电磁场与电磁波5-矢量与场论4-矢量场分类与几个重要定理.pdf
《电磁场与电磁波5-矢量与场论4-矢量场分类与几个重要定理.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场与电磁波5-矢量与场论4-矢量场分类与几个重要定理.pdf（49页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
ResearchInstituteofAntennas&RFTechniques电磁场与电磁波电磁场与电磁波ElectromagneticFieldsandWaves第第55讲讲矢量与场论矢量与场论33矢量场分类与矢量场分类与几个重要定理几个重要定理王世伟副教授华南理工大学电子与信息学院射频与无线技术研究所TEL:
22236201-604Email:
ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第第5讲内容讲内容矢径的矢径的“三度三度”计算计算几个重要的矢量定理几个重要的矢量定理矢量场分类矢量场分类ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology5.1矢径的“三度”计算矢径的“三度”计算在电磁理论中，大量遇到矢径在电磁理论中，大量遇到矢径的“三度”的“三度”计算问题。
计算问题。
设设表示源点，表示源点，表示场点，表示场点，则称为矢径。
则称为矢径。
应用球坐标系，最为简单。
应用球坐标系，最为简单。
拉梅系数拉梅系数算子算子RrrRrrRrrPo1,sinRHHrHr11sinRaaaRRRRResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnologyRRRaR矢径的性质矢径的性质221（）3RRRRR2311RRRRR110sinRRRaaRR（）（）（）（）（）0fRRfRRfRRRRfRRRfRRResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology5.2场论中几个重要定理场论中几个重要定理5.2.1【Helmholtz定理定理】对于任意矢量场对于任意矢量场，有，有A1144VVAAAdvdvrrrr证明略。
证明略。
可以得到几点结论：
可以得到几点结论：
在无界空间，若矢量场有界且正则（场值至少在无界空间，若矢量场有界且正则（场值至少按按1/r衰减，且其源密度至少按衰减，且其源密度至少按1/r2衰减），则衰减），则矢量场由它的散度和旋度唯一确定。
矢量场由它的散度和旋度唯一确定。
ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology在有界空间，矢量场由它的散度、旋度及其在有界空间，矢量场由它的散度、旋度及其边界条件唯一确定。
边界条件唯一确定。
矢量场可以分解为无散场与无旋场组合。
矢量场可以分解为无散场与无旋场组合。
对应旋涡源，对应旋涡源，对应通量源，所以对应通量源，所以Helmholtz定理也告诉我们，矢量场是由其旋定理也告诉我们，矢量场是由其旋涡源和通量源产生的。
涡源和通量源产生的。
AFuAAResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology5.2.2【Gauss散度定理散度定理】设设S是矢量场是矢量场空间内的一个闭合面，空间内的一个闭合面，V是闭合是闭合面面S所围的体积，则有所围的体积，则有A0limiiSViAdSAVVSAdVAdS证明：
对于任意一个小体积元证明：
对于任意一个小体积元Vi，有，有在在Vi0，有，有0limiiiSVAVAdSResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology对所有对所有Vi叠加，有叠加，有011limiikkiSViiAVAdS则则VSAdVAdSGuass定理把通量源的体积分变换为定理把通量源的体积分变换为S面上面上场的面积分。
场的面积分。
得证。
得证。
ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology【例例5-1】在在的矢量场中，以的矢量场中，以每边为单位长的立方体的一个顶点在坐标原点，每边为单位长的立方体的一个顶点在坐标原点，试求从这六面体内穿出的试求从这六面体内穿出的的净通量，并验证高的净通量，并验证高斯散度定理。
斯散度定理。
2xyzAaxaxyayzA解：
从六面体穿出解：
从六面体穿出的净通量为的净通量为ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology23xxyyzAxyxyz101010（）2SSSSSSSxxSSxxyySSyyzzSSzzAdSAdSAadydzAadydzAadxdzAadxdzAadxdyAadxdy前后右左上下前后右左上下（）（）（）散度为散度为ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology因此因此111000111000111100003332VAdVxydxdydzxydxdydzxdxdyydxdy故故VSAdVAdS得证。
得证。
ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology5.2.3【斯托克斯斯托克斯Stokes定理定理】cSSAdlrotAdSAdS其中其中S是回路是回路c界定的面积。
界定的面积。
证明：
任取一个非闭合曲面证明：
任取一个非闭合曲面S，周界长度，周界长度c。
把。
把S分成许分成许多面元多面元Si，周界为，周界为ci。
00limlimiiiicSiicSAdlAnSAdlAdS或或ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology将所有面元叠加，将所有面元叠加，在在Si0条件下，有条件下，有11ikkiciiAdlAdScSAdlAdS得证。
得证。
ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology【例例5-2】已知已知，闭合路径，闭合路径c为第一为第一象限上半径为象限上半径为3的的1/4圆盘的周界，计算圆盘的周界，计算在在c上的上的环量，并验证斯托克斯定理。
环量，并验证斯托克斯定理。
2xyFaxyaxF解：
选用直角坐标系。
因解：
选用直角坐标系。
因为为c在在xoy平面上，所以平面上，所以xydladxady2Fdlxydxxdy在在c上的环量为上的环量为FABOcOABFdlFdlFdlFdlResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology在路径在路径OA和和BO，积，积分为分为0；在路径在路径AB是是1/4圆周，圆周，方程为方程为F故故2290,3xyxy0322302929912BBcAAFdlFdlxydxxdyxxdxydyResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology又又220xyzxzaaaFxaxxxxyxdSadxdy积分域积分域S为为1/4圆面积，即圆面积，即20903xyyResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology所以所以223900390022912SyzzyFdSxaadxdyxdxdy故故cSFdlFdS得证。
得证。
ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology5.2.3【格林格林Green定理定理】格林定理表示某一点的场量是由一个体积分格林定理表示某一点的场量是由一个体积分和一个面积分的和。
面积分就代表边界上的和一个面积分的和。
面积分就代表边界上的场，即边界条件，而体积分代表所求区域内场，即边界条件，而体积分代表所求区域内的源场。
的源场。
Green函数很明确的给出了利用源和边界求场函数很明确的给出了利用源和边界求场的方法。
利用格林定理，可由已知边界条件的方法。
利用格林定理，可由已知边界条件和一个体积区域内源来求该区域内的场。
和一个体积区域内源来求该区域内的场。
标量格林定理标量格林定理矢量格林定理矢量格林定理ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology标量格林定理标量格林定理若任意两个标量场若任意两个标量场u和和v在空间区域在空间区域V中具有中具有连续的二阶偏导数，连续的二阶偏导数，S为包围空间区域为包围空间区域V的封的封闭面，则标量场闭面，则标量场u和和v满足：
满足：
2（）VSuvuvdVuvdS22（）（）VSuvvudVuvvudS标量格林第一定理标量格林第一定理标量格林第二定理标量格林第二定理ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology证明：
高斯散度定理证明：
高斯散度定理令令，有，有又根据散度运算规则又根据散度运算规则所以所以得证得证VSAdVAdS2（）VSuvuvdVuvdSVSuvdVuvdSAuv2uvuvuv标量格林第一定理证明标量格林第一定理证明ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology证明：
标量格林第一定理为证明：
标量格林第一定理为交换标量格林第一定理中交换标量格林第一定理中u和和v的位置，有的位置，有两式相减，有两式相减，有得证。
得证。
标量格林第二定理证明标量格林第二定理证明2（）VSvuvudVvudS2（）VSuvuvdVuvdS22（）（）VSuvvudVuvvudSResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology矢量格林定理矢量格林定理若任意两个矢量场若任意两个矢量场和和在空间区域在空间区域V中具中具有连续的二阶偏导数，有连续的二阶偏导数，S为包围空间区域为包围空间区域V的的封闭面，则：
封闭面，则：
VSQPPQdVPQQPdS矢量格林第一定理矢量格林第一定理矢量格林第二定理矢量格林第二定理（）（）VSPQPQdVPQdSPQResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology【旋度定理旋度定理】VSAdVdSAVSudVudSSCudSudlVSSCSCdVdSdSdldSdl【散度定理散度定理】【叉乘梯度定理叉乘梯度定理】【积分变换的统一关系式积分变换的统一关系式】ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology5.2矢量场的分类矢量场的分类在有界空间，矢量场由它的散度、旋度及其在有界空间，矢量场由它的散度、旋度及其边界条件唯一确定。
边界条件唯一确定。
矢量场的分类按照场有无散度、旋度分类：
矢量场的分类按照场有无散度、旋度分类：
（a）无散无旋场无散无旋场（b）有散无旋场有散无旋场（c）无散有旋场无散有旋场（d）有散有旋场有散有旋场0,0AA0,0AA0,0AA0,0AAResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology四种矢量场的分类四种矢量场的分类（b）无旋有散场无旋有散场（c）有旋无散场有旋无散场（a）无旋无散场无旋无散场（d）有旋有散场有旋有散场AkAAkrAkrAkrcrResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology同轴传输线的场分布同轴传输线的场分布EHResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnologyCrosssectionofcoaxialcableE-fieldTEMmodeResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnologyCrosssectionofcoaxialcableH-fieldTEMmodeResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology泊松方程泊松方程无旋有散场（位场，有势场）无旋有散场（位场，有势场）矢量场矢量场在区域在区域V内处处有内处处有则矢量场则矢量场称为域内称为域内V的无旋有散场。
的无旋有散场。
F00FFF由由00FuFu2u其中，其中，u为为的标量位函数，的标量位函数，是是的标量源函的标量源函数（散度源或通量源）数（散度源或通量源）根据根据的分布，由泊松方程求的分布，由泊松方程求出出u，继而求出，继而求出。
FFFResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology根据斯托克斯定理，无旋场是保守场根据斯托克斯定理，无旋场是保守场（即无旋即无旋场量的线积分与路径无关，或者该场量沿任场量的线积分与路径无关，或者该场量沿任意闭路意闭路c的环量为的环量为0），也即对任意闭路，也即对任意闭路在矢量分析中，无旋场、梯度场和保守场是在矢量分析中，无旋场、梯度场和保守场是等价的。
等价的。
00cSSFdlFdSdSResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology矢量位矢量位函数函数有旋无散场（管形场）有旋无散场（管形场）矢量场矢量场在区域在区域V内处处有内处处有则矢量场则矢量场称为域内的有旋无散场。
称为域内的有旋无散场。
F00FFJF由由00FF2GGJFGGJ在许多场问题中，在许多场问题中，是为了由旋度源是为了由旋度源求求而而引入的辅助计算量，故令引入的辅助计算量，故令，则有，则有称为矢量位称为矢量位的矢量泊松方程。
的矢量泊松方程。
GJF2GJ0GFResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology恒定磁场的矢量磁位与产生磁场的场源恒定磁场的矢量磁位与产生磁场的场源电流源之间满足的就是矢量泊松方程。
电流源之间满足的就是矢量泊松方程。
无散场也称为管形场，因为通量在由矢量线无散场也称为管形场，因为通量在由矢量线形成的同一个矢量管中的所有截面上都是相形成的同一个矢量管中的所有截面上都是相等的。
等的。
矢量管矢量管S1S2Ss10ssVSSSSAdVAdSAdSAdSAdS120SSAadSAadSResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology无旋无散场无旋无散场（调和场调和场）矢量场矢量场在区域在区域V内处处有内处处有则矢量场则矢量场称为称为V域内的无旋无散场。
域内的无旋无散场。
F00FFF无旋无散场只能存在有限的区域无旋无散场只能存在有限的区域V内。
内。
它是由分布在区域它是由分布在区域V以外或以外或V的边界上的某种的边界上的某种场源产生的在区域场源产生的在区域V内的场量。
内的场量。
场源对其影响是通过边界条件来体现。
场源对其影响是通过边界条件来体现。
ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology在在V内，由内，由00FuFu20u上式为拉普拉斯方程。
上式为拉普拉斯方程。
在数学上满足拉普拉斯方程的标量函数称为在数学上满足拉普拉斯方程的标量函数称为调和函数，故无旋无散场也称为调和场。
调和函数，故无旋无散场也称为调和场。
ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology有旋有散场有旋有散场矢量场矢量场在区域在区域V内处处有内处处有则矢量场则矢量场称为称为V域内的有旋有散场。
域内的有旋有散场。
F00FFJF根据亥姆霍兹定理，有根据亥姆霍兹定理，有12FFF（无旋有散+有旋无散）则则11122200FFFFFFFJFFResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology【例例5-4】已知已知解：
解：
2
（2）（）coscos（sincos）xyzrzAaxyzyaxzxaxyzBaaar求它们的源分布，并说明哪一个矢量可以表示为求它们的源分布，并说明哪一个矢量可以表示为一个标量函数的梯度函数及哪一个矢量可以表示一个标量函数的梯度函数及哪一个矢量可以表示为一个矢量函数的梯度。
为一个矢量函数的梯度。
220222xyzaaaAxyzxyzyxzxxyxzxxyzyxyAyxyzResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology22coscos（sincos）（cossin）（sincos）1（cossin）coscos11（sincos）0rzrzaaarBrzzrrzzaarrarrrzBrrrzrResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology因为因为，根据，根据，则，则表示为表示为一个标量函数的梯度函数。
一个标量函数的梯度函数。
是无旋场，是由通量源是无旋场，是由通量源（）产生，其产生，其源分布为源分布为0A0uAAA2Ay因为因为，根据，根据，则，则表表示为一个矢量函数的旋度函数。
示为一个矢量函数的旋度函数。
是无散场，是由旋涡源是无散场，是由旋涡源（）产生，其产生，其源分布为源分布为0B0FBBB22（cossin）（sincos）1（cossin）rzzzBaarrarResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第五讲总结第五讲总结几个重要电磁场定理几个重要电磁场定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理，高斯散度定理，高斯散度定理，斯托斯托克斯定理，格林定理克斯定理，格林定理矢量场的四种分类矢量场的四种分类ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology5-1证明矢量证明矢量Green第二定理第二定理第五讲作业第五讲作业5-2P3918，20，21ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第五讲第五讲习题讲解习题讲解【题题1】利用直角坐标系证明利用直角坐标系证明2114rrR证明：
在直角坐标系中，证明：
在直角坐标系中，当当时，时，222（）（）（）RRrrxxyyzzrr22335311xxxxxRxRRRResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology22335311yyyyyRyRRR22335311zzzzzRzRRR所以所以222222235111133330RxRyRzRxxyyzzRRResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology当当时，时，变为不定式。
变为不定式。
以源点以源点为中心，做半径为为中心，做半径为R的球面的球面S，球面，球面S所包围的体积为所包围的体积为V，从而有，从而有r2332111VVVSRSdVdVRRRRdVdSRRadSR（高斯散度定理高斯散度定理）rr21RResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology又因为球面上又因为球面上的方向即为的方向即为的方向，且的方向，且R是常数，于是是常数，于是利用利用函数的性质之一函数的性质之一所以有所以有RdS2222111141444VSdVdSRRRR1（）VrrdVrV在内2114rrRResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology【题题2】证明证明VSAdVdSA证明：
令证明：
令为任意常矢量，利用为任意常矢量，利用BABBAABABCCABVVVVSSBAdVBAdVBAABdVABdVdSABBdSA有有由于由于为任意常矢，所以得证。
为任意常矢，所以得证。
BResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology【题题3】证明证明SldSuudl证明：
令证明：
令为任意常矢量，利用为任意常矢量，利用BSSSSllBdSuBdSudSuBdSuBuBdlBudl有有由于由于为任意常矢，所以得证。
为任意常矢，所以得证。
B（）uBuBuB0ResearchInstitute
升级会员 