）小问的难易程度中等，计算时要严谨，答题格式要规范，此小问的分数要力争拿到；第（3）小问偏难，留给学生的思考空间较大，要学会抢得分点，理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平。
这样就大大提高了本题的得分率。
二、学情分析
学生在八年级时就学习了一次函数，九年级学习了反比例函数及二次函数，具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础。
但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，在应用与理解时并不是很熟练、透彻，还需通过一些具体实例进一步加深巩固，对于规律性的问题，需进一步加强训练。
因此在教学时，教师应结合学生的实际和认知状况，选择典型的例题，启发学生从实例中归纳总结出代数综合题的解题策略，加深理解，轻松应考。
三、教学任务分析
本题型以函数为背景，在考查函数基本性质的基础上更加注重考查学生的综合能力，根据学生实际情况的分析，我制定了以下教学目标：
1.能通过函数图象获取信息，会用待定系数法求函数解析式；会用方程思想求特殊点的坐标；熟练求面积、求最值的方法。
2.在探究过程中，发展数形结合、分类讨论的思想方法，体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。
教学重点：
1.掌握函数的图象与性质，会用待定系数法求解析式；
2.掌握函数图象与几何图形的联系，会用方程思想求特殊点的坐标。
教学疑难点：
熟练求面积、求最值的方法，会运用数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思
想的方法解决问题。
四、教法与学法分析
教学方法：
针对九年级学生的年龄特点和本校的实际情况，遵循学生的认知规律，关注基础知识，关注基本技能，强化数学思想，采用引导发现法、讲练结合法为主的教学方法，让学生充分经历探究代数综合题的解答过程。
同时借助多媒体为辅进行演示、以增加课堂容量和教学的直观性。
学法指导：
结合本节课的内容以及学生的心理特点，在学法上，引导学生采用自主探究与合作交流相结合的方法，让学生经历观察思考，交流讨论，归纳总结，以及将解题方法推广应用的过程。
五、教学流程分析
复习引入
一次函数与反比
例函数综合题
题型突破
一次函数、二次函数
与三角函数综合题题
必做题
作业布置
选做题
方法总结
变式关系
变式训练
方法总结
对应精练（例2）
知识考点
变式关系
变式训练
对应精练（例1）
知识考点
六、教学过程分析
（一）复习引入
提问：
（1）什么是一次函数、反比例函数、二次函数？
（2）一次函数、反比例函数、二次函数的图象是什么？
（3）一次函数、反比例函数、二次函数具有什么性质？
（二）题型突破
类型一一次函数与反比例函数综合题
【知识考点】
（1）根据图形直接写出大于或小于时，自变量的取值范围；
（2）一次函数与反比例函数解析式的确定；
（3）确定题目中三角形及有关图形的面积；
（4）求图象的交点坐标；
（5）求最短距离；
（6）一次函数与反比例函数的综合应用。
【对应精练】
例1.（2014年广东中考题）如图，已知，B（-1,2）是一次函数y=kx+b
ç2⎪
与反比例函数y=m（m≠0,m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D。
x
（1）根据图象直接回答：
在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值?
（2）
求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标。
解题思路：
审题
第
（1）小问
（一定拿到）
观察函数图像，当-4＜x＜-1时，一
次函数图像都在反比例函数图像上方
问题分析
第
（2）小问
（力争拿到）
把B点坐标代入y=可计算出m的值
m
x
设P点坐标为x,x+
⎛
ç
1
5⎫
⎝
2
2⎪
⎭
第（3）小问
（争取拿到）
求出△PCA的底边AC和△PDB的
底边BD，再用含x的代数式表示出△PCA的高和△PDB的高
解答
由△PCA和△PDB的面积相等，可列出
方程，解方程则可确定P点坐标
利用待定系数法求一次函数解析式
解：
（1）由图象，当-4（2）把A,B（－1，2）代入y=kx+b，得
ç2⎪
∴一次函数的解析式为y=1x+5
2
把B（－1，2）代入y=m，得
x
2
m=-2，即m的值为－2.
（3）如图，设点P的坐标为（x，1x+5），过点P作PE⊥x轴于E，交DB的延长
22
线于F.
