参数方程.ppt.ppt

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第二讲：

参数方程,曲线的参数方程,一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。

为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？

即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？

如图，建立平面直角坐标系。

因此,不易直接建立x,y所满足的关系式。

x表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度，,由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，,物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：

（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；,

（2）沿oy反方向作自由落体运动。

在这个运动中涉及到哪几个变量？

这些变量之间有什么关系？

t时刻，水平位移为x=100t，离地面高度y，即：

y=500-gt2/2，,物资落地时，应有y=0，,得x10.10m；,即500-gt2/2=0，解得，t10.10s，,因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。

参数方程的概念：

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。

并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，,参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

例1:

已知曲线C的参数方程是（为参数）

（1）判断点M1（0，1），M2（5，4）与曲线C的位置关系；

（2）已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。

解：

（1）把点M1的坐标（0,1）代入方程组，解得t=0，所以M1在曲线上,把点M2的坐标（5,4）代入方程组，得到,这个方程无解，所以点M2不在曲线C上,

（2）因为点M3（6,a）在曲线C上，所以,解得t=2,a=9所以，a=9.,练习：

一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？

（精确到1m）,x=100t=1000,t=10,y=gt2/2=10102/2=500m.,B,A（1，4）；B（25/16,0）C（1,-3）D（25/16,0）,D,A（2，7）；B（1/3,2/3）C（1/2,1/2）D（1，0）,

（1）由题意可知:

1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；,代入第二个方程得:

y=（x-1）2/4,4动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12,运动开始时位于点P（1,2）,求点M的轨迹参数方程.,解：

设动点M（x,y）运动时间为t，依题意，得,A一个定点B一个椭圆C一条抛物线D一条直线,D,B,（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.,参数方程求法:

（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为;,

（2）选取适当的参数;,（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式;,圆的参数方程,M（x,y）,圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，,怎样刻画运动中点的位置呢？

那么=t.设|OM|=r，那么由三角函数定义，有,如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是M（x,y），,即,这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程,参数t有物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）,考虑到=t，也可以取为参数，于是有,圆心为原点半径为r的圆的参数方程.,其中参数的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度,一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，,另外，要注明参数及参数的取值范围。

解：

x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,（x+1）2+（y-3）2=1,参数方程为,（为参数）,例1已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。

练习：

例2如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q（6,0）是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。

解：

设点M的坐标是（x,y）,则点P的坐标是（2cos,2sin）.,由中点坐标公式可得,因此，点M的轨迹的参数方程是,解：

由已知圆的参数方程为,练习,A,A36B6C26D25,D,A,.,5已知点P是圆上一个动点,定点A（12,0），点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹,解：

设点M的坐标是（x,y）,则点P的坐标是（4cos,4sin）.,2|PM|=|MA|,由题设,（x-12,y）=,因此，点M的轨迹的参数方程是,例4

（1）点P（m,n）在圆x2+y2=1上运动,求点Q（m+n,2mn）的轨迹方程;,

（2）方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0.若该方程表示一个圆,求m的取值范围和圆心的轨迹方程.,已知P（x,y）圆C：

x2+y26x4y+12=0上的点。

（1）求的最小值与最大值,

（2）求xy的最大值与最小值,例5最值问题,例6参数法求轨迹,已知点A（2,0）,P是x2+y2=1上任一点,的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.,AQ:

QP=2:

1,参数方程和普通方程的互化,把它化为我们熟悉的普通方程，有cos=x-3,sin=y;于是（x-3）2+y2=1，轨迹是什么就很清楚了,在例1中，由参数方程,直接判断点M的轨迹是什么并不方便，,一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.,把参数方程化为普通方程：

例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？

解:

（1）由,得,代入,得到,这是以（1，1）为端点的一条射线；,所以,把,得到,

（1）,

（2）,

（1）（x-2）2+y2=9,

（2）y=1-2x2（-1x1）,（3）x2-y=2（x2或x-2）,练习、将下列参数方程化为普通方程：

步骤：

（1）消参；

（2）求定义域。

练习将下列参数方程化为普通方程,B,例2求参数方程,表示（）,（A）双曲线的一支,这支过点（1,1/2）;,（B）抛物线的一部分,这部分过（1,1/2）;,（C）双曲线的一支,这支过点（1,1/2）;,（D）抛物线的一部分,这部分过（1,1/2）.,参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：

1.代入法：

利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数,2.三角法：

利用三角恒等式消去参数,3.整体消元法：

根据参数方程本身的结构特征,整体上消去,化参数方程为普通方程为F（x,y）=0：

在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f（t）和g（t）值域得x、y的取值范围。

小结,普通方程化为参数方程：

普通方程化为参数方程需要引入参数：

如：

直线l的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程:

一般地,如果知道变量x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f（t），把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的关系y=g（t），那么:

就是曲线的参数方程。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致,为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？

在y=x2中，xR,y0，,因而与y=x2不等价；,练习:

曲线y=x2的一种参数方程是（）.,在A、B、C中，x,y的范围都发生了变化，,而在D中，x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，,代入y=x2后满足该方程，,从而D是曲线y=x2的一种参数方程.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。

否则，互化就是不等价的.,解：

练习把下列普通方程化为参数方程：

练习把下列参数方程化为普通方程,（3）,（t是参数）,练习P是双曲线（t是参数）上任一点，F1,F2是该焦点：

求F1F2的重心G的轨迹的普通方程。