故实数m的取值范围是(1,2).
8.试探究命题“方程ax2+bx+1=0有实数解”为真命题时,a,b满足的条件.
解:
方程ax2+bx+1=0有实数解,要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况:
当a=0时,方程ax2+bx+1=0为bx+1=0,只有当b≠0时,方程有实数解x=-
;
当a≠0时,方程ax2+bx+1=0为一元二次方程,方程有实数解的条件为Δ=b2-4a≥0.
综上知,当a=0,b≠0或a≠0,b2-4a≥0时,方程ax2+bx+1=0有实数解.
1.1.2&1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系
预习课本P4~8,思考并完成以下问题
1.一个命题的四种形式分别是什么?
它们之间的相互关系分别是什么?
2.什么样的两个命题有相同的真假性?
3.两个互逆命题或互否命题,它们之间的真假性有没有关系?
1.四种命题的概念
一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件,那么把这样的两个命题叫做互逆命题,如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么把这样的两个命题叫做互否命题,如果是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题,把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.
2.四种命题结构
3.四种命题之间的关系
4.四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性( )
(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系( )
答案:
(1)√
(2)√
2.已知a,b∈R,命题“若a+b=1,则a2+b2≥
”的否命题是( )
A.若a2+b2<
,则a+b≠1
B.若a+b=1,则a2+b2<
C.若a+b≠1,则a2+b2<
D.若a2+b2≥
,则a+b=1
答案:
C
3.若a≠0,则ab≠0的逆命题是________.
答案:
若ab≠0,则a≠0
4.命题p:
若a=1,则a2=1;命题q:
若a2=1,则a=1,则命题p与q的关系是________.
答案:
互逆命题
四种命题的概念
[典例] 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.
(1)全等三角形的对应边相等;
(2)当x=2时,x2-3x+2=0.
[解]
(1)原命题:
若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等;
逆命题:
若两个三角形三边对应相等,则这两个三角形全等;
否命题:
若两个三角形不全等,则这两个三角形三边对应不相等;
逆否命题:
若两个三角形三边对应不相等,则这两个三角形不全等.
(2)原命题:
若x=2,则x2-3x+2=0;
逆命题:
若x2-3x+2=0,则x=2;
否命题:
若x≠2,则x2-3x+2≠0;
逆否命题:
若x2-3x+2≠0,则x≠2.
(1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件和结论同时否定即得否命题,将条件和结论互换的同时,进行否定即得逆否命题.
(2)如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必须注意各命题中的大前提不变.
[活学活用]
写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题.
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面;
(2)如果x>10,那么x>0.
解:
(1)逆命题:
如果一条直线垂直于平面,那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线;
否命题:
如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线不垂直于平面;
逆否命题:
如果一条直线不垂直于平面,那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线.
(2)逆命题:
如果x>0,那么x>10;
否命题:
如果x≤10,那么x≤0;
逆否命题:
如果x≤0,那么x≤10.
四种命题真假的判断
[典例] 判断下列命题的真假.
(1)“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题.
(2)“正三角形都相似”的逆命题.
(3)“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.
[解]
(1)原命题的否命题为“若x2+y2=0,则x,y全为零”.真命题.
(2)原命题的逆命题为“若三角形相似,则这些三角形是正三角形”.假命题.
(3)原命题的逆否命题为“若x2+x-m=0无实根,则m≤0”.
因为方程x2+x-m=0无实根,
所以判别式Δ=1+4m<0,解得m<-
,
故m≤0,为真命题.
[一题多变]
1.[变设问]若本例(3)改为判断“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆命题的真假,则结果如何?
解:
原命题的逆命题为“若x2+x-m=0有实根,则m>0”.
因为方程x2+x-m=0有实根,所以判别式Δ=1+4m≥0,所以m≥-
,故逆命题为假命题.
2.[变条件]若本例(3)改为判断“若m>0,则mx2+x-1=0有实根”的逆否命题的真假,则结论如何?
解:
原命题的逆否命题为“若mx2+x-1=0无实根,则m≤0”.
因为方程mx2+x-1=0无实根,则m≠0,
所以判别式Δ=1+4m<0,则m<-
,
故m≤0,为真命题.
解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念,原命题与它的逆否命题同真同假,原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题,同真同假,故只判断二者中的一个即可.
等价命题的应用
[典例] 证明:
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.
[证明] 法一:
原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)若a+b<0,则a<-b,b<-a.
又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
∴f(a)∴f(a)+f(b)即原命题的逆否命题为真命题.
∴原命题为真命题.
法二:
假设a+b<0,则a<-b,b<-a.
又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
∴f(a)∴f(a)+f(b)这与已知条件f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛盾.
因此假设不成立,故a+b≥0.
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.
[活学活用]
证明:
若m2+n2=2,则m+n≤2.
证明:
将“若m2+n2=2,则m+n≤2”视为原命题,则它的逆否命题为“若m+n>2,则m2+n2≠2”.
由于m+n>2,则m2+n2≥
(m+n)2>
×22=2,
所以m2+n2≠2.
故原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.
层级一 学业水平达标
1.命题“若m=10,则m2=100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题是( )
A.原命题、否命题 B.原命题、逆命题
C.原命题、逆否命题D.逆命题、否命题
解析:
选C 因为原命题是真命题,所以逆否命题也是真命题.
2.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )
A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3
B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3
C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3
D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3
解析:
选A a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<3.
3.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是( )
A.能被3整除的整数,一定能被6整除
B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除
C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除
D.不能被6整除的整数,能被3整除
解析:
选B 即写命题“若一个整数能被6整除,则一定能被3整除”的逆否命题.
4.若命题p的否命题为q,命题p的逆否命题为r,则q与r的关系是( )
A.互逆命题B.互否命题
C.互为逆否命题D.以上都不正确
解析:
选A 设p为“若A,则B”,那么q为“若綈A,则綈B”,r为“若綈B,则綈A”.故q与r为互逆命题.
5.原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真B.假,假,真
C.真,真,假D.假,假,假
解析:
选B 因为原命题为真,所以它的逆否命题为真;若|z1|=|z2|,当z1=1,z2=-1时,这两个复数不是共轭复数,所以原命题的逆命题是假的,故否命题也是假的.故选B.
6.命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是______________________,这是________(填“真”或“假”)命题.
解析:
逆命题即将原命题条件和结论互换位置.
答案:
如果一个数的绝对值等于它本身,那么这个数一