解析几何中的切线问题.docx
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解析几何中的切线问题
解析几何中的切线问题
解析几何中的切线问题
解决这类问题的通常做法是用两个待定系数表示出切线的方程，
再通过与圆锥曲线的方程联立得到一个一元二次方程以及判别式等于零这一条件得到两个待定系数的关系。
最后通过其他条件达到解题的目的。
对于圆的切线问题，可以通过圆心到切线的距离等于半径这一条件来求解。
对于有多条切线的问题，我们还可以用切线系方程来解题。
本文将着重介绍运用切线系方程解决切线问题的方法。
首先，我们以2015年湖北卷第21题为例。
【2015高考湖北，理21】一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MNB过N处铰链与ON连接，MNh的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转
••
动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以o为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
（I）求椭圆C的方程；（U）设动直线l与两定直线l1：
x2y0和l2：
x2y0
分别交于两点•若直线/总与椭圆Q有且只有一个公共点，试探究：
阿0的面
积是否存在最小值？
若存在，求出该最
cc
N
D0
cc
【答案】（I）討“（II）当直线/与椭圆C在四
164
个顶点处相切时、卜OPQ的面积取得最小值&
【解析】（I）因为WV|+|NO|=3+1=49当M,N在X
轴上时，等号成立；同理\OM\>\MN\-\NO\=3-\=29当D,O
心为原点0，长半轴长为4,短半轴长为2，其方
（ID
（1）当直线，的斜率不存在时,直线/为
或x，都有SopQ扌448.
（2）当直线1的斜率存在时，设直线l：
ykxm（k!
），
直线1总与椭圆C有且只有一个公共点，所以
64k2m24（14k2）（4m216）0，即m216k24
又由y；x
x2y
m,
0,
可得p启k占）；
同理可得
2mm
Q（1
2k'12k八
由原点
到直线pQ的
距离为
|PQ|.1k2|xp
XQ|，可得
Sopq1|PQ|d
1
2|m||Xp
2m2m
2m2
12k12k
14k2
1
Xq|-|m|
将①代入②得，SOPQ
2m2
8
4k2
1
14k2
o
4k2
1
k2
2
4k1
Sopq8（-_2）
14k
8（1哉7）.因0
14k
1，则
014k1，
所以SOPQ8（12
14k
2）8，当且仅当k0时取等号.所以
当k0时，SoPQ的最小值为8.
综合
（1）
（2）可知，当直线i与椭圆c
在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值8.
F面我们用切线系方程来求解该题第（H）
此题运用切线系方程计算量较小，且不用讨论切线I斜率不存在的情
况，大大节省了解题的时间。
像这样在椭圆的切线问题中运用切线系方程解题的例子还有:
2
占1（ab0）的一个焦点为（，5,0）,
b
离心率为—.
3
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x°,y°）为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
则椭圆的标准方程为XX1
（2）若一切线垂直于x轴，则另一切线垂直于y轴，贝V这样的点P
有4个，它们的坐标分别为（3,2）,（3,2）
若两切线不垂直于坐标轴，设切线方程为yy0k（xx0）
代入椭圆方程得：
（9k24）x218k（y0kx0）x9[（y0kx0）24]0
2222
依题意，0,（18k）（yokxo）36[（y。
kx。
）4]（9k4）0
即（X。
9）k2x°y°ky。
40,
24
因为两切线相互垂直，所以k,k21,即卑41
X09
所以x02y0213,显然（3,2）,（3,2）这四点也满足上述方程
所以点P的轨迹方程为x02y0213
下面我们用椭圆的切线系方程来求解该题第
（2）题
设P（x0,y0）,设两切点的坐标分别为A（x1,yO,B（x2,y2）则两条切线分别为：
4%x9y（y36,4x2x9y2y36
点P满足上述两个方程，所以4为冷9%丫036,4x2x09y2%36
所以直线AB的方程为4x°x9y°y36
将AB方程代入椭圆的方程得：
此题运用切线方程，可以避免因为漏掉特殊点而失分，且计算量相对较小，计算过程也很简单，不涉及太复杂的技巧。
2
【2014浙江卷，理21】设椭圆C:
笃
a
2
■41（ab0）动直线I与椭圆只有一个公共点P，
b
且点P在第一象限.
