指数函数教学设计.docx

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指数函数教学设计

指数函数

怎么引入好?

方法一

前面我们学习了函数的概念、函数的表示法、函数的图象以及函数的性质。

函数是刻画两个变量之间关系的一种数学模型，比如，刻画正方形的面积y与边长x之间关系的函数模型就是y=x2，这是一个二次函数模型。

再比如，上海与南京之间的距离是300km，刻画行车时间y与速度x之间关系的函数模型就是y=

，这是一个反比例函数模型。

显然，现实世界中还有一些变量之间的关系不能用一次函数、二次函数、反比例函数这样的模型来刻画，你能举个例子吗？

如果困难，教师可以举引例。

比如，1个细胞进行分裂。

细胞分裂1次，由一个分裂成2个；分裂2次，成为4个；.…，分裂x次成为y个，y与之间的关系可以用y=2x来刻画。

你能够举出其他类似的例子吗？

对每一个例子，都要求说出，自变量所表示的意义；定义域是什么，对应法则（怎样对应），即作为一个函数的要素。

为什么这么设计?

（1）函数是数学的核心概念，对它的理解不是一次完成的。

学习一些具体的函数有利于加深对函数概念的理解。

（2）指数函数、对数函数、幂函数是重要的基本初等函数（共5个，还有三角函数、反三角函数），是研究其他函数的基础。

（3）基本初等函数在实际中也有着广泛的应用。

这个导语自然，起着“先行组织者”的作用。

指数函数是基本初等函数中的第一个函数，同学可以想见还要学习其他各种各样的函数。

这就是一个导游图。

模型思想是重要的数学思想。

刻画变量之间的关系需要各种模型。

方法二

同学们在初中学习过二次函数y＝x2，想过没有，把右边的底数与指数换一换，成为y＝2x。

这样指数成为自变量，而底数是常数。

在生活中有这样的函数吗？

请你举例。

学生举的例子可能有：

信息传播；

棋盘中放硬币；

银行存款，等等。

对每一个例子，都要求说出，自变量所表示的意义；定义域是什么，对应法则（怎样对应），即作为一个函数的要素。

设计意图：

引导学生从数学的内部提出问题，给学生提出问题以示范。

然后再从生活中寻找实例来印证这样的函数是客观存在的。

不是从具体实例抽象出指数函数的概念。

让学生参与指数函数定义的过程。

尤其是，对a的限制条件，是学生讨论的结果，原因很清楚。

让学生了解知识的来龙去脉，发生、发展的过程。

由关系ab=N，其中一个作为常量，另外两个一个作为自变量，一个作为因变量可以提出几个函数，引导学生发现问题。

也为今后对数函数、幂函数的提出打下伏笔。

都由此派生。

方法三

从生活中指数函数的具体例子引入．

实际例子主要有：

细胞分裂，14C衰减，折纸问题，垃圾增长，复利储蓄等．

设计意图

（1）加强数学与生活实际的联系。

从生活中指数函数的具体例子引入，便于让学生感受指数函数与实际生活的联系，感受指数型增长模型．但有些问题情境文字量过大，涉及某些新的概念（如半衰期），与学生日常生活有较大距离．

