偏微分方程数值解习题解答案.docx
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偏微分方程数值解习题解答案
1）
2）
q1二：
行口匚
1）解：
设点为（X?
，/曲）屮
则町=讥心厶）=班勺厶+J+°（工心）（Y）+0（F）.
ot
-（史+空八
dtdx
所以截断误差为：
3
E=丄+「
Th
啰_喟+竺护一o（F）
T
呼1_吋】+竺丛Q—O（X）
-（叱3+
dt
=0（T+力”
2）解：
设点为：
（Xy，/林1）3
则町=讥勺,_）=以E，_+1）+（Y）+o（巧卩
ot
dx2
“；：
；=班心+1厶+i）=叽厶+i）+滋（h）+*臥工心）（为2）+oox
（X）d
心;=班心亠心）=班心，/+1）+敕:
;D（一力）+3役;D（
血2）+0（亥2）«
截断误差为：
2
舟A1”
E=+—（―+_）
Thdtdx
dt
T
班勺厶叙）一班勺，乩i）+——-——£）
q2“
-”*
\|（—4-—）dxdt=|（unt4-unx）ds=0*dt&\
得-U]/j+u2r+x^A-u4r=0+j
E（j-l?
n）F（j,n）G（j^n+l）H（j-l,n+l）^
%~的=旳=竹“4=W/-l
MfMT
h=ht-t
-ll"h+LLrH+ll：
4h—LL：
N=Op
第二章第三章第四章第五章第六章
P78
1.如果①'（0）二0,则称工。
是』（0）的驻点（或稳定:
点）-设矩阵A
对称（不必正定），求证忑是』（工）的驻点.的充要条件是1心是方程
加二&的解B4
证：
充分性：
①⑻二J缶）+乂（加°-bt^+—（Axrx）
①'（Ji）=（Axc-A,x）+A{Axrx）a
Eff））S宀沪
若①0）二Q,即（山°一氛对=0心怎宀
Axq-h=（）目卩Ax-b^
则帀是方程Ax^b的解卩必要性*若心是芳程A^=b^\解
则Axa—h-0（j4x0—Z?
x）=0+^
◎（0）=（吐命-btx）-0+J
所以町是』0）的驻点d
pg%
3：
证明非齐次两点边值间题心
現（&）二eit（E）二Qu
与T7面的变分间题等价：
求血EH】，认@）=g使J（wt）=minJ（y）其中心
SiuH
U
（2）-d
』（#）=壬仗站）-（7»—芒⑹戲（D）+
13页
而久込叭如（2.13）（提示；先把边值条件齐衩化）+
证明：
令=w（x）+v（x）其中w（x）=Q+（x-a）0w（a）=a
yv@）=“
v（a）=0v（^>）=0®
所以2
S=瞥+qu=j
dxdxp
dr/w血、《,乂、f
"丁〔P（t+：
F）]+Q（w+v）"axdxax
*丫dzdv.产/ddw、豪
令=-—O—）+（?
v=/-（-—^>—+^w）=y;^
axaxdxax
所以
（1）的等价的形式2
厶”=一?
0字）=卩
axax
u（a）=au\b）=0a
其中久=/-（-£■去字+0W）"
axax
则由定理22知，讥是辺值间题
（2）的解的充要条件是
且满定变分方程"
ogf）-C/i小0Vve^P
（3）a
r（Zv>一/j）tdx+p@»：
（b）f@）
①W=J（u）=J（u.+^）^
—a（u^+兔，以.+无）一（/,功・+加）［以・（E）+加@）］2
□2
=J（认）+N[a@・,f）-（/,£）-+
乙
agd-Qfm沁卜
•Qdxdx
「（加•一/）加x+卩@加：
（砂@）-卩@）戊@）Ja
（3）=>（4）所以可证得•3
必要性：
若如是边值间题
（1）的解。
则£^-/=0広4=0
①'（0）=0且
所以a（u^9t）-（f9t）-p（b）J^（b）=0
P炉
q3I：
二;」二匕'l!
■■：
■：
■'三一上二工！
巴
辭：
由上一题知I（2.23）等价于*
厶肚二一?
0字）+二了一（-?
戸字+?
