1513一元二次不等式线性规划基本不等式及其应用.docx
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1513一元二次不等式线性规划基本不等式及其应用
高考专题训练十三
一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用
班级_______ 姓名_______ 时间：
45分钟 分值：
75分 总得分________
一、选择题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．（2011·陕西）设0A．aC．a<解析：
∵b>a>0，∴>，2b>b＋a，
∴b>，∴a<<答案：
B
2．（2011·福建）若a>0，b>0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（ ）
A．2B．3
C．6D．9
解析：
f′（x）＝12x2－2ax－2b.
因在x＝1处有极值，则f′
（1）＝12－2a－2b＝0，
∴a＋b＝6，ab≤2＝9.
答案：
D
3．（2011·广东B）不等式2x2－x－1>0的解集是（ ）
A.B．（1，＋∞）
C．（－∞，1）∪（2，＋∞）D.∪（1，＋∞）
解析：
∵2x2－x－1>0，
∴（2x＋1）（x－1）>0，
∴x>1或x<－，
∴原不等式的解集为∪（1，＋∞）．
答案：
D
4．（2011·山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为（ ）
A．11B．10
C．9D．8.5
解析：
可行域如图
当目标函数过点A时，取最大值，由
得A（3,1），故最大值为10.
答案：
B
5．（2011·浙江）若实数x，y满足不等式组则3x＋4y的最小值是（ ）
A．13 B．15C．20 D．28
解析：
由线性约束条件作出可行域如图所示，直线x＋2y－5＝0与2x＋y－7＝0的交点P（3,1），令z＝3x＋4y，
∴zmin＝13.
答案：
A
6．（2011·商丘市高三一模）定义在R上的函数f（x）满足f（3）＝1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y＝f′（x）的图象如图所示，若两个正数a、b满足f（3a＋b）<1，则的取值范围是（ ）
A．（1,2）B．（2,5）
C．（1,5）D．（－∞，1）∪（5，＋∞）
解析：
由f（x）的导函数y＝f′（x）的图象可得y＝f（x）（如下图）的大致图象，
由图象可知，当a>0，b>0
即3a＋b>0时，y＝f（x）为增函数，
又∵f（3）＝1，∴f（3a＋b）∴，作出可行域如下图
∴的最小值为直线AB的斜率kAB＝1
的最大值为直线AC的斜率kAC＝5
∴∈（1,5），故选C.
答案：
C
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．（2011·陕西省高考全真模拟一）若a、b是正常数，a≠b，x、y∈（0，＋∞），则＋≥，当且仅当＝时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f（x）＝＋的最小值为________．
解析：
由题意知，f（x）＝＋，x∈，
∵2≠3且均为正常数，x∈，
∴1－2x∈（0,1），
∴＋≥，
当且仅当＝时，即x＝时等号成立，即f（x）≥35.
答案：
35
8．已知函数f（x）＝，则满足不等式f（1－x2）>f（2x）的x的取值范围是________．
解析：
本题以分段函数为载体，考查函数的单调性及一元二次不等式的解法，求解的关键在于正确利用函数的性质进行等价转化．
由题意有或，解得－1答案：
（－1，－1）
9．（2011·湖南）设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．
解析：
作出约束条件对应的可行域为如图所示阴影△OAB.
∵目标函数可化为y＝－x＋z.
它在y轴上的截距最大时z最大．
∴当目标函数线过点A时z最大．
由解得A，
∴zmax＝＋＝＝4，
∴m＝3.
答案：
3
10．（2011·湖北省黄冈中学模拟考试）若实数x，y满足则的取值范围是________．
解析：
如图所示，
不等式组所表示的可行域为线段AB，可看作是可行域内的点P（x，y）到原点O的距离，由图易知|PO|min＝0，|PO|max＝|AO|，由得A（－6,8），故|PO|max＝＝10，即的取值范围为[0,10]．
答案：
[0,10]
三、解答题：
本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．（12分）（2011·江西师大附中、临川一中高三联考）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（4－x），又函数f（x＋2）在[0，＋∞）上单调递减．
（1）求不等式f（3x）>f（2x－1）的解集；
（2）设
（1）中不等式的解集为A，对于任意的t∈A，不等式x2＋（t－2）x＋1－t>0恒成立，求实数x的取值范围．
解：
（1）∵f（x）＝f（4－x），
∴函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，
又∵函数f（x＋2）在[0，＋∞）上单调递减，
∴函数f（x）在[2，＋∞）上单调递减．
∴不等式f（3x）>f（2x－1）⇔|3x－2|<|2x－1－2|⇔（3x－2）2<（2x－3）2⇔（5x－5）（x＋1）<0⇔－1∴原不等式的解集为（－1,1）．
（2）令g（t）＝（x－1）t＋（x2－2x＋1）．
t∈（－1,1）时，不等式x2＋（t－2）x＋（1－t）>0恒成立，
即g（t）>0在t∈（－1,1）上恒成立．
当x≠1时，，
⇒⇒
⇒x≤0或x＝1或x≥2，
∴x≤0或x≥2.
当x＝1时，0>0，显然不成立，∴x≠1，
综上，x∈（－∞，0]∪[2，＋∞）．
12．（13分）（2011·广东B）设b>0，数列{an}满足a1＝b，an＝（n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：
对于一切正整数n,2an≤bn＋1＋1.
解：
（1）（ⅰ）若b＝1，则a1＝1，an＝（n≥2）
则＝＝1＋.
∴是首项为1，公差为1的等差数列，
∴＝n，∴an＝1.
（ⅱ）若b≠1，则＝，
∴＝＋·，
∴－＝，
∴数列是首项为－，公比为的等比数列，
∴－＝－·n－1，
∵＝－·n－1，
∴an＝.
（2）证明：
当b＝1时，2an＝2≤2成立
当b≠1时，an＝＝
＝，
要证2an≤bn＋1＋1，
只要证an≤，
只要证≤
即证2nb≤（bn＋1＋1）.
∵（bn＋1＋1）
＝bn＋1＋bn＋…＋b2＋1＋＋＋
＝＋＋…＋（b2＋1）≥
＝2nb.
∴2nb≤（bn＋1＋1），
从而2an≤bn＋1＋1成立．
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