一、定义的过程

1．引子

T：

同学们在初中学习过二次函数y＝x2，想过没有，把右边的底数与指数换一换，成为y＝2x。

这样指数成为自变量，而底数是常数。

在生活中有这样的函数吗？

请你举例。

学生举的例子有：

信息传播；

棋盘中放硬币；

银行存款，等等。

对每一个例子，都要求说出，自变量所表示的意义；定义域是什么，对应法则（怎样对应），即作为一个函数的要素。

2．出初步定义

T：

我们把函数y＝ax

称为指数函数。

3．对底数的限制

T：

对常数a要不要有什么限制？

这个函数的定义域是什么？

学生举例，当a取负数时，自变量的取值十分麻烦，断断续续。

学生感受到若a取负数极不方便，应该让a取正数；同时，不应让自变量x的取值断断续续，因此，应该使自变量x的取值范围是R。

学生能理解为什么a≠1，那是因为没有研究的价值。

经过学生的讨论，达成共识。

完善定义：

函数y＝ax（a＞0，a≠1）

称为指数函数。

即自变量在指数位置的函数。

（y=2·3x是不是指数函数？

）

设计的意图：

引导学生从数学的内部提出问题，给学生提出问题以示范。

然后再从生活中寻找实例来印证这样的函数是客观存在的。

不是从具体实例抽象出指数函数的概念。

让学生参与指数函数定义的过程。

尤其是，对a的限制条件，是学生讨论的结果，原因很清楚。

让学生了解知识的来龙去脉，发生、发展的过程。

由关系ab=N，其中一个作为常量，另外两个一个作为自变量，一个作为因变量可以提出几个函数，引导学生发现问题。

也为今后对数函数、幂函数的提出打下伏笔。

都由此派生。

二、性质的发现

大屏幕上显示，当场用几何画板软件制作指数函数的图象。

并缓慢拖动点A，使得a由小到大变化，跟踪图象显示踪迹（图1）。

（我发现，此刻同学们聚精会神地看着老师制作。

）

图1

提出问题：

请观察图象，你能发现指数函数有哪些性质？

看谁发现得多！

请4人板演。

同学们发现的指数函数性质有：

（1）图象都过（0，1）点。

（2）定义域是（－∞，＋∞）。

（3）值域是（0，＋∞）。

（4）不是奇函数，也不是偶函数。

（5）当a＞1时，函数单调增；

当0＜a＜1时，函数单调减。

（6）函数y＝ax的图象与函数y＝（

）x的图象关于y轴对称。

（7）1＜a＜b时，若x＞0，则ax＜bx；若x＜0，则ax＞bx；

0＜a＜b＜1时，若x＞0，则ax＜bx；若x＜0，则ax＞bx。

（8）图象是下凸的。

（9）处处连续。

（10）对于每一个y只有一个与它对应的x。

（有学生已经在注意逆向的对应，为反函数的提出埋下伏笔。

）

评价：

（1）教师问：

把“都过（0，1）点”作为第一条性质的请举手。

结果绝大多数同学举起了手。

（2）作为函数当然应该关心它的定义域、值域。

（3）紧接着关心奇偶性，很好。

这样许多事情的研究可以减半（事半功倍）。

（4）对于第（7）条。

我说，你写的比较复杂，字又小，后面的同学看不见。

你曾经说过华罗庚说过的话“数缺形时难直观”，你能否画个图来说明一下，让同学们明白说的是怎么回事。

他画出图2做了说明，并画出了直线y＝1（虚线）。

图2图3

教师又动态演示一遍。

（自下而上拖动点A，提醒学生只观察y轴右边）

最后归纳成：

在y轴的右边，自下而上底数a越来越大。

T：

你能证明这个性质吗？

在教师的帮助下，取x＝1（如图3，画出直线x＝1），显然有1＜a1＜b1时，若x＞0，则ax＜bx。

T：

你为什么要画这条虚线呢？

（指着虚线y＝1）

S：

它把上半部分分成4块了。

T：

那又怎么样呢？

S：

当a＞1，x＞0时，y＞1。

（指着该图象的相应部分）

T：

噢。

再说下去。

S：

当a＞1，x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1。

T：

当0＜a＜1时呢。

我请另外一个同学说一下。

提问另一个学生。

他正确地回答了问题。

这样指数函数的性质就有了10条。

感悟：

（1）教师创设情境，让学生自己观察、发现指数函数的性质，不是教师罗列、告诉他们。

结果是他们自己获得的，“绝知此事要躬行”！

（2）不仅要求发现性质，还要求“看谁发现得多”。

学习的积极性、注意力被调动起来了，进入主动的紧张的思维状态。

这一要求使得学生不会发现一个、两个就罢，而是要争上游，尽可能多发现。

起了促进作用。

（3）板演。

暴露学生发现性质的过程，观察学生的思维过程（比如顺序），也给后面的评价做了必要准备。

（4）事实证明，他们发现了老师没有想到的性质，如（7），（8），（9）三条。

同伴会发现，有人在自学，走到了我的前面。

对不甘落后的同学是一个激励，是榜样。

青年学生有好胜、好强的心理倾向。

（5）绝大多数同学（可以说全体）都把“图象都过（0，1）点”作为指数函数的第一条性质，这说明，这个特征最明显。

所谓性质，就是指在变化中不变的特征。

学生对变动的函数图象进行观察，容易发现这一点“不动点”。

（6）教学的目的不是为了把教科书上的表格搬到黑板上去。

教学内容的呈现方式不同，直接影响着教学效果。

应该追求的是，学生对指数函数性质的体验、感悟，而不是形式化后的教科书中的关于指数函数性质的那个表格的获得。

教学的立意很重要。

三、性质的证明

T：

观察得到的性质还不能成为数学结论，需要证明。

T：

对于（8）、（9）老师也不会证明，以后有机会，请他们二位来证明。

——解铃还需系铃人。

写出性质（6）的学生对（6）做了说明。

教师注意突出本质：

证明图形的对称实际是证明点的对称，“点动成线”。

因为，若P（x，y）是函数y＝ax图象上的任意一点，则P’（－x，y）在函数y＝（

）x的图象上，而P（x，y）与P’（－x，y）关于y轴对称，所以，函数y＝ax的图象与函数y＝（

）x的图象关于y轴对称。

要求全体证明“当a＞1时，函数单调增”。

经过观察发现，有学生通过作比

，证明

＞1来证明f（x2）＞f（x1）。

无论是作差还是作比，都要用到结论：

当a＞1，x＞0时，ax＞1。

以上教学过程仅供你教学设计参考。