向量数量积.docx

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向量数量积

平面向量的数量积

考试要求　

1.平面向量数量积的含义及其物理意义，B级要求；

2.平面向量的数量积与向量投影的关系，A级要求；

3.数量积的坐标表示，数量积的运算，C级要求；

4.用数量积表示两个向量的夹角，判断两向量垂直，B级要求．

知识梳理

1．平面向量的数量积

（1）定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.

（2）几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

2．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为向量a，b的夹角．

（1）数量积：

a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.

（2）模：

|a|＝＝.

（3）夹角：

cosθ＝＝.

（4）两非零向量a⊥b的充要条件：

a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

（5）|a·b|≤|a||b|（当且仅当a∥b时等号成立）⇔|x1x2＋y1y2|≤·.

3．平面向量数量积的运算律

（1）a·b＝b·a（交换律）．

（2）λa·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（结合律）．

（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．

课前自测

1．思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．（√）

（2）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．（√）

（3）两个向量的夹角的范围是.（×）

（4）若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．（×）

（5）a·b＝a·c（a≠0），则b＝c.（×）

2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．

解析　由数量积的定义知，b在a方向上的投影为：

|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.

3．设向量a＝（1，cosθ）与b＝（－1,2cosθ）垂直，则cos2θ等于________．

解析　利用向量垂直及倍角公式求解．

a＝（1，cosθ），b＝（－1,2cosθ）．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0＝cos2θ.

4．（新课标全国Ⅱ卷改编）设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________.

解析　∵|a＋b|＝，∴a2＋2a·b＋b2＝10.①又|a－b|＝，∴a2－2a·b＋b2＝6.②

由①－②，得4a·b＝4，即a·b＝1.

5．（山东卷改编）已知向量a＝（1，），b＝（3，m）．若向量a，b的夹角为，则实数m＝________.

解析　∵a＝（1，），b＝（3，m），∴|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m，

又a，b的夹角为，∴＝cos，即＝，

∴＋m＝，解得m＝.

高考典型考点透析

考点一　平面向量的数量积

【例1】

（1）（重庆卷）已知向量a与b的夹角为60°，且a＝（－2，－6），|b|＝，则a·b＝________.

（2）（2015·苏北四市调研）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为__________；·的最大值为________．

思考：

对于第

（2）小题同学们首先想到的方法是什么？

这里提醒同学们此题可有三种解法：

法一利用定义；法二利用向量的坐标运算；法三利用数量积的几何意义，你不妨试一试．

分析　

（1）由a＝（－2，－6），得|a|＝＝2，故a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2××cos60°＝10.

（2）法一：

如图，

·＝（＋）·＝·＋·＝2＝1，

·＝（＋）·＝·＋·＝·＝||·||≤||2＝1.

法二：

以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），C（1,1），D（0,1），设E（t,0），t∈[0,1]，则＝（t，－1），＝（0，－1），所以·＝（t，－1）·（0，－1）＝1.

因为＝（1,0），所以·＝（t，－1）·（1,0）＝t≤1，

故·的最大值为1.

法三：

由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，

∴·＝||·1＝1.当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，

∴（·）max＝||·1＝1.

规律方法小结：

（1）求两个向量的数量积有三种方法：

利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．

（2）解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算----基底法．但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．

【变式训练1】：

（1）已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.

（2）已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．

分析：

（1）b1·b2＝（e1－2e2）·（3e1＋4e2）＝3e－2e1·e2－8e

＝3－2×1×1×cos－8＝－6.

（2）法一：

如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cosA＝，cosC＝，

∴·＋·＋·＝·＋·＝4×5cos（π－C）＋5×3cos（π－A）

＝－20cosC－15cosA＝－20×－15×＝－25.

法二：

易知＋＋＝0，将其两边平方可得2＋2＋2＋2（·＋·＋·）＝0，故·＋·＋·＝－（2＋2＋2）＝－25.

考点二　平面向量的夹角与垂直

【例2】

（1）平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且（a＋b）·（a－2b）＝－7，则向量a，b的夹角为________．

（2）已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．

分析：

（1）因为|a|＝1，|b|＝2，且（a＋b）·（a－2b）＝－7，所以a2－a·b－2b2＝－7，所以1－2cos〈a，b〉－2×22＝－7，所以cos〈a，b〉＝0.又〈a，b〉∈[0，π]，

所以〈a，b〉＝.

（2）由⊥，知·＝0，即·＝（λ＋）·（－）＝（λ－1）·－λ2＋2＝（λ－1）×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.

规律方法小结：

（1）根据平面向量数量积的性质：

若a，b为非零向量，cosθ＝（夹角公式），a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．

（2）数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．

【变式训练2】

（1）已知a＝（2，－1），b＝（λ，3），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．

（2）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋（1－t）b.若b·c＝0，则t＝________.

分析：

（1）由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<.由a∥b，得6＝－λ，

即λ＝－6，此时，b＝－3a，a·b＜0，但a与b的夹角为π.因此λ<，且λ≠－6.

（2）∵b·c＝b·[ta＋（1－t）b]＝ta·b＋（1－t）b2＝t|a|·

|b|cos60°＋（1－t）|b|2＝t＋1－t＝－t＋1＝0，∴t＝2.