诃二/严axaxaxax
v（cj）=0v@）二Op
呻edvdt
I（Lv-f]）tdx=|pA-qvt-f^t^dx=0+J
■fl2必必
所以V3）二U（/>）-W0）二肚（巧_02
厶卩一£=Lu-
所以
a（yft）~（/p^）=「（A-必+p（b）讥绑@）-p0）^（b）=0^
*左
又因为a血
現dudt..,
=t——
yaxax
^p（b>）u（b）t（b）+「（九一/”必*」
Ja
所以得空他巧-（£』）一骨®）底@22
即weCJ是（2.28）的解的充分必要条件为屮
a3
。
仗严）一C/2）—尹（&）茂（&）=g
P93屮
5：
试建立与边值间题-
q4
解；设PxH；且v（a）=v（a）=0诃册二卩'（时=0#
则\\Lu-f^dx=C
1J12_j,
（b）v（b）-u（A）v'（b）+u（a）v（a}+\
=■*卩）©）呛）-u（i»）v（/>）+»*（a）v（«）4-『兰弟SpBdjT
又v（£l）—v（m）—v（A）—v（b）=0<-'
所UA[（Zu-fjvdx=|u
」盘，・fl.
两dv
其中b（iirv）=fu—+他）必是一欢缰性泛函.
2dx
所以边值问題的变分f可题为心
求応H；使得讦
A（w,v）-（y,v）=0，VveH\且v（（i）=v（
（2）=0
艮®）=i/（6）=Q"
a4
Pl如
3:
试就护6弗少i方程（3.3）的非齐次宦值条件
（3.31）auI=or>=0*1
氐lr
q5导出等价的变分间题相21页
_曲
解】取一特定函数CC2（w）―十v吗|产0v=u-uQ则
（3.31）的等价间题门
——+arv=0*J换17
则得（3.3）
——+av=0
anr
所以7（v）=1（-Av,v）-（^v）^
=£（比巧_3»仪
w
2］d^dy+—Iav2ds-\（Fvd^dy^
27\
1rrr>3wx2y?
pv2,,m比滋o加加oT,.云川（〒尸+（云y必创-nt—^+―
2
*»»»
auufsds-IIfudxdy-||血承必dy+
世Ji£
-2力-dxdxdy常数
+—Im2ds—I
2->
=屉）-ii［字字+2竽］如y+i（兽-恥-0^udxdy
+常数屮
其中J包）-11［覚竺1+竺_色与必妙+jau^ds-11fiidxdy^-
又由格林第一公式知道和
jj-Lu^udxdy-”［孚学+甞字皿心讨学届a
原问题的变分问题的为界
/（w）=-||［—^-+—+丄仏!
？
亦一\\fyd^dy-［包dwa5二-丄
6.P104/4^
试就椭匾I方程第一边值问题】*'
（3.32）一V（七Vu）十皿二八（忑j）EG\u\r=g
建立等价的极小位能庾理和虚功庾理，其中
k=7y）€c（G）ptn书>0,+1
ereC（G）,^T>0,/eZ；3（G）tg^C（T）,而炳
q6
V（kV^）=—（k—）4-—（k—pdx"dydy
设w0eC2（G）为一特定函数，Uq|r=g令v=11-11屮
则得（3.32）的等价间题:
a
-V（Wv）+av=F=/+2（上如）一go
V|r=0
、1
J（v）=—（-V（kVv）+av,v）-（F,v）
2
dxdy-|（Fvdxdy
・・
=7ff-（kVv）vdxdy+^-[fc
2飞2G
ll-k
•••令S巴唸软鲁昴皿+0曲切
.A
OJOJ（v）=—a（v,v）一（F,v）a
2
下面回到原间题a
A1
J（v）=-^（v,v）-（F,v）
=+[I【上營-竽）2+上（兽-学）']如y+1[Ja（u-珈）$dxdy2*qdxdx&y2•&
+—（上才）一60〕仗-叫）dxdyqyqy
=那磴）士境叽叫畛燮+詈譽g+归论
-IIOiu^dxdy-\\fudxdy-||[
QG2dx&
了S）=|f（—仑（^!
