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遥测遥感网部分解答

遥测遥感网（部分解答）

大气污染所引起的地球气候异常，导致大面积严重森林大火的频频发生，给人民的生命财产造成巨大损失。

因此，不少国家政府都在研究有效的森林防火措施。

在容易出现高森林火险的重点地区放置高科技的监视装置，建立遥测遥感网，使人们能准确而及时地掌握险情的发展情况，为有效地防止火灾发生或在酿成严重灾害之前将其扑灭创造条件。

科技的迅速发展使人们可以制造不太昂贵且具有收发报通讯功能的监视装置。

放置在同一监视区域内的这种监视装置（以下简称为装置）构成一个AdHoc无线网络，即通常所说的遥测遥感网。

如果监视区域的每一点都处于放置在该区域内某个装置的监视范围内，则称这些装置能覆盖该监视区域。

研究能确保有效（即按一定概率）覆盖且数量最少的装置系统的随机放置问题显然具有重要意义。

第一个问题涉及能覆盖给定监视区域的装置数目及分配问题，具体如下：

A1设监视区域为边长b=100（长度单位）的正方形，每个装置的监视半径均为r=10（长度单位）。

请参考蜂窝网格的特性讨论覆盖该区域所需装置的最少数量。

根据文献（凡志刚，郭文生，桑楠，一种基于蜂窝网格的传感器节点部署算法，传感器与微系统，2008年，（27）4：

15-17.）结论，传感器节点覆盖圆盘与其邻居节点覆盖圆盘的交点构成正六边形蜂窝时，有效覆盖面积最大。

建立直角坐标系，设监视区域为边长b=100（长度单位）的正方形，每个装置的监视半径（即正六边形的边长）均为r=10（长度单位），如上图，设

表示第m层沿x轴正方向的第n个正六边形。

当m为奇数时，

的中心坐标为

，n取不小于

（这里

）的最小正整数

（这里取n=6）。

当m为偶数时，

的中心坐标为

，如果

（这里

），则

（这里取n=7），否则，

。

经分析，第m层所能覆盖的最远距离为

，由

确定层数m取不小于

（这里

）的最小正整数

（这里取m=7）。

再结合上图可知，覆盖该区域所需装置的最少数量为45（=4层偶数层×6+3层奇数层×7）。

利用matlab可以画出图像，代码如下：

%%%%a1.

closeall;

b=100;%正方形边长

r=10;%圆的半径

Ar=linspace（0,pi*2,200）;%圆周角度

cengshu=ceil（2*b/（3*r）+1/3）;%层数

zx=[];zy=[];

form=1:

cengshu

ifmod（m,2）==1%表明为奇数层

forn=1:

ceil（b/（sqrt（3）*r））

zx=[zx,sqrt（3）*r/2+sqrt（3）*r*（n-1）];

zy=[zy,r/2+3*r*（m-1）/2];

end

else%表明为偶数层

ifb>ceil（b/（sqrt（3）*r））*sqrt（3）*r-sqrt（3）*r/2

forn=1:

ceil（b/（sqrt（3）*r））+1

zx=[zx,0+sqrt（3）*r*（n-1）];

zy=[zy,2*r+3*r*（m/2-1）];

end

else

forn=1:

ceil（b/（sqrt（3）*r））

zx=[zx,0+sqrt（3）*r*（n-1）];

zy=[zy,2*r+3*r*（m/2-1）];

end

axis（[0,b,0,b]）;

axissquare;

%plot（zx,zy,'*'）

holdon

forj=1:

length（zx）

x=zx（j）;y=zy（j）;