由A（-4，1）、B（-1，2）、P（x,1x+5）可知
222
115
AC=
2
，OC=4，BD=1，EF=OD=2，OE=-x，PE=x+，
22
∴△PCA的高CE=OC-OE=4-（-x）=x+4，
△PDB的高PF=EF-PE=2-（1x+5）=-1x-1，
S∆PCA=S∆PDB，
2222
∴1AC⨯CE=1BD⨯PF
22
即1⨯1（x+4）=1⨯1⨯（-1x-1），解得x=-5，此时1x+5=5
222222224
∴P点坐标为（-5，5）
24
【方法总结】
（1）看到求函数的解析式，想到利用待定系数法；
（2）看到交点坐标，想到是两个函数关系式组成方程组的解；
（3）看到面积，想到三角形面积公式，根据面积相等，建立方程，可求点的坐标.
【变式训练】
1.（2015年广东中考题）如图，反比例函数y=k（k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x
x
相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确实一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐
标.
解题思路：
审题
第
（1）小问
（一定拿到）
k
把D点坐标代入y=可求出k的值
x
k
问题分析
第
（2）小问
（力争拿到）
x
将k的值代入y=求出反比例函数解析式
解方程组⎪
⎧y=3x
⎨1
⎪y=
即可求出点C的坐标
⎩x
求最短距离想到作点C关于y轴的对
称点C′，连接C′D交y轴于点M
第（3）小问
（争取拿到）
将C′、D的坐标代入y=kx+b
即可求出直线C′D的解析式
解答
点M在y轴上，将x=0代入直线C′D
的解析式即可求出点M的坐标
由A点坐标及AB=3BD求出D点坐标
解：
（1）∵A（1，3），
∴OB=1，AB=3，又AB=3BD，
∴BD=1，
∴D（1，1），
将D（1,1）代入反比例函数y=k得：
k=1；
x
（2）由
（1）知反比例函数的解析式为y=1，
x
∴点C的坐标为（3，3）；
3
（3）如图，作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于点M,则d=MC+MD
最小，
∴C′（-3，3）.
3
设直线C′D的解析式为y=kx+b，
将C′（-3，3）、D（1，1）代入y=kx+b，得
3
3
⎪
⎧=-3k+b
⎨3
⎧⎪k=3-2
3
，解得⎨
⎪⎩1=k+b
⎪⎩b=-2+23
∴直线C′D的解析式为y=（3-2
3）x+2
3
-2，
当x=0时,y=23-2，
∴点M的坐标为（0，23-2）.
【变式关系】
本题在例1的基础上，将求面积改成求最短距离，形式虽然改变，但解题方法、思路不变，都是代入求值、求解析式、用方程的思想求点的坐标，有助于训练同学们对一次函数与反比例函数知识的应用。
类型二一次函数、二次函数与三角函数综合题
【知识考点】
（1）理解一次函数与二次函数交点坐标的意义；
（2）用待定系数求解函数解析式；
（3）三角函数的定义及公式；
（4）数形结合和分类讨论的数学思想.
（5）一次函数、二次函数与三角函数的综合应用。
【对应精练】
例2.（2017年广东中考题）如题23图，在平面直角坐标系中，抛物线
y=-x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的
一点，直线BP与y轴相交于点C.
（1）
求抛物线y=-x2+ax+b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在
（2）的条件，求sin∠OCB的值.
解题思路：
审题
第
（1）小问
（一定拿到）
将点A、B的坐标代入y=-x2+ax+b中，
求解方程组，则可求出抛物线的解析式
问题分析
第
（2）小问
（力争拿到）
设点C的坐标为（0，t），从而得点P的坐标
将点P的坐标代入y=-x2+4x-3中，求出t的值，则可得点P、C的坐标
由点B、C的坐标，利用
勾股定理可得BC的长
解答
第（3）小问
（争取拿到）
利用锐角三角函数，则可求sin∠OCB的值
解：
（1）将A（1，0），B（3，0）代入y=-x2+ax+b得
⎧-1+a+b=0⎧a=4
⎩-9+3a+b=0⎩b=-3
所以，抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.
