苏科版八年级下册第9章《中心对称图形平行四边形》综合题专练五.docx

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苏科版八年级下册第9章《中心对称图形平行四边形》综合题专练五

八年级下册第9章《中心对称图形—平行四边形》综合题专练（五）

1．如图,AM∥BN,C是BN上一点,BD平分∠ABN且过AC的中点O,交AM于点D,DE⊥BD,交BN于点E．

（1）求证:

△ADO≌△CBO．

（2）求证:

四边形ABCD是菱形．

（3）若DE＝AB＝2,求菱形ABCD的面积．

2．如图1,在△ABC中,AB＝AC,∠ABC＝α,D是BC边上一点,以AD为边作△ADE,使AE＝AD,∠DAE+∠BAC＝180°．

（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；

（2）以AB,AE为边作平行四边形ABFE,

①如图2,若点F恰好落在DE上,求证:

BD＝CD；

②如图3,若点F恰好落在BC上,求证:

BD＝CF．

3．如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG＝BD,连接BG、DF．

（1）求证:

BD＝DF；

（2）求证:

四边形BDFG为菱形；

（3）若AG＝13,CF＝6,求四边形BDFG的周长．

4．如图,已知正方形ABCD,O为BD的中点,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF＝CE,连结DF,交BE的延长线于点G,连结OG．

（1）求证:

△BCE≌△DCF．

（2）求证:

BF＝2OG．

5．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上的一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．

（1）求证:

CE＝AD；

（2）当D在AB中点时．

①四边形BECD是　　形；

②则当∠A等于　　度时,四边形BECD是正方形．

6．如图,四边形ABCD为菱形,M为BC上一点,连接AM交对角线BD于点G,并且∠ABM＝2∠BAM．

（1）求证:

AG＝BG；

（2）若点M为BC的中点,同时S△BMG＝1,求三角形ADG的面积．

7．如图,已知△ABC,直线PQ垂直平分AC,与边AB交于E,连接CE,过点C作CF平行于BA交PQ于点F,连接AF．

（1）求证:

△AED≌△CFD；

（2）求证:

四边形AECF是菱形．

（3）若AD＝3,AE＝5,则菱形AECF的面积是多少？

8．如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA＝PE,PE交CD于F．

（1）证明:

PC＝PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC＝120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由．

9．在菱形ABCD中,点O是对角线的交点,E点是边CD的中点,点F在BC延长线上,且CF＝

BC．

（1）求证:

四边形OCEF是平行四边形；

（2）连接DF,如果DF⊥CF,请你写出图中所有的等边三角形．

10．如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,DE∥AC,CE∥BD．

（1）求证:

四边形OCED为矩形；

（2）在BC上截取CF＝CO,连接OF,若AC＝16,BD＝12,求四边形OFCD的面积．

参考答案

1．解:

（1）证明:

∵点O是AC的中点,

∴AO＝CO,

∵AM∥BN,

∴∠DAC＝∠ACB,

在△AOD和△COB中,

∴△ADO≌△CBO（ASA）；

（2）证明:

由

（1）得△ADO≌△CBO,

∴AD＝CB,

又∵AM∥BN,

∴四边形ABCD是平行四边形,

∵AM∥BN,

∴∠ADB＝∠CBD,

∵BD平分∠ABN,

∴∠ABD＝∠CBD,

∴∠ABD＝∠ADB,

∴AD＝AB,

∴平行四边形ABCD是菱形；

（3）解:

由

（2）得四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,AD＝CB,

又DE⊥BD,

∴AC∥DE,

∵AM∥BN,

∴四边形ACED是平行四边形,

∴AC＝DE＝2,AD＝EC,

∴EC＝CB,

∵四边形ABCD是菱形,

∴EC＝CB＝AB＝2,

∴EB＝4,

在Rt△DEB中,由勾股定理得BD＝

＝

∴

．

2．解:

（1）∵在△ABC中,AB＝AC,∠ABC＝α,

∴∠BAC＝180°﹣2α,

∵∠DAE+∠BAC＝180°,

∴∠DAE＝2α,

∵AE＝AD,

∴∠ADE＝90°﹣α；

（2）①证明:

∵四边形ABFE是平行四边形,

∴AB∥EF．

∴∠EDC＝∠ABC＝α,

由

（1）知,∠ADE＝90°﹣α,

∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°,

∴AD⊥BC．

∵AB＝AC,

∴BD＝CD；

②证明:

∵AB＝AC,∠ABC＝α,

∴∠C＝∠B＝α．

∵四边形ABFE是平行四边形,

∴AE∥BF,AE＝BF．

∴∠EAC＝∠C＝α,

由

（1）知,∠DAE＝2α,

∴∠DAC＝α,

∴∠DAC＝∠C．

∴AD＝CD．

∵AD＝AE＝BF,

∴BF＝CD．

∴BD＝CF．

3．

（1）证明:

∵∠ABC＝90°,BD为AC的中线,

∴BD＝

AC,

∵AG∥BD,BD＝FG,

∴四边形BGFD是平行四边形,

∵CF⊥BD,

∴CF⊥AG,

又∵点D是AC中点,

∴DF＝

AC,

∴BD＝DF；

（2）证明:

∵BD＝DF,

∴四边形BGFD是菱形,

（3）解:

设GF＝x,则AF＝13﹣x,AC＝2x,

∵在Rt△ACF中,∠CFA＝90°,

∴AF2+CF2＝AC2,即（13﹣x）2+62＝（2x）2,

解得:

x＝5,

∴四边形BDFG的周长＝4GF＝20．

4．解:

（1）∵四边形ABCD

是正方形,

∴∠BCE＝∠DCF＝90°,BC＝DC,

在△BCE和△DCF中

∴△BCE≌△DCF（SAS）．

（2）∵△BCE≌△DCF,

∴∠CBE＝∠FDC,∠F＝∠BEC,

∵BG平分∠DBC,

∴∠DBG＝∠CBE＝∠FDC,

∴∠BEC＝∠DBG+∠BDC＝∠FDC+∠BDC＝∠BDF,

∴∠BDF＝∠F,

∴BD＝BF,

∵∠BCE＝90°,

∴∠EBC+∠BEC＝90°,

∵∠FDC＝∠CBE,∠DEG＝∠BEC,

∴∠FDC+∠DEG＝90°,

∴∠BGD＝180°﹣90°＝90°,

∴BG⊥DF,

∵BD＝BF,

∴GD＝FG,

又∵BO＝OD,

∴BF＝2OG．

5．

（1）证明:

∵DE⊥BC,

∴∠DFB＝90°,

∵∠ACB＝90°,

∴∠ACB＝∠DFB,

∴AC∥DE,

∵MN∥AB,即CE∥AD,

∴四边形ADEC是平行四边形,

∴CE＝AD；

（2）解:

①四边形BECD是菱形,理由如下:

∵D为AB中点,

∴AD＝BD,

∵CE＝AD,

∴BD＝CE,

∵BD∥CE,

∴四边形BECD是平行四边形,

∵∠ACB＝90°,D为AB中点,

∴CD＝

AB＝BD,

∴四边形BECD是菱形；

故答案为:

菱；

②当∠A＝45°时,四边形BECD是正方形；理由如下:

∵∠ACB＝90°,

当∠A＝45°时,△ABC是等腰直角三角形,

∵D为AB的中点,

∴CD⊥AB,

∴∠CDB＝90°,

∴四边形BECD是正方形；

故答案为:

45．

6．

（1）证明:

∵四边形ABCD是菱形,

∴∠ABD＝∠CBD,

∵∠ABM＝2∠BAM,

∴∠ABD＝∠BAM,

∴AG＝BG；

（2）解:

∵AD∥BC,

∴△ADG∽△MBG,

∴

＝

∵点M为BC的中点,

∴

＝2,

∴

＝（

）2＝4

∵S△BMG＝1,

∴S△ADG＝4．

7．解:

（1）由作图知:

PQ为线段AC的垂直平分线,

∴AE＝CE,AD＝CD,

∵CF∥AB,

∴∠EAC＝∠FCA,∠CFD＝∠AED,

在△AED与△CFD中,

∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD,

∴AE＝CF,

∵EF为线段AC的垂直平分线,

∴EC＝EA,FC＝FA,

∴EC＝EA＝FC＝FA,

∴四边形AECF为菱形．

（3）∵AD＝3,AE＝5,

∴根据勾股定理得:

ED＝4,

∴EF＝8,AC＝6,

∴S菱形AECF＝8×6÷2＝24,

∴菱形AECF的面积是24

8．

（1）证明:

在正方形ABCD中,AB＝BC,

∠ABP＝∠CBP＝45°,

在△ABP和△CBP中,

∴△ABP≌△CBP（SAS）,

∴PA＝PC,

∵PA＝PE,

∴PC＝PE；

（2）由

（1）知,△ABP≌△CBP,

∴∠BAP＝∠BCP,

∴∠DAP＝∠DCP,

∵PA＝PE,

∴∠DAP＝∠E,

∴∠DCP＝∠E,

∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等）,

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E,

即∠CPF＝∠EDF＝90°；

（3）在菱形ABCD中,AB＝BC,∠ABP＝∠CBP＝60°,

在△ABP和△CBP中,

∴△ABP≌△CBP（SAS）,

∴PA＝PC,∠BAP＝∠BCP,

∵PA＝PE,

∴PC＝PE,

∴∠DAP＝∠DCP,

∵PA＝PC,

∴∠DAP＝∠AEP,

∴∠DCP＝∠AEP

∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等）,

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP,

即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°,

∴△EPC是等边三角形,

∴PC＝CE,

∴AP＝CE．

9．

（1）证明:

∵四边形ABCD是菱形,

∴BO＝DO,

∵E点是边CD的中点,

∴OE是△BDC的中位线,

∴OE∥BC且OE＝

BC,

∵CF＝

BC,

∴OE＝CF,

∵OE∥CF,

∴四边形OCFE是平行四边形；

（2）解:

∵DF⊥CF,E点是边CD的中点,

∴EF＝

∵CE＝

CF＝

＝

CD,

∴△ECF为等边三角形；

∵四边形OCFE是平行四边形,

∴OC＝EF＝CE＝CF＝OE,

∴△OCE为等边三角形；

∵△ECF为等边三角形,

∴∠ECF＝60°,

∴∠ABC＝60°,

∵四边形ABCD是菱形,

∴△ABC为等边三角形；

同理得△ADC为等边三角形；

∴图中的等边三角形有:

△OCE,△ECF,△ABC,△ADC

10．

（1）证明:

∵DE∥AC,CE∥BD,

∴四边形OCED为平行四边形,

又∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,

∴∠DOC＝90°,

∴四边形OCED为矩形；

（2）解:

作FH⊥OC于点H,如图所示:

∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,OD＝OB＝

BD＝6,OA＝OC＝

AC＝8,

∴S△DOC＝

＝24,

在Rt△OBC中,BC＝

＝10,sin∠OCB＝

＝

在Rt△CFH中,CF＝CO＝8,sin∠HCF＝

＝

∴FH＝

CF＝

∴S△OCF＝

＝

∴S四边形OFCD＝S△DOC+S△OCF＝

．