%fill（x+r*cos（Ar）,y+r*sin（Ar）,'g'）;%填充圆

plot（x+r*cos（Ar）,y+r*sin（Ar）,'-','LineWidth',2）;%画圆

plot（x,y,'o','MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','k'）;%画圆心

end

holdoff

A2在设计遥测遥感网时，首先需要知道对给定监视区域在一定的覆盖保证下应放置装置的最佳（越少越佳）数量，并且常假设装置在监视区域内是均匀地随机放置的。

请在上述假设下建立数学模型，利用随机模拟实验回答：

对于A1中给定的监视区域及监视半径，至少需要随机放置多少个装置，才能使得成功覆盖整个区域的概率在95%以上？

并给出一个均匀随机放置装置的分布图。

采用随机模拟，对装置个数依次取311~396个，可以看到成功覆盖整个区域的概率都小于95%，最大83%，因此，取间距更大（每隔10）的个数400~590进行试验，得结果表如下，表明大约至少需要540个装置，才能使得成功覆盖整个区域的概率在95%以上。

编号

个数

311

312

313

314

315

316

317

318

319

320

成功率

编号

个数

321

322

323

324

325

326

327

328

329

330

成功率

编号

个数

331

332

333

334

335

336

337

338

339

340

成功率

编号

个数

341

342

343

344

345

346

347

348

349

350

成功率

编号

个数

351

352

353

354

355

356

357

358

359

360

成功率

编号

个数

361

362

363

364

365

366

367

368

369

370

成功率

编号

个数

371

372

373

374

375

376

377

378

379

380

成功率

编号

个数

381

382

383

384

385

386

387

388

389

390

成功率

编号

个数

391

392

393

394

395

396

400

410

420

430

成功率

编号

100

个数

440

450

460

470

480

490

500

510

520

530

成功率

编号

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

个数

540

550

560

570

580

590

成功率

试验代码如下：

clc;clear;

Maxs=100;%模拟次数

L=100;%正方形区域边长

R=10;%圆半径

[m,n]=meshgrid（1:

L）;

N0=[400:

10:

600];%N=346;%统计圆的数目

fork=1:

length（N0）

N=N0（k）;

ss=0;

fori=1:

Maxs

M=zeros（L）;%覆盖状态

scale=0;%覆盖面积比例

x=L*rand（1,N）;%随机位置坐标

y=L*rand（1,N）;%随机位置坐标

forj=1:

D=sqrt（（m-x（j））.^2+（n-y（j））.^2）;%计算坐标点到圆心的距离

[m0,n0]=find（D<=R）;%检测出圆覆盖点的坐标

Ind=sub2ind（[L,L],m0,n0）;%坐标与索引转化

M（Ind）=1;%改变覆盖状态

scale=sum（M（1:

end））/L/L;%计算覆盖比例

end

ifscale>=1;%检测是否满足覆盖比例

ss=ss+1;%结束循环

end

fenbu（k）=ss;%存储满足条件的装置个数

end

result=[N0（1:

length（fenbu））;fenbu];

A3对一般矩形以及多边形的监视区域进一步探讨以上问题。

由于监视旱情的遥测遥感网地处边远地区，它的每个（除极少数例外）装置都只能以电池为能源，电池用尽装置即报废。

因此，如何节省电池能耗是设计此类网络运行方案的头等大事。

常用的一个很有效的节能措施是：

让大多数装置“休眠”只保留尽可能少的装置“值班”。

对同时选出的这些值班装置的全体，必须要求它们整体具有与遥测遥感网的每个装置都能联系的功能，从而保证当任何休眠装置定时“苏醒”后若发现“险情”，都能及时向值班者之一传递险情信息。

