高等代数北大版课件3.6线性方程组解的结构.ppt

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一、齐次线性方程组解的结构,二、一般线性方程组解的结构,3.6线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,1解的性质,性质1

（1）的两个解的和还是

（1）的解.,性质2

（1）的一个解的倍数还是

（1）的解.,性质3

（1）的解的任一线性组合还是

（1）的解.,

（1）,2解空间,所成集合，则,空间，称之为齐次线性方程组

（1）的解空间,设为齐次线性方程组

（1）的全体解向量,即关于解的线性运算封闭，所以是一个向量,定义,齐次线性方程组

（1）一组解向量，,若满足,ii）

（1）的任一解向量可由线性表出.,i）线性无关；,则称为

（1）的一个基础解系,3基础解系,定义,4基础解系的存在性,定理7在齐次线性方程组有非零解的情况下，,它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数,等于，其中n是未知量的个数，,证：

则

（1）可改写成,若，,不妨设,

（2）,代入自由未知量，,也即

（1）的个解,用组数,就得到

（2）的解，,且满足：

线性无关.,事实上，若,任取

（1）的一个解,即,事实上，由是

（1）的解，得,也为

（1）的解，即,为

（1）的解.,它与的最后个分量相同，,即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解,由知，,为

（1）的一个基础解系,推论1任一线性无关组的与

（1）的某一基础解系,等价的向量组都是

（1）的基础解系,设为

（1）的一个基础解系，,线性无关，且与等价，,且可由线性表出，,所以也为

（1）的解向量,证：

则,任取

（1）的一个解向量，,则可由,从而可由线性表出.,线性表出，,也是

（1）的基础解系.,推论2若齐次线性方程组

（1）的系数矩阵的秩为r,则

（1）的任意nr个线性无关的解向量都是

（1）的,基础解系,设为

（1）的一个基础解系，,证：

为

（1）的nr个线性无关的解向量，,考察向量组,知的秩为nr.,与,都是向量组的极大无关组.,与等价.,推论1得证.,5齐次线性方程组解的结构,若为齐次线性方程组

（1）的一个,基础解系，则

（1）的一般解（或通解）为,令,则就是齐次线性方程组

（1）的解空间,例1求齐次线性方程组的基础解系,解：

对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵,令得,令得,原方程组的解为,原方程的基础解系为,附：

求基础解系的一般方法,对方程组

（1）的系数矩阵A作初等行变换，,化A为行最简形,不妨设,初等行变换,第一步：

写出方程组

（1）的一般解：

第二步：

第三步：

为自由未知量.,代入自由未知量，,用组数,得出方程组

（1）的解：

向量组即为方程组

（1）的一个基础解系.,练习求齐次线性方程组的基础解系,二、一般线性方程组解的结构,设线性方程组,则齐次线性方程组,（3）,（4）,称为（3）的导出组,1解的性质,性质1非齐次线性方程组（3）的两个解的差,为其导出组（4）的解,性质2非齐次线性方程组（3）的一个解与其导出,组（4）的一个解的和仍为（3）的解,注,非齐次线性方程组的两个解的和及一个解的倍数一般不再是该非齐次线性方程组的解.,2非齐次线性方程组解的结构,定理8如果是非齐次线性方程组（3）的一个,为其导出组（4）的一个解,从而，方程组（3）的一般解为,为导出组（4）的一个基础解系,特解，那么方程组（3）的任一个解都可以表成,推论非齐次线性方程组（3）在有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出（4）只有零解.,证：

“”,设（3）有唯一解,若其导出组（4）有非零解，,则有也为（4）的解，,从而皆为（3）的解.,矛盾.,“”,假若（3）有两个不同的解，则,为（4）的一个非零解.,矛盾.,求出（3）的导出组（4）的一个基础解系,3求一般线性方程组（3）的一般解的步骤,第二步：

第三步：

写出（3）的一般解（通解）,若有无穷多个解，先写出（3）的一个特解,对（3）的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵,第一步：

根据阶梯阵判断（3）是否有解,例2求解方程组,解：

对方程组的增广矩阵作初等行变换,由,令,即得原方程组的一个特解,得,由，原方程组的导出组与下方程组同解,原方程组有解，并有,令，得,即为导出组的一个基础解系,令，得,故原方程组的通解为,.,