高考文科数学题型秘籍36基本不等式解析版.docx

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高考文科数学题型秘籍36基本不等式解析版

高考数学精品复习资料

2019.5

专题三十六基本不等式

【高频考点解读】

1.了解基本不等式的证明过程．　

2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

【热点题型】

题型一基本不等式

例1、函数f（x）＝x＋（x>1）的最小值为（　　）

A．11　　　　　　B．5

C．6D．7

【提分秘籍】

1．基本不等式成立的条件是a，b都是正数．在解题时，如果a，b为负数，可提取负号，创造变量为正数的条件，再利用基本不等式解题．

2．在运用基本不等式的变形时，注意一定要验证它们成立的条件是否满足．

【举一反三】

已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值为________．

【热点题型】

题型二利用基本不等式求最值

例2、若不等式m≤＋在x∈（0,1）时恒成立，则实数m的最大值为（　　）

A．9　　　　B.　　　　C．5　　　　D.

【提分秘籍】

1.利用基本不等式求最值时要注意：

（1）基本不等式中涉及的各数（或式）均为正；

（2）和或积为定值；

（3）等号能否成立．

即要满足“一正、二定、三相等”的条件．另外需注意变形公式的灵活运用及通过对原代数式或解析式的拆分来创造利用公式的条件．

2.不等式求最值常用的变形方法

（1）变符号；

（2）拆项；（3）添项；（4）凑系数；（5）同除构造ax＋型．

【举一反三】

若点A（1,1）在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．

【热点题型】

题型三条件最值问题

例3、（高考天津卷）设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．

【提分秘籍】

利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用，主要有两种思路

（1）对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解；

（2）条件变形进行“1”的代换求目标函数最值．

【举一反三】

已知向量a＝（x－1,2），b＝（4，y），若a⊥b，则9x＋3y的最小值为（　　）

A．2B．12

C．6D．3

【热点题型】

题型四基本不等式的实际应用

例4、为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x＝4－（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．

（1）将该厂家该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

（2）该厂家的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

【提分秘籍】

在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点

（1）设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数；

（2）建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；

（3）在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值；

（4）回到实际问题中去，写出实际问题的答案．

【举一反三】

某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（　　）

A．10B．11

C．13D．21

【热点题型】

题型五利用基本不等式求解三元函数的最值策略

例5、（高考山东卷）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为（　　）

A．0　　　　　B．1

C.D．3

【提分秘籍】利用基本不等式求解三元函数的最值策略

近几年三元函数的最值逐渐成为高考的热点，主要考查考生的变形推理能力、构造能力、化归能力．求解时要注意以下二种策略的应用：

1.消元化三元为二元后使用基本不等式：

由条件，分离一元后代入所求函数式中，化三元为二元，再分解变形构造基本不等式的条件求解，注意等号成立的条件．

2.变形条件构造定值、直接使用基本不等式求最值：

观察分解条件与所求函数式的结构，变形分解构造出积式和为定值后，直接使用基本不等式求最值，注意等号成立的条件．

【举一反三】

若a，b，c>0，且a2＋ab＋ac＋bc＝4，则2a＋b＋c的最小值为________．

【高考风向标】

1．（20xx·重庆卷）若log4（3a＋4b）＝log2，则a＋b的最小值是（　　）

A．6＋2　B．7＋2　

C．6＋4　D．7＋4　

2．（20xx·湖北卷）某项研究表明：

在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：

辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：

米/秒）、平均车长l（单位：

米）的值有关，其公式为F＝.

（1）如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；

（2）如果限定车型，l＝5，则最大车流量比

（1）中的最大车流量增加________辆/小时．

3．（20xx·江苏卷）若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是______．

4．（20xx·辽宁卷）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，＋＋的最小值为________．

5．（20xx·山东卷）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为.

（1）求椭圆C的方程．

（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．

　（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；

　（ii）求△OMN面积的最大值．

6．（20xx·福建卷）若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是（　　）

A．[0，2]B．[－2，0]

C．[－2，＋∞）D．（－∞，－2]

7．（20xx·陕西卷）在如图1－3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为______（m）．

图1－3

8．（20xx·四川卷）已知函数f（x）＝4x＋（x>0，a>0）在x＝3时取得最小值，则a＝________.

【随堂巩固】

1．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为（　　）

A.　　　　B．4　　　　C.　　　　D．2

2．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为（　　）

A．2B.

C．4D．8

3．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则n的最大值为（　　）

A．10B．9

C．8D．7

答案：

B

4．若直线ax＋by－1＝0（a，b∈（0，＋∞））平分圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，则＋的最小值为（　　）

A．4B．3＋2

C．2D．5

5．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为（　　）

A.B.

C．5D．6

6．若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2）∪（4，＋∞）B．（－∞，－4）∪[2，＋∞）

C．（－2,4）D．（－4,2）

7．已知向量a＝（m,1），b＝（1－n,1），m>0，n>0，若a∥b，则＋的最小值是________．

8．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．

9．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：

第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：

每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是________．

10．已知a>0，b>0，c>0，d>0.求证：

＋≥4.

11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，

求：

（1）xy的最小值；

（2）x＋y的最小值．

12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2－600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：

当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和？

并求出此时商品的每件定价．