遥测遥感网的若干装置组成的子集S称为一个支配集，如果该遥测遥感网中不属于S的任一装置必位于S中某个装置的通讯范围之内（即二者可互相交换信息）。

不言而喻，上述同时“值班”的装置的集合必须要求是该遥测遥感网络的一个支配集。

从实际应用的角度来说，这种支配集的优劣以其包含的装置个数来衡量（越少越优）。

此外，如果把考虑的遥测遥感网视为一个无向图（每个装置是它的顶点，二顶点相邻接当且仅当二点间的距离小于公共的通讯半径R）。

支配集按图论意义是连通者更为可取，因为通过仅在支配集内部传递信息的手段可以让它的每个装置共享任一装置所得到的信息，这样的支配集自然称为连通支配集。

第二个问题涉及求元素尽可能少的支配集和连通支配集的问题，具体如下：

B1设监视区域为边长b=100（长度单位）的正方形，每个装置的通讯半径均为R=10（长度单位）。

已知在该监视区域内放置了120个装置，它们位置的横、纵坐标依次是：

x=57,95,34,31,52,30,15,75,75,65,55,41,36,72,16,85,86,75,32,5,16,25,72,68,61,37,48,81,23,35,6,85,64,22,69,80,76,88,25,62,70,45,35,75,35,56,27,92,25,44,5,17,90,25,58,95,87,68,30,9,32,47,50,56,56,47,80,10,12,63,39,81,43,17,80,45,92,78,89,51,40,65,76,30,26,28,25,29,40,4,74,41,39,95,72,79,78,10,8,15,45,70,90,84,20,40,55,5,73,22,17,50,55,87,72,55,7,85,35,10.

y=58,74,12,68,67,4,75,52,30,28,63,61,20,24,10,49,90,90,20,92,35,66,4,33,35,78,46,31,90,66,33,9,37,13,43,83,13,94,95,45,70,42,9,41,91,30,92,90,58,52,80,33,5,74,47,2,72,88,28,9,95,71,43,43,25,25,64,96,33,70,9,89,14,25,55,61,40,22,45,51,90,49,7,98,34,99,8,63,83,11,44,25,21,51,76,8,44,80,89,95,90,82,78,78,70,71,70,95,18,28,80,10,20,22,98,79,2,20,50,68.

请建立数学模型找出一个较好的支配集；画出该120个装置的分配图，并在此图上标出所找到的支配集。

解答：

1、画图

2、建模

设

表示第

个装置属于支配集，否则，

，

。

建立如下优化模型。

其中

表示第

个装置的坐标。

目标就是使得支配集的元素个数最少，约束条件是：

第

个点要么是支配点，此时

，要么不是支配点，即

，则必需与支配点（

）相连。

3、贪婪算法（参见文献：

廖飞雄，马良，禁忌遗传算法求解最小支配集，计算机工程与应用，2007，（24）43，81-84.）

如果把考虑的遥测遥感网视为一个无向图（每个装置是它的顶点，二顶点相邻接当且仅当二点间的距离小于公共的通讯半径R），将图的顶点记为

，其对应的度数（即邻接顶点数）记为

。

贪婪算法可描述为：

Step1将V中的顶点按顶点度数从大到小逆序排列成点集V’，并全部顶点设置为未标号；

Step2取V’中第一个顶点，若该点已经标号，并在V’删除该点,转至步骤3；否则，将该点标号为1，并将与之相关联且未标号的顶点标号为0,在V’删除该点；

Step3若V’为空,转至步骤4；否则，转至步骤2；

Step4取标号为1的顶点作为支配点，把这些点组成的点集为最小支配集。

逆序启发式算法求出的结果是图的一个极小支配集。

利用matlab编程求得的极小支配集共有36个装置，他们依次是第3，78，10，35，47，64，99，4，18，50，52，93，107，7，17，32，81，8，15，16，23，57，59，1，26，41，42，49，90，113，31，56，67，77，94，112个装置，相应的坐标为

X=34.0,78.0,65.0,69.0,27.0,56.0,8.0,31.0,75.0,44.0,17.0,39.0,55.0,15.0,86.0,85.0,40.0,75.0,16.0,85.0,72.0,87.0,30.0,57.0,37.0,70.0,45.0,25.0,4.0,55.0,6.0,95.0,80.0,92.0,95.0,50.0；

Y=12.0,22.0,28.0,43.0,92.0,43.0,89.0,68.0,90.0,52.0,33.0,21.0,70.0,75.0,90.0,9.0,90.0,52.0,10.0,49.0,4.0,72.0,28.0,58.0,78.0,70.0,42.0,58.0,11.0,20.0,33.0,2.0,64.0,40.0,51.0,10.0；