（2）设点C的坐标为（0，t）,
∵点P是线段AB的中点，
∴点P的坐标为（3
2
又∵P在抛物线上
，t），
2
∴将P（3，t）代入y=-x2+4x-3得
22
t⎛3⎫233
=-ç⎪+4⨯-3，即t=
2⎝2⎭22
∴点P的坐标为（3，3
24
），点C的坐标为（0，3）
2
32+ç⎪
⎛3⎫2
⎝2⎭
35
3
（3）在RtΔBOC中，OB=3,OC=
2
BC==
2
∴sin∠OCB=0B=3
BC35
2
【方法总结】
=25
5
（1）看到点坐标，想到代入求值或点到坐标轴的距离；
（2）看到求二次函数的解析式，想到寻找点坐标或对称轴或抛物线与x轴的交点；
（3）看到角度，想到三角函数，利用方程思想求点的坐标.
【变式训练】
1.（2018年广东中考题）如图，已知顶点为C（0，-3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与
x轴交于A、B两点，直线y=x+m过顶点C和点B.
（1）求m的值；
（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）
抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解题思路：
审题
第
（1）小问
（一定拿到）
问题分析
第
（2）小问
（力争拿到）
把点B、C的坐标代入y=ax2+b中，
求解方程组，则可得二次函数的解析式
设M点坐标为x,x-3
⎛
ç
1
2⎫
⎝
3
⎪
⎭
第（3）小问
解答
（争取拿到）
分类讨论确定点M的位置，在直线BC上方
或下方，连接CM，由等腰直角△COB得
∠OCB=45°，从而得到∠OCM=30°或60°
利用锐角三角函数求出x的值，
则可求出点M的坐标
把C点坐标代入y=x+m可求出m的值
求出点B的坐标
解：
（1）∵直线y=x+m过点C（0，-3），
∴-3=0+m，解得m=-3.
（2）由
（1）知，一次函数的解析式为y=x-3，
∵B点是直线y=x-3与x轴的交点，
∴B点的坐标为（3，0）.
将B（3，0），C（0，-3）代入y=ax2+b，得
3
所以，抛物线的解析式为y=1x2-3.
（3）存在，理由如下：
设点M的坐标为
∵∠COB=90°,OB=OC=3
∴△COB为等腰直角三角形
∴∠OCB=45°
1
①当点M在直线BC上方时，如图点M1,过点M1作M1F⊥y轴于F，连接CM1，则MF=x,OF=1x2-3,CF=OF+OC=1x2-3+3=1x2
333
∠FCM1=∠OCB-∠M1CB=45°-15°=30°
在Rt△FCM1中，
1
∵tan∠FCM=M1F
CF
3
∴tan30°=
x=3
1x23
3
解得x=3
∴1x2-3=1⨯（33）2-3=6
33
3
所以，点M1的坐标为（3，6）.
②当点M在直线BC下方时，如图点M2,过点M2作M2E⊥y轴于E，连接CM2，
∠OCM2=∠OCB+∠BCM2=45°+15°=60°
在Rt△ECM2中，
2
∵tan∠ECM=M2E
3
3
CE
∴tan60°=
x=
1x2
3
解得x=
∴1x2-3=1⨯（3）2-3=-2
33
3
所以，点M2的坐标为（，-2）.
3
3
综合上述，符合条件的点M有两个，M（3，6）或M（
，-2）.
【变式关系】
本题相比例2考查的知识点较广，难度较大，以数形结合和分类讨论的数学思想方法设置问题，但解题思路、方法未发生改变，都考查了点的坐标的定义、两点间坐标公式、一次函数、二次函数、解方程组、锐角三角函数等基础知识的理解与掌握，突出考查了待定系数法和方程思想的运用能力。
此类变式题目有助于提升与训练同学们的解题思维能力。
（三）作业布置
【必做题】
1.（2016年广东中考题）如题23图，在直角坐标系中，直线y=kx＋1（k≠0）与
双曲线y
=2（
x
x＞0）相交于点P（1，m）.
（1）求k的值；
（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（）；
（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N
式，并求出抛物线的对称轴方程.
（0，5
3
），求该抛物线的函数解析
【选做题】
2.（2013年广东中考题）已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0,0）时,求二次函数的解析式；
（2）如题23图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标；（3）在
（2）的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?
若P点存在,求出P点
的坐标；若P点不存在，请说明理由.
升级会员 