数学竞赛学案第13章学案72docx.docx

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学案72矩阵与变换

（二）矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量

导学目标：

1•理解逆矩阵的意义，理解二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并会求逆矩阵2理解二阶矩阵特征与特征向量的意义，会求特征值及特征向量.

课前准备区I

回扣教材夯实基础

【自主梳理】

1.矩阵的逆矩阵

（1）一般地，设0是一个线性变换，如果存在线性变换6使得op=po=l,则称变换〃可逆.并且称"是0的逆变换.

（2）设/是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵3,使得BA=AB=E,则称矩阵力—

或称矩阵A是,并且称B是力的•

⑶（性质1）设/是一个二阶矩阵，如果/是可逆的，则力的逆矩阵是.

矩阵记为.

（4）（性质2）设/,B是二阶矩阵，如果力，B都可逆，则AB也可逆，且（加厂=_

（5）已知B,C为二阶矩阵，若矩阵/,则B=C.

ad—he

•力的逆

⑹对于二阶可逆矩阵/=

（ad—比工0）,它的逆矩阵为/1=

-b

ad—he

2.二阶行列式与方程组的解

对于关于x,y的二元一次方程纟R

ax~\-by=m,cx+dy=n,

我们把

运算结果是一个

若将方程组中行列式

（或多项式），记为det（^）=cibcd

—c

ad~be

称为二阶行列式，它的

记为Dx,

=ad—bc.

方程组的解为V

严万•

3.二阶矩阵的特征值和特征向量

（1）特征值与特征向量的概念

存在•-个非零向量a,使得Aa=Aa,那么x

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数A,

称为A的一个,a称为A的一个属于特征值x的一个

（2）

特征多项式

称为/的特征多项式.

（3）矩阵的特征值与特征向最的求法

如果久是二阶矩阵力的特征值，则久一定是二阶矩阵力的特征多项式的一个根，即血）

=。

，此吋，将2代入二元-次方程组（*）,就可得到-组非零解即于是非零向量即即为A的属于2的一个.

【自我检测】

0—1

1.矩阵]0的逆矩阵是.

「12]丨

2.点P（2,3）经矩阵A=4对应的变换作用下得到点B，点卩再经过矩阵/对

应的变换作用下得到点尸〃，则点P"的坐标是.

r1円

3.矩阵5）的特征值是

址「1°】n日.

4.若A=，B=2,则（AB）=.

5.（2010-厦门模拟）利用逆矩阵知识解方程组伫辽

[x+2y—3=0.

课室活动区I兰破考点硏析热点

探究点一求矩阵的逆矩阵

探究点二求矩阵的特征值与特征向量

【例2】已知二阶矩阵M冇特征值久=8及对应的一个特征向量©=[；]并且矩阵M对应的变换将点（T,2）变换成（—2,4）.

（1）求矩阵必；

（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量5的坐标Z间的关系；

（3）求直线/：

x-y+\=0在矩阵M的作用下的直线厂的方程.

变式迁移2矩阵M=,

探究点三矩阵的综合应用

【例3】在研究扩散理论时，假定某一物质以液态和气态存在，并且在一淀时间段内，总有2.5%的液体蒸发，1%的气体凝结，假设‘0=0.6,c°=0.4分别表示该物质现在气态和液态所占的比例，经过一个时间段后，气态和液态所占的比例分别是h和6，几

11=O.99f（）+O.O25co，

、

.C]=O.Ol/o+O.975c（）.

ro.990.0251

（1）求矩阵oi0975」的特征值和特征向量；

（2）说明特征向量的意义.

变式迁移3在军事密码学中，密码发送的数学原理是：

发送方将要传送的倍息数字化后用一个矩阵X表示（不足的元素可以补上0,字与字之间的空格也以0记，且以密码先后顺序按列组成矩阵），在矩阵的左边乘上一个双方约定的可逆矩阵得到B=4X,则〃即为传送岀去的密码，接收方收到密码示，只需左乘/的逆矩阵A'1,即可得到发送出去的明码不妨以二阶矩阵为例，先将英文字母数字化，讣Q-1,b-2,…，z-26.现已「231

知发送方传出的密码为7,13,39,67,双方约定的可逆矩阵为二5｝试破解发送的密码.

