≤2＝，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f（x）取得最大值.
综上，当x＝100时，f（x）在区间[0,200]上取得最大值≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．
审题系列③——数学建模与实际应用
素养解读：
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：
在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．
数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．
【典例】 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1、l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M、N为C的两个端点，测得点M到l1、l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1、l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2、l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝（其中a，b为常数）模型．
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？
求出最短长度．
[切入点]
（1）分析已知条件，在图形中标出，从而得出M、N点坐标，列方程求解；
（2）公路l与曲线C相切于P点，设出直线l的方程，列式求解．
[关键点]
（1）由M、N点坐标求出a，b；
（2）构建关于t的函数模型并求解．
[规范解答]
（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5,40），（20,2.5）．
将其分别代入y＝，
得
解得
（2）①由
（1）知，y＝（5≤x≤20），则点P的坐标为，
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y′＝－，
则l的方程为y－＝－（x－t），
由此得A，B.
故f（t）＝
＝，t∈[5,20]．
②设g（t）＝t2＋，则g′（t）＝2t－.
令g′（t）＝0，解得t＝10.
当t∈（5,10）时，g′（t）<0，g（t）是减函数；
当t∈（10，20）时，g′（t）>0，g（t）是增函数．
从而，当t＝10时，函数g（t）有极小值，也是最小值，所以g（t）min＝300，
此时f（t）min＝15.
综上所述，当t＝10时，
公路l的长度最短，最短长度为15千米．
解决函数应用问题的答题步骤
[感悟体验]
（2018·福建三明第一中学期中）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：
y＝
且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（1）当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
[解]
（1）当x∈[200,300]时，该项目获利为S，
则S＝200x－＝－（x－400）2，
∴当x∈[200,300]时，S<0，因此，该项目不会获利．
当x＝300时，S取得最大值－5000，
∴政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损．
（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
＝
当x∈[120,144）时，＝x2－80x＋5040＝（x－120）2＋240，
∴当x＝120时，取得最小值240.
当x∈[144,500）时，＝x－200＋≥2－200＝400－200＝200，
当且仅当＝，即x＝400时，取得最小值200.
∵240>200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
课后跟踪训练（十三）
基础巩固练
一、选择题
1．下列函数中，随着x的增大，y的增大速度最快的是（ ）
A．y＝0.001exB．y＝1000lnx
C．y＝x1000D．y＝1000·2x
[解析] 在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B，C；指数函数中，底数越大，函数增大速度越快，故选A.
[答案] A
2．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期（剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期）是（ ）
（精确到0.1，参考数据：
lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．5.2年B．6.6年
C．7.1年D．8.3年
[解析] 设这种放射性元素的半衰期是x年，则（1－10%）x＝，化简得0.9x＝，即x＝log0.9＝＝≈≈6.6（年）．故选B.
[答案] B
3．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（ ）
[解析] 由运输效率（单位时间的运输量）逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的．故选B.
[答案] B
4．某种动物的繁殖量y（单位：
只）与时间x（单位：
年）的关系为y＝alog3（x＋1），设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到（ ）
A．200只B．300只
C．400只D．500只
[解析] ∵繁殖量y与时间x的关系为y＝alog3（x＋1），这种动物第2年有100只，∴100＝alog3（2＋1），解得a＝100，∴y＝100log3（x＋1），∴当x＝8时，y＝100log3（8＋1）＝100×2＝200.故选A.
[答案] A
5．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
4
5
6
7
8
9
10
日均销售量/件
400
360
320
280
240
200
160
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：
元/件）应为（ ）
A．4B．5.5C．8.5D．10
[解析] 由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝（x－3）[400－40（x－4）]＝40（－x2＋17x－42），故当x＝8.5时，y有最大值，故选C.
[答案] C
二、填空题
6．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
[解析] 当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，
∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，
即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝（e－8b）3＝e－24b，
则t＝24，所以再经过16min.
[答案] 16
7．（2019·湖北省百校联考）如图所示，多边形ABCEFGD由一个矩形ABCD和一个去掉一个角的正方形组成，AD＝EF＝4，CE＝DG＝3，现有距离为2且与边AB平行的两条直线l1，l2，截取该多边形所得图形（阴影部分）的面积记为S（t），其中t表示l1与AB间的距离，当3[解析] 易求得AB＝，当3[答案] t2－4t＋2＋4
8．（2018·山西省太原市期中考试）某品牌手机销售商今年1,2,3月份的销售量分别是1万部，1.2万部，1.3万部，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售为依据，用一个函数模拟该品牌手机的销售量y（单位：
万部）与月份x之间的关系，现从二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）或函数y＝abx＋c（b>0，b≠1）中选用一个效果好的函数进行模拟，如果4月份的销售量为1.37万部，则5月份的销售量为________万部．
[解析] 由题意可知，当选用函数f（x）＝ax2＋bx＋c时，解得∴f（x）＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，∴f（4）＝1.3；
当选用函数g（x）＝abx＋c时，
解得
∴g（x）＝－0.8×0.5x＋1.4，∴g（4）＝1.35.
∵g（4）比f（4）更接近于1.37，∴选用函数g（x）＝abx＋c模拟效果较好，∴g（5）＝－0.8×0.55＋1.4＝1.375，即5月份的销售量为1.375万部．
[答案] 1.375
三、解答题
9．（2019·湖北省部分重点中学第一次联考）某科研小组研究发现：
一棵水果树的产量w（单位：
百千克）与肥料费用x（单位：
百元）满足如下关系：
w（x）＝此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x百元．已知这种水果的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为L（x）（单位：
百元）．
（1）求L（x）的函数关系式；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？
最大利润是多少？
[解]
（1）L（x）＝16w（x）－2x－x
＝
（2）当0≤x≤2时，L（x）max＝L
（2）＝42.
当22＝43，当且仅当＝3（x＋1），即x＝3时等号成立．
综上可知，当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的利润最大，最大利润为4300元．
10．某企业采用新工艺，把生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该企业每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的价值为100元．
（1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该企业每月能否获利？
如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该企业不亏损？
[解]
（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
（2）设该企业每月获利S元，则
S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80000＝－（x－300）2－35000.
因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.
故该企业不获利，且需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．
能力提升练
11．（2019·湖南、衡阳、长郡中学等十三校联考）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：
lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.3）（ ）
A．2018年B．
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