他们的覆盖图形如下

他的代码如下：

%%b1

x=[57,95,34,31,52,30,15,75,75,65,55,41,36,72,16,85,86,75,32,5,16,25,72,68,61,37,48,81,23,35,6,85,64,22,69,80,76,88,25,62,70,45,35,75,35,56,27,92,25,44,5,17,90,25,58,95,87,68,30,9,32,47,50,56,56,47,80,10,12,63,39,81,43,17,80,45,92,78,89,51,40,65,76,30,26,28,25,29,40,4,74,41,39,95,72,79,78,10,8,15,45,70,90,84,20,40,55,5,73,22,17,50,55,87,72,55,7,85,35,10];

y=[58,74,12,68,67,4,75,52,30,28,63,61,20,24,10,49,90,90,20,92,35,66,4,33,35,78,46,31,90,66,33,9,37,13,43,83,13,94,95,45,70,42,9,41,91,30,92,90,58,52,80,33,5,74,47,2,72,88,28,9,95,71,43,43,25,25,64,96,33,70,9,89,14,25,55,61,40,22,45,51,90,49,7,98,34,99,8,63,83,11,44,25,21,51,76,8,44,80,89,95,90,82,78,78,70,71,70,95,18,28,80,10,20,22,98,79,2,20,50,68];

%plot（x,y,'*'）

%%%%%%%%%%%55555贪婪算法

r=10;%通讯半径

b=100;%正方形边长

fori=1:

length（x）

A（i,:

）=（x（i）-x）.^2+（y（i）-y）.^2

A（i,i）=0;

dushu（i）=sum（A（i,:

））;%计算第i个节点的度数

end

yuanxu=[1:

length（x）];%原始顺序

[~,iv]=sort（dushu,'descend'）;%按度数从大到小排序

s=[];%支配集

while~isempty（iv）

s=[s,iv

（1）];%支配集

liandian=yuanxu（A（iv

（1）,:

）==1）;%与支配点相连的点

（1）=[];%删除已经是支配集的点

fori=1:

length（liandian）

iv（iv==liandian（i））=[];%删除与支配点相连的点

end

closeall;

Ar=linspace（0,pi*2,200）;%圆周角度

axis（[0,b,0,b]）;

axissquare;

holdon

forj=1:

length（s）

zx=x（s（j））;zy=y（s（j））;%支配点的坐标

%fill（x+r*cos（Ar）,y+r*sin（Ar）,'g'）;%填充圆

plot（zx+r*cos（Ar）,zy+r*sin（Ar）,'-','LineWidth',2）;%画圆

plot（zx,zy,'o','MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','k'）;%画圆心

end

plot（x,y,'*'）%画所有装置点

holdoff

4、遗传算法（参见文献：

廖飞雄，马良，禁忌遗传算法求解最小支配集，计算机工程与应用，2007，（24）43，81-84.）

一个支配集解对应为

，S是一个由0,1组成的序列，图的最小支配集问题转化为一个无约束规划模型

在式中n为顶点规模，C（S）表示S序列对应的非支配点，且不与支配点相关联的顶点集，|C（S）|表示C（S）中顶点的个数。

采用遗传算法，模拟T=5000代，群体规模N=80，交叉概率取pm=0.05，变异概率pc=0.8，得到的最小支配集数目为：

他们依次是第101112131518222931353743474853576370757879909899101102103106107110112113119120个装置。

他们的坐标是：

x=65554136167525236697635279290875063807889410845709040552250553510

y=286361201090669033431399290572437055224511808990827871702810205068

图形如下

Matlab代码为：

clc;clearall;

%初始化参数

%A表示是否相连的0-1矩阵

L=120;%=length（x）;%装置个数

yuanxu=[1:

L];%原始顺序

r=10;%通讯半径

b=100;%正方形边长

fori=1:

length（x）

A（i,:

）=（x（i）-x）.^2+（y（i）-y）.^2

A（i,i）=0;

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

T=5000;%仿真代数

N=80;%群体规模

pm=0.05;pc=0.8;%交叉变异概率

bval=round（rand（N,L））;%初始种群

bestv=-inf;%最优适应度初值

%迭代开始

forii=1:

%计算适应度

fori=1:

S=bval（i,:

）;%取出一个0-1序列

CS=sum（all（A（yuanxu（1-S=

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