1.求两个矩阵乘积的逆矩阵有两种方法，即先求乘积AB,再求逆矩阵也可以利用性质（AB）-1=B1求解，但要注意顺序，不能误为AXBX.

2・已知矩阵力有特征值2及久对应的一个特征向量a,贝=・若矩阵力

有两个不共线的特征向量血，血，其对应的特征值分别为石，久2,由平面向量基本定理，向量a可由么1,a2唯一线性表示,即存在实数t\,（2,使么二^i«i+t2a2,从而有Ana=“仏仙）+b（殛2）（〃WN）・

（满分：

90分）

一.填空题（每小题6分，共42分）

31,[b

1.设可逆矩阵/=’c的逆矩阵A~]=

L45」a

绕原点作（填“顺”或“逆”）时针旋转

现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：

a-1,b-2,・・・，z->26,

所发信息为

二、解答题（共48分）

8.（12分）（2011•福建，21

（1））设矩阵M=（；为（其中Q0,b>0）.

⑴若d=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵2

（2）若曲线C：

+/=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C':

亍+犷=1,求a,b的值.

_1a

_01-

（12分）设矩阵/=

⑴求才，

（2）猜想

（3）证明：

的特征值是与〃无关的常数，并求出此常数.

10,（12分）设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换.

⑴求矩阵M的特征值及相丿乎的抖:

征向量；

（2）求逆矩阵以及椭圆牙+£=1在的作用下的新曲线的方程.

学案72矩阵与变换

（二）矩阵的逆矩阵.特征值与特征向量

答案

自主梳理

1.（2河逆可逆矩阵逆矩阵（3）唯一的A~x

（4）B~lA~l（5）存在逆矩阵2擞值3.

（1）特征值特征向量

自我检测

_-1

・1

解析•••

=0X0・（-

ad—be（3）特征向最

•••逆矩阵为

1）X1=

2・（2,3）

3.-4,2

解析矩阵M的特征值久满足方程

A-1-2

5二@・1）（/1+3）・（・㊁）X（・2）=/?

+2z・8二0,

解得矩阵M的两个特征值九二・4,22=2.

「2・3_

卩］

_・12.

・7

课堂活动区

【例1】解题导引已知矩阵力，要求/»可设A}=

八由“E可得•

5.解

对于几何意义明确的矩阵变换，应注意几何意义在解题中的应用•还要注意矩阵的知识

并不是孤立存在的，解题时应该注意矩阵与其他知识的有机结合•对于几何意义明显的线性

变换,要掌握它的逆变换，利用逆变换求逆矩阵有时比利用行列式求逆矩阵要快捷简便•

I「°树I「1

设则吐丄则由肠（個彳0」

・c・d

2a2h.

所以s

-c=1,

・d=0,

2a=0,

.2b=I,

c二•1,

故（ab）'1=

变式迁移1解

_10_

ri八t

_0L

_02.

矩阵的特征值和特征向量在求解形如MZ的矩阵与向量的乘法运算中有重要应用，熟练掌握此知识，用它来解决将可以大大减少运算量•应掌握求解二阶方阵的特征向量和特征值的基本方法,关于特征值问题的探究一般解法如下：

【例2】解题导引

若有特征值久，则

r向量«

，即

=[1

=0,

即x2-（tf+d）A+（ad-be）=0.

"8'

则

・cdi.

二

⑴设M二61

解

Lb'

■CcL

-2

・a+2b=-2,

•c+2d二4.

联立以上两方程组解得a=6M=2，c=4,d=4,「621

故M二,八

L44J

⑵由

（1）知，矩阵M的特征多项式为

佩）=（A-6）（a-4）-8=A2-10A+16,故其另一个特征值为z=2.设矩阵M的另一个特征向量是s=［：

］,

6x+2y

Ax+4y_

解得2x+y=0.

（3）设点（x』）是直线/上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x‘"62

_44

则Me2=

丿」

所以X1=2,z2=3,对应的一个特征向量分别为X1二*-[:

]

■丁

'5'

_8_

因为X二

二&+2X2.