（1）已知直线I的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标；
（2）若过原点O的直线h与I垂直，证明：
点P到直线h的距离最大值为ab
【解析】
（1）方法一：
设直线I的方程为y
y
kxm（k0）,由x2
~2
a
kxm
2
y
消去y得:
（b2a2k2）x22a2kmxa2m2由于直线I与椭圆C只有一个公共点P,故解得p点的坐标为p（2akm2,2bm?
b2a2k2b2a2k
a2k2
0,
o
即b2
m2
a2k2
0,
22）
又因为点P在第一象限，故点P的坐标为P（
a2k
2a2'2
_b2_
b2a2k
x
方法二：
作变换a
yb
X'2
，则椭圆C：
冷,a
y
2
y_
1（a
0）变为圆C':
x'2y'21
切点P（X0,y°）变为点P'（x'0,y'0），切线I:
y
I'：
by'y°k（ax'x°）
在圆C'中设直线O'P'的方程为y'mx'（m0）,
1
Tm2
m
1m2
ry'mx'
由Co
22
x'y'
x。
解得
1y'0
yo
k（x
x0）（k0）变为
即Wm
所以kO'P'kl'
P'（ak
a2k2
利用逆变换
P'（
，—m—2）,由于O'P'I',
1m2
1,得m空1,即mR,代入得
bak
「b）
，a2k2b2）
x
a代入即得：
y
b
J2）
'、a2k2b2
b2
x'
y'
a2k
a2k^b2
（2）由于直线I,过原点O且与直线丨垂直，故直线1』勺方程为xky0,所以点P到直线h的距离
a2k
.b2a2k2
b2k
Jb2a2k2
..1k2
整理得：
d
b2
因为a2k2
b2
p2ab,所以d
kb2a2
a2k2b2
k2
2.2
ab
b
aak
k2a2b2a
2ab
当且仅当k2-时等号成立.
a
b.
所以点P到直线丨,的距离的最大值为a
F面我们用椭圆的切线系方程来解这道题
（1）设点P的坐标为（Xo,y°）（Xo0,yo0）,则切线丨的方程为
Xo
2X
a
Xo
yo
1,
b2Xo
yo
豊,因为点P在椭圆上，所以联立
b2
yo
2
Xo
a
a2k
盲
2
也1
b21
解得:
a2k
b2
Xo
所以P（
f~2~22,y°
a2k2b2
22akb
一a2k2b2
a2k2b2：
a2k2b2）
（2）设直线I,:
xkyO
.1k2a2b2
22b2
/kk2a
所以点P到直线丨,的最大距离为
【2O13山东卷，理22】椭圆C:
X2y21（abO）的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为二3，ab22
过F,且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2o设FfF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m,O）,求m的取值范围；
（3）
设直线
在
（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线1,使得I与椭圆C有且只有一个公共点。
（4）
kk1kk2
O,试证明——为定值，并求出这个定值.
【解析】
（1）由于c2a2
b2,将x
由题意知空1,即a
a
2b2.又e
2
C代入椭圆方程刍
a
-—,所以a2,ba
2
y
1,得y
£
J
a
2
1椭圆C的方程为—y2
4
⑵解法一：
设P（xo,yo）（yo0）.又R（、.3,0）,F2（.3,0）.
所以直线PF1,PF2的方程分别为：
Ipf1:
yox
Ipf2:
yox
由题意知
（Xo3）y3yo
（Xo.3）y3yo
\3y。
my。
2
Xo
由于点P在椭圆上，所以
4
0,
0.
myo
2
yo
1,所以
|m43|mJ3
（；Xo2）2：
（jxo2）2
3,2Xo2,
3m
3xo因此3mi
因为3m
可得m3
山xo2
2
①当x0.3时，直线PF2的斜率不存在，易知PC.3,1）或（.3,1）.
