协方差及相关系数及其性质.ppt
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一、基本概念,二、n维正态变量的性质,4.3协方差与相关系数,对于二维随机变量（X,Y）:
已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间还有某种联系,问题是用一个怎样的数去反映这种联系.,问题的提出,反映了随机变量X,Y之间的某种关系,1.定义,一.协方差和相关系数的定义,若D（X）0,D（Y）0,称,2.说明,3.协方差的计算公式,法1.若（X,Y）为离散型，已知pij,若（X,Y）为连续型，已知f（x,y）,法2.,4.性质,求cov（X,Y）XY,例1已知X,Y的联合分布为,解,解,例2设（X,Y），求XY,结论,即X,Y相互独立,X,Y不相关,解,例3,1.问题的提出,二、相关系数的意义,解得,2.相关系数的意义,例4,解,
（1）不相关与相互独立的关系,3.注意,相互独立,
（2）不相关的充要条件,4.相关系数的性质,
（1）证：
由柯西一许瓦兹不等式知,所以|XY|1。
意义|XY|=1当且仅当Y跟X几乎有线性关系。
这说明了相关系数的概率意义。
XY是刻画X，Y之间线性相关程度。
（2）证：
由柯西一许瓦兹不等式中等号成立（）充要条件知,练习设（X,Y）N（1,1;4,4;0.5）,Z=X+Y,求XZ,解,写为矩阵的形式：
称为随机变量（X1,X2）的协方差矩阵。
（1）二维随机向量的协方差矩阵二维随机变量（X1,X2）有四个二阶中心矩（设他们存在），分别记为,三.协方差矩阵,
（2）推广定义设X=（X1,X2,Xn）为n维随机向量,并记i=E（Xi），,则称=（1,2,n）为向量X的数学期望或均值，称矩阵,为向量X的协方差矩阵。
例6:
设（X,Y）N（1,2,12,22,）,求向量（X，Y）的均值与协方差矩阵。
解:
E（X）=1，E（Y）=2，,所以（X，Y）的均值为=（1,2）,（X，Y）协方差矩阵为,3.协方差矩阵的性质
（1）协方差矩阵对角线上的元素Cii为Xi的方差即Cii=D（Xi）i=1，2，n；
（2）协方差矩阵C为对称矩阵,即Cij=Cji,i，j=1，2，n；（3）C为非负定矩阵,即对于任意实向量t=（t1，t2，tn）,有tCt0；,证：
性质
（1），
（2）显然，只证（3）,4多维正态分布及其性质二维正态随机向量X=（X1，X2）的概率密度为,引入下面记号,经运算可得,于是X=（X1，X2）的概率密度可写成,上式推广至n维正态分布的情况，于是有以下定义：
（1）定义若n维随机向量X=（X1，Xn）的概率密度为,其中X=（X1，Xn）,=（1，2，n）为n维实向量，C为n阶正定对称矩阵，则称向量X=（X1，Xn）服从n维正态分布，记为XN（,C）.,对于n维正态分布XN（,C），X的期望为，X的协方差矩阵为C。
（2）性质（P179页）n维正态分布具有下述性质：
1）n维随机向量（X1，Xn）服从n维正态分布充要条件是X1，Xn的任意线性组合l1X1+l2X2+lnXn（l1,l2,ln是不全为0的数）服从一维正态分布。
2）若X=（X1,Xn）N（,C），设Y=（Y1,Y2,Ym）=AX,即Yi为Xj（j=1，2，n）的线性函数,i=1，2，m，则YN（A，ACA），其中A为m行n列且秩为m的矩阵。
3）设（X1，Xn）服从n维正态分布，则“X1，Xn相互独立”与“X1，Xn两两不相关”是等价的。
例7:
设XN（0，1），YN（0，1）,若X与Y相互独立，求E（|X-Y|）。
于是,解:
令Z=X-Y，问题化为求E（|Z|），为求E（|Z|）,我们先求出Z的概率密度.,由于（X，Y）服从二维正态分布，由性质1）知Z服从一维正态分布，,而E（Z）=E（X-Y）=E（X）-E（Y）=0，D（Z）=D（X-Y）=D（X）+D（Y）=2，故ZN（0，2），即Z的概率密度为,例8:
设,问X与Z是否独立?
解:
由于,由性质2）知（X，Z）服从二维正态分布，再由性质3）知判断X与Z是否独立等价于判断X与Z是否不相关。
D（X）=32，D（Y）=42，XY=-1/2,于是XZ=0,所以X与Z不相关，由此可得X与Z相互独立。
小结：
1.结论1：
X与Y相互独立XY=0X与Y不相关；反之，XY=0不能推出X与Y相互独立。
结论2：
对任意X与Y，以下结论等价XY=0Cov（X，Y）=0E（XY）=E（X）E（Y）D（X+Y）=D（X）+D（Y）。
结论3：
若（X，Y）N（1,2,12,22,），则X与Y相互独立XY=0X与Y不相关。
2.由于正态分布在概率论中有其特殊地位，因此对多维正态分布的性质及其应用要较好地掌握。
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