所以M^X=4/（%）+2X2）

=A/X1+2（3/X2）

=4X1+2宓）命+2>4；]

【例31解题导引由实际意义知，特征向量的每个分量都应为正数，否则无意义・Z-0.99-0.0251

解⑴由・"）=

-0.01A-0.975

=0.965的特征向量分别是[J,J.

（2）因为属于入二1的特征向量是1],所以M

=0,得特征值久1=1/Z2=0・965•则属于久1=1和久2

_2_

.M2

给岀的r：

c=5:

2是物质气态和液态处于平衡状态的比例，比较稳定;属于人2=0.965的一个特征向量是J的第二个分量为负数，没有实际意义•

这说明，特征向

变式迁移3

解因为昇二

det⑷=

所以A'l=

「739_

J367_

所以X=AlB=

L2故明码为213对应信息为back.

_739'

_1367.

23'

11L

课后练习区

12亠

1-222解析由AA]=E得

\b+3a

qc・3

（T

Ah+5g

4c-5.

rab+3a=1.

ac=3,

即S

4b+5a=0,

Ac-5=1.

解方程组得a=2fb=

-12

co.

3y+2co

2y+a）,

■1

0一

3x+2z即”

3x+2z=

2x+z=0

L2-3j解析设矩阵力的逆矩阵为］

3y+2co=0,

2y+co=\,

解得x=-l,z=2,y=2,Cfj=-3,i「•12"J

从而力的逆矩阵为A']=

-2・3_

3.顺I

值为Aj=4rz2=・2.

设属于特征值Ai=4的特征向量为［；］,则它满足方程（入+小+（・2）尸0,即5x・2厂

^2=-2的一个特征向量•

有两个特征值A1=4fA2=・2•属于A1=4的一个特征向量

・12综上所述，矩阵M二5

ror

解析:

解析

6兀

cosy

.6兀

Sl】2

•

cos4

・71

・sm才

兀

cos才

.兀

sm4

.6n~-smy

6兀

cosy

-3

'-2

•2.

「3

8.解

（1）设矩阵M的逆矩阵

2OVxi刃

03/1x2yi所以2x\=1,2yi—0,3^2二0,3^2=1/即Xi=jfyl=0lx2=0fy2=jf（4分）

03,

人2

（\

山

0、

r则MMX=

10、

0J（2分）

.A-

丄

-io_

<°

（2）设曲线C上任意一点P（x,y），它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点PX,”），

■即、

又点Pxa）在曲线c'上，所IU—2=i.

则严+二1为曲线c的方程・（10分）

又已知曲线C的方程为?

+/=1,故、

a2-4,b2=\.

又a>0tb>0,所以

9.解

（1）才二

_1nd

_01_

（1=2,

6=1.Q分）

_12d

.01一

"13a

_01一

⑵才=

SEN）；

（3）设才的特征值为厂则由用）二

=0f得（八1）2二0・

所以A=1，它是与〃无关的常数.

10.解

（1）由条件得矩阵M二

（T

（2分）

它的特征值为2和3,对应的一个特征向量为［°」和

［；］；（4分）

-丄

I,设P（x0,po）为椭圆上任—点，

在Mj作用下变为（十S则有s

=2xo

=jyo

即'

x0=2xz

分）

•・•点P在椭圆牙+卷二1上,

・•・"？

+”2=1.（11分）

即椭圆f+f=1在『的作用下的新曲线的方程为X?

+产1.（12分）

'k・

_3k.

伙WR且RH0）,取討;］（6

（1）当久1=1时，

11.解A的特征多项式夬久）=（八1）（久・2）,令您）二0得/的特征值为入二1二2,（3分）

•y=0

“（得力的特征向量7=

■2尹=0

分）

（2）当a2=2时，

•y=0

；八得/的特征向量/二

・3y=0

伙WR且上H0）•

取虽=［J二令"'歯+滋2,

f/1=•1

，解得L=33X2100—r

3X2⑹一3•

（11分）

（12分）

I||3

即"討•討，厂•討+討，代入直线/的方程后并化简得“・/+2=0,

即兀-y+2=0.

A-85变式迁移2解矩阵M的特征多项式为危）二=（八8）（z+3）-5X（-6）=

・6z+3

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