考点三　平面向量的模及应用

【例3】

（1）已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|＝________.

（2）（湖南卷）在平面直角坐标系中，O为原点，A（－1,0），B（0，），C（3,0），动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是________．

分析：

（1）因为向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，

所以|a＋b|＝＝＝＝.

（2）由||＝1知，点D是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，设D（x，y），则（x－3）2＋y2＝1.|＋＋|＝表示点D到点P（1，－）的距离．

又||＝＝，因此－1≤||≤＋1.

规律方法小结：

（1）求向量的模的方法：

①公式法，利用|a|＝及（a±b）2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．

（2）求向量模的最值（范围）的方法：

①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．

【变式训练3】：

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．

分析：

以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x，

∴D（0,0），A（2,0），C（0，a），B（1，a），P（0，x）.＝（2，－x），＝（1，a－x），

∴＋3＝（5,3a－4x），|＋3|2＝25＋（3a－4x）2≥25，

当x＝时取等号．∴|＋3|的最小值为5.

课堂小结

思想方法方面：

1．计算数量积的三种方法：

定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．

2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．

易错防范方面：

1．

（1）0与实数0的区别：

0a＝0≠0，a＋（－a）＝0≠0，a·0＝0≠0；

（2）0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．

2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.

3．在运用向量夹角时，注意其取值范围[0，π]．

4．在用|a|＝求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．

课后作业（限时训练）

基础巩固题组（建议用时：

40分钟）

1．（大纲全国卷改编）已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则（2a－b）·b＝________.

解析　（2a－b）·b＝2a·b－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0.

2．（泰州检测）已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝________.

解析　由题意可得a·b＝|a|·|b|cos＝3，所以|2a－3b|＝＝＝＝.

3．（2015·苏州调研）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋（1－t）b.若b·c＝0，则实数t的值为________．

解析　依题意得b·c＝ta·b＋（1－t）b2＝1－＝0，解得t＝2.

4．（上海八校联合调研）向量a＝（3,4）在向量b＝（1，－1）方向上的投影为________．

解析　依题意得a·b＝－1，|b|＝，因此向量a在向量b方向上的投影为＝－.

5．（江西卷）已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.

解析　由向量数量积的定义知e1·e2＝|e1||e2|cosα＝1×1×＝，而a2＝（3e1－2e2）2＝9e－12e1·e2＋4e＝9×12－12×＋4×12＝9，所以|a|＝3.

6．（2015·盐城质量检测）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，若·＝，则·的值是________．

解析　依题意得·＝（＋）·（－）＝·－2＋·－·＝－2＋1×2－0＝.

7．（大庆二模）若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为________．

解析　由题意作图（如图），设＝b，＝a，结合向量的几何意义可知∠ABD＝∠CAB＝，故向量a＋b与a－b的夹角为与的夹角，为.

8．（四川卷）平面向量a＝（1,2），b＝（4,2），c＝ma＋b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝______.

解析　a＝（1,2），b＝（4,2），则c＝ma＋b＝（m＋4,2m＋2），|a|＝，|b|＝2，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.

∵c与a的夹角等于c与b的夹角，

∴＝，∴＝，解得m＝2.

9．已知平面向量a＝（，－1），b＝.

（1）证明：

a⊥b；

（2）若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋（t2－3）b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f（t）．

（1）证明　∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.

（2）解　∵c＝a＋（t2－3）b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，

∴c·d＝[a＋（t2－3）b]·（－ka＋tb）

＝－ka2＋t（t2－3）b2＋[t－k（t2－3）]a·b＝0.

又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，

∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，

∴k＝f（t）＝（t≠0）．

10．已知|a|＝4，|b|＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，

（1）求a与b的夹角θ；

（2）求|a＋b|；

（3）若＝a，＝b，求△ABC的面积．

解　

（1）∵（2a－3b）·（2a＋b）＝61，

∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.

又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，

∴a·b＝－6.

∴cosθ＝＝＝－.

又0≤θ≤π，∴θ＝.

（2）|a＋b|2＝（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2

＝42＋2×（－6）＋32＝13，∴|a＋b|＝.

（3）∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.

又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，

∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.

能力提升题组（建议用时：

25分钟）

1．（南京检测）若△ABC满足A＝，AB＝2，则下列三个式子：

①·，②·，③·中为定值的式子的个数为________．

解析　依题意得知·＝0，·＝·（＋）＝2＋·＝2＝4，·的值不确定．

2．（2014·江苏卷）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．

解析　由题意，＝＋＝＋，

＝＋＝＋＝－.

所以·＝（＋）·（－）

＝2－·－2，

即2＝25－·－×64，解得·＝22.

3．已知平面上三点A，B，C，＝（2－k,3），＝（2,4）．

（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；

（2）若△ABC为直角三角形，求k的值．

解　

（1）由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量与平行，

∴4（2－k）－2×3＝0，解得k＝.

（2）∵＝（2－k,3），∴＝（k－2，－3），

∴＝＋＝（k,1）．若△ABC为直角三角形，

则当A是直角时，⊥，即·＝0，

∴2k＋4＝0，解得k＝－2；

当B是直角时，⊥，即·＝0，

∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；

当C是直角时，⊥，即·＝0，∴16－2k＝0，

解得k＝8.综上得k的值为－2，－1,3,8.