22
Xo
若P&3,1）,则直线PF,的方程为x4晶J30由题意得—9
因为,3m,3,所以m）,同理可得m
42
PF1,PF2的方程分别为yk1（x
②当X0
0时，设直线
由题意知
2因为X。
4
mk,
3k,
2ki
mk23k2
所以（m>3）2
（mV3）
、3）,y
1
1k12
7
33
4*
k2（x
3）,
1
k22
2
y。
1并且k,
、3）2
所以（m<3）2
（mJ3）2
因为.3m
C、3X0
（、3x°4）
y0
X°、
4）2即
2）
k2
X°
•3’
Xo
y°
3,0x02且x0
整理得：
m逖°,故0m
4
综合①②可得：
0m3.当
2
2X0
综上所述，m的取值范围是
-3所以3m
J3m
33
4.
0时，同理可得
3Xo
4.3x0
x2
（3）设P（xo,yo）（yo0）,则直线I的方程为yyk（xx。
）,联立~4y
yyok（xX。
）
222222
（14k2）x28（kyok2xo）x4（y。
2kx）yok2x。
1）0
由题意0,即（4x）2）k22xoyok1yo2O
2
又因为乞yo21,所以16yo2k28x）y°kx。
20,故k邑
44yo
由
（2）可知k
%厂,k
Xo73
yo
Xo
43'
所以-
1
Xo43
xo叫
/32xo
k1
k2
yo
yo
yo
则丄
1
1/11
—（―--
）（
4yo）2x。
8
kk1
kk2
kk|k2
Xoyo
因此—
1
-为定值，这个定值为8.
kk1kk2
在用切线系方程解第（3）题之前，我向大家介绍一种快速解第
（2）
题的方法。
这个方法设计三角形中角平分线的相关性质。
已知AD为三角形ABC中角A的角平分线
则ACCD
ABBD
PF2
PF1
x0
4y°
MF2，所以gMF2,当点P越靠近右端点，理越大,
MF1xMF1PF1
当点P与右端点重合时（不能取到），x2.3（不能取到）,
此时MF?
33,则点M的坐标为（3,0），所以m-,
222
333
根据对称性m-,所以m的取值范围为（-，-）.
222
第（3）题仍然可用椭圆的切线系方程快速求解
（3）设点P（x0,y0）,则直线l:
^°xy0y1,则k
4
此类问题还有很多，本文就不一一列举。
一般来说，切线系方程在解决椭圆的切线问题时，具有计算量小的特点，有时还可以避免讨论特殊情况，一定程度上减少了失误的可能性。
有关圆的切线问题使用切
线系方程并没有明显优势，因为用圆心到直线的距离等于半径这一条件更为简单，大家可以参考【2013江苏卷，理17】，【2014天津卷，理18】，【2014重庆卷，理21】。
关于抛物线的切线问题也不建议大家用切线系方程求解，具体可以参考【2015湖南卷，理22】。
关于双曲线的切线问题，出现频率较低，暂不作讨论。
附：
①对于圆x2y2r2（r0）的切线系方程：
x°xy°yr2，其中点（x°,y°）是圆上任意一点。
22
2对于椭圆xr笃1（a0,b0）的切线系方程：
竽•辱1，其中点
abab
（xo,yo）是椭圆上任意一点。
22
3对于双曲线笃爲1（a0,b0）的切线系方程：
竽缨1，其中
abab
点（xo，yo）是双曲线上任意一点。
（另一种形式的双曲线可以类比得到
对应的切线系方程）
4对于抛物线x22py的切线系方程：
xoxpypy。
，其中点（x°,y°）是
抛物线上任意一点。
（另一种形式的抛物线可以类比得到对应的切线
系方程）
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