1）j
£zx；旳z£二
*y-「
解：
jJ）丄点j（竺二必一点（巴工电）］/丘-
2-/汀2-
J5）对码癖昱畫丈W
1.i
al
其中＜P1=—（ff^+I了必W
2A-二
q2———
解七—欽唸"钦心
p,q』JEC。
、可以直接积分v
fr—dx^Jq“dx=j
dxj*0
fdx^
在［a,b］内任一小区间［x⑴,x⑺］上积分有卩
］-£（羽空）sx+人dxdx
即J
W（X⑴）—w（X⑺）+J
“I
r—dx+dx
qudx=
it
苴中w（x）=_p空在［a,b］上连续・vdx
取［X⑴,X⑺］为对偶单元［X2i，x』，则得
w（XI）=_W
r
加_w（x）dxp（x）
fJ—dx（中矩形公式）V
2巩力
令犷（rI
以i_以i“
••-匕严一^一
恥如晋j必其中B
亠〕
闵八
q'x'dxQ
p200.4^
4一构造區近p
（pw）+quu=f于（口,b）
u（a（^）=0,u{b）=u
q3的中心差分格式.宀
朝：
sN+l^^^anxoaxa
2—二^2
（尹1+4）尹r产（尹一十言一尹产一
T赛+4匕产一
氓園茂舊SFh^hHFkt
2A（«+1i2«+«l）+prl（5|2«也
P212
1.用积分插值法构造區近方程“
（3.21）—V（Vy）=—[―（^―）+—（jt—）]=/的第一辺值「可题的五点差dxdx妙卽
分格式，这里k=k（x,y）>>0^'
i+1
于上积分（3.21）式，a
-[[V（kVu）dxdy=fjfdxdy^
5勺
由Green第一公式得:
a
—J—kds=nfdxdy^
i—"ii
）—kds=fffdxdypdn{
^kds=^k
dndx
Ss亠dndy
fdu
I—kds——k£*x
/.综上有:
a
=®J，其中□/dxdy«
坷力2G
n
1）非正则內点2
q5二丁匚-*心耳士阻亡云二二匠」一二用二回;「迂因三「-士HL
解［H正刖内点，同第一題中1）*
2）非正则內点.同第一题中2）初
3）界点4
在畀点口处于曲边.三角刑ABC上对（3.21）式积分，得4VVm）dxdy=fffdxdy^
hAACAABC
-If叙3肚切
宓a曲A4£C
Jdxdy^
+L+L'知iJI
51iABC
+Jc+^0c3）=|jf^cfy
血血uAEC
7.P216/2-'
q6
构造逼近（王21）-V（^）=-[—（—）+—（―）]=f的三角囲格式.液d/dy
如图,设Po是內点，P1，…，壬6是和00相邻的节点,牛为三角形PoPiPi^的外心,刃广,
是PaPi的中点，Go杲由六边形如「・・，@6围成的对偶单兀，在子域Go积分得
一口［?
仇譽）+?
化字）］弘莎=［i炉妙2乜；oxoxdydyg；
由Green公式得2
-[k^ds=[[fiixdy
dG0dnGo
IDa
Ik—ds=y^Ik—ds
6/a
=Z卩"——）局W（A+1）-心6）1+川G傀◎1=1/PoP】U2
其中任即为点血在g中点的值严（G°）是G。
的面积，％。
（比）是截断误差，
2
得点Po的差分方程为2
1••
其中处=II他旳山,杲k在亦中点的值,3加（°0）百2
q”；二二二
设厶二｛吗V=0丄…，时內＜•・・“沖｝,旳是厶上的网函数。
又
级=-（气”一］-鸟旳+&x+］）+%xM=】2「N-h
其中备场心恒正，务非负,且吗+齢兰毎证明当洌兰0（切匕0）时，”不能a7i：
-■■■/■■-「.厂卜二厂「…；
“乳P223/2^
q8
在题1中，若设d--h~-a--ci+旺＞0（i=12…*M-崩
则差分右程*J
的解满足不等式・
I供Imax|yipmax
a8
12at
第二章第三章第四章第五章第六章
P24%
二将向前差分格式和向后差另■格式作加权平均，得到"F列格式：
a
（113）
*畑_十
丄孑丄=寻〔3（心-吋'+扇）+（1-日）（临-甜+忖,a其中0＜&＜｝t试计算其载断误差，芥证明当&二丄-丄时，载断误差212r
q1T「庁三:
Jr；'I^1'■:
解：
E^u=Lku（xj,tk）-［Lu］^
班亏，心）-班勺，氐）a亠,、、八t、一-〔&仗（®+i,（jt+i）-2功（xj,f如）
+班勺・i，如J）+（1-次班勺+i以）
-2u（勺以）+以（◎■］以）］-一三一+a/2
必（亏，氐）d2u（xJfik）
“、"（心，如1）一"（心厶）
U）“
T
lrz、加（xQF几（xjJ3
=-lu（勺，氐）+石一-—+—―頑一+0（T）-U（巧•,氐）］
「几（勺氐）r
di2&彳
（2）£［“（％,〈）-2“（勺,氐）+”（％,〈）］3
n
1rz、，比（®・Qh2几（x・Qh3几（x•以）二評心仏屮石飞L=PL*£九（）*艺兎（）*一力叱川）
4!
ax451dx5Jk
h2九（亏以）h3九（吁,氐）
+Z_
2!
&23!
dx
dx
dx2
讣少臥亏心）
4"
4!
a?
dx212a?
（3）+仪（亏+1以+1）-2讥©.,如1）+班巧亠心）］卩
_九（勺以£,2九（形.，如）+0（屮）＜
r第"+。
刃n”
=a?
+i2办°
dx
二严聖+圧严字0）+。
（內+£严（勺以）
dxdidx12
+TI（警严））+0（F）］+0（小
atdx
P243-
4・
在Richardson恪式（1.10）中以
+盘：
4）代入，便得DuForl
Frahkd&式；4
（114）
解：
EjU=Lku（x^tk）-[Lu]^
班勺丿如）一班勺以.J以（亏+i以）一班®•以心）一以（x#_）+以
=一a7
2th2
（1）班®如1）一班勺
2r■
1r/z、弘OH）亡几（X氐）Tz°%（x・以）
dt-+可~dt
=尹％）址―^-+可—w
+00））
敢®•以）T2九（勺以）F兎（亏以）
一（“（心,氐）一T——+——一2——
）dt2!
di23!
加
+0匸4））］
dt6dPdt
（2）*［“（勺+i，氐）-”（亏以+i）-M（r，f_）十"（6・1，氐）］2=+［以（勺+1，氐）+"（勺・1，4）一"（勺，（以1）一以（心，
（1）］3
1r/.、？
珈亏，氐）X几（%厶）沪%（兀血）
=評（心以屮药r^+京飞^-+£几（？
4）+兰九（身4）+0
4!
dx45!
dx5Jk
｝力（亏,氐）血2d2u（xtj.）沪d3u（xtj.）
_h——++——_2——仪
dx2!
dx23!
dx3
+£竺九上竺竺+少心
4!
办°5!
dx5'*
卜十兀（巧,氐）
12—a?
—
+0（沏“
_沪讽勺4）卜沪3如（心应）十
站12a?
'
+则）+0（“
P24加
5.设有il近热传导方程的带枫三层差分恪式：
（1•⑸
亘中吐0・试计算其就断误差，并证明当^=-+—时，截新误差的2⑵
阶最高”
解：
EjU=LgxpG-［厶以］
=（］+6以（勺,如1）一琳亏血）g班亏，◎一"（亏以』）
TT
一寻山（亏+1,氐+1）一：
讥厂丿如）
（1）2血毎,心）-心门氐）］卩
=取巧•以）|T九（勺，氐）|dt2dt2
（2）£国（勺.以）-班心,心）］a
一必（勺QT几（亏,氐）十
dt2a2
（3）由第3题知』
吕■［"（©+1,4+1）—2班心，（如）+"（®.i，f如）］“
n
=严器"+着+处严；严）+0（”）+0（”/）+0（屮）
代入得心
孕=（1+屛警+*答岀+。
（宀"［字
诗答岀+。
（刊"［警如+（伶+词答岀
2diox12ox
+QF）+O（t%2）+Q沪）］_［驾”
=a［az（0--）-耳。
讥7以）+0（”）+0（丁2沪）+0（血4”
P252
1.求证差分恪式（1Q当丄兰时叵稳定，当0兰时稳定的充要条件是a22
f乞1/2（1—20）*
«lrso总丄）A+（9丄）A丄—Q〔•苛6丄r+6丄）A—二二」r」—6A+ZH窗ise丄r+z（（9—I）A丄）7®I>9A+dto
as（9ID;二（9丄re—匚；殳—ga+dhw
Itell）¥Me丄）A丄）—lye丄）：
醫；IVEA+【）+妊£IaY+TI—I）+（¥+膂ItNVIV
XE二）〔a3+TI丄）+（誓+証用—辱）巴小Nrt$
7專白
Z
劇冷龙寸+L
小冷6—r寸丄
WEIL—
7x>ewo泅
CS
7•破绥回4二sm...LW一竺..•
7寿冷希+31—知冷（①—殳寸zee劇逹寸+1W哥rms（6ID」寸丄叵回：
坛IWPWT泅（I）
旬冷等+1
ACH
刻；S（I）寺丄
9
05
4-wsgllmz^®Lw
\L\LCMr+r】vl（电f$uh+uI日5」11a潢1.、」e99s«A+哽fsgr+—VIe貝命—枣f«col+i
ste0AK>>a399墓"I「k=gg—；：
I硬『SUI+I硬二LG雯菩.t—-i+p+7J抵尸二幕+F）+（：
皆匚亲上）+（；皆
呉'9:
CJ
ml_—i）+s（++hphf
二：
山）+賈小
frM
9b
20
+IE
P2d
1.用Fourier方法证明差分恪式（LI3）稳定的充要条件是存尸兰£（1—23）7（0兰0生£）2
（〔1门）
直jui_yJt
丄二二各盹需-+屹?
）+（1B昭厂屿+咕）］）卩q6
z为兰别-Eti&栩谨1|艮\1（弱—D外冷{寸ELVPVI训
唄世<辭粮吊awg—电—二界冷$fe--lwpwo汕
gL
鼻羽宦11毬硝料»底根鼻制屯总金+尬劄冷总丄）导—lvl釧筒总E丄—
NE養）0
勺隶寺+L
丄
-?
厶aI嗫IDA+ITH电（LI竜3U^A—二
厶（m—站十El容、）々A（glD+（宅'T血+zI
*K壬）4+昏岛—殳盲甩电気IL〕+
鼻3£抵+零*e—吕$气亍佥：
拎€—常>2
7感冬£上；科¥肯Ihv£id+k3+奢IKSHVIV-S
T
+E宁+沖小
穗定性的充要条件是网稱比F=穴/屛垂*q7
证明:
L）+计
=e忆严屮少一小+严丹
+艺/（严匕砰_/A〃）+c卯甩讷2h
岛宀十詁宀严W
U1-/=2rvfc（cos皿一1）Hvfc2?
sin
2h
vi+1-[1+2r（cosok一1）+—订垃曲+亡討萨屮
h
-tJti
严i-[j-4rsin2（曲/2）+—sinc^i+crjv1*jk
C?
（丙,書）=1-4rsin（朋/2）+—sin喊+d
h
C?
（心，t）-G（x,,0）|二f+-sin庶足Lipschtiz连续屮
则少一致有界等价于常（（7口=1-分肋（必⑵）一致有畀“
而G；—敢有畀的充要条件杲r<1
P2（5族
3证明差分格式仪
甲-町=妙仗；严；-喟+唱）（a>0）u^~u^=妙（碳；p严+眯;）
q81■■.」；•.「亍；：
'...
（1+^）hJ+1-沁;;=盘畑;+1
一car^^i+（1+a显严=（1-agj+aru^i
（1+—aru:
;二总也j+i+Q—妙）肚;
—arw^+（1+dr）wi'+1=（1一°尸）诃；十（w'：
二口严）
品氐*蜥aaifgfi令盘j二片童，Wj二v泸仪
1+旳屮严-—汙严5=严側+（］_甘卅押
-毋时严押护+（1十少）讨曾谊=（1-狞）喙吨T护宀爭
"z.sA+1JU1-i曲£i曲,/=*sX
（1+a尸）卩］一an/】e=arv}e+（1-a尸）
-arv^^+（1+曲）谑4二（1-ar}^+arv^
「严1
0'
「,1
V1kd
二
（1+ar）-ar&~lak
（1-ary+are^
vi
0
（1十ar）—areieA
（1一岔）+◎啲询（1+”）+妙严
0
乂（1-好）+"总T朋（1+时）-心严
（1-"）+3严
（1+直尸）-are~ltA
（1-ar）+are~lfifl
（1+ar）